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1、1.3 數(shù)量乘矢量,背景,牛頓力學(xué),定義1.3.1 實(shí)數(shù),與矢量,的乘積是一個(gè)矢量,記做,它的模是,的方向:,當(dāng),時(shí)與,相同,當(dāng),時(shí)與,反向.,我們把這種運(yùn)算叫做數(shù)量與矢量的乘法,簡(jiǎn)稱為數(shù)乘.,時(shí),當(dāng),就是矢量,的反矢量.,已知矢量,的單位向量,(與,同向,長度為1),記為,表示什么?,有時(shí)記,即有:,或,定理1.3.1 數(shù)量與矢量的乘法滿足下面的運(yùn)算規(guī)律:,1),2),3),4),數(shù)因子結(jié)合律,第一分配律,第二分配律,這里,是矢量，,是任意實(shí)數(shù).,證明:,1) 由定義1.3.1, 等式兩邊的矢量顯然相等.,2),分情況進(jìn)行,當(dāng),或,中至少有一個(gè)為0時(shí), 比如,那么就有,同時(shí)有,所以有,情形

2、I,情形 II,當(dāng),時(shí),當(dāng),的方向都與,相同.,當(dāng),的方向都與,反向.,這說明,不論,的符號(hào)如何,的大小和方向都相同.,證畢.,v,v,v,v,3),矢量對(duì)數(shù)因子的分配律,證明類似于2), 略.,4),證明:,分以下三種情形證明.,情形 1,情形 2,總可以取到實(shí)數(shù)m, 使,?,v,因此,我們有,情形 3,(如圖),O,A,B,A1,B1,A1,B1,注意:,所以,以后,矢量與數(shù)的運(yùn)算可以象多項(xiàng)式運(yùn)算一樣進(jìn)行.,例如,利用數(shù)乘矢量的概念和運(yùn)算律,可以解決一些幾何問題.,例1.設(shè)AM是三角形ABC的中線,求證:,例2.用矢量方法證明：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線 段平行于第三邊且等于第三邊的一半。,作業(yè):

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