11 歸納與類比 課件(北師大選修2-2)

1、第一章,1,把握熱點(diǎn)考向,應(yīng)用創(chuàng)新演練,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,理解教材新知,知識(shí)點(diǎn)一,知識(shí)點(diǎn)二,知識(shí)點(diǎn)三,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,問題1：我們知道銅、鐵、鋁、金、銀都是金屬，它們有何物理性質(zhì)？ 提示：都能導(dǎo)電 問題2：由問題1你能得出什么結(jié)論？ 提示：一切金屬都能導(dǎo)電,問題3：若數(shù)列an的前四項(xiàng)為2,4,6,8，試寫出an. 提示：an2n(nN) 問題4：上面問題2、3得出結(jié)論有何特點(diǎn)？ 提示：都是由幾個(gè)特殊事例得出一般結(jié)論,歸納推理,部分事物,每一,個(gè)事物,部分到整體,個(gè)別到一般,問題1：試寫出三角形的兩個(gè)性質(zhì),問題2：你能由三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)嗎？試寫出來,問題3：試想由三角形的性質(zhì)推測四

2、面體的性質(zhì)體現(xiàn)了什么？ 提示：由一類事物的特征推斷另一類事物的類似特征，即由特殊到特殊,類似的特,征,類似的其他,特征,兩類事物特征,1. 合情推理的含義 合情推理是根據(jù) 、 、已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(定義、公理、定理等)，推測出某些結(jié)果的推理方式 和 是最常見的合情推理,歸納推理,類比推理,實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果,個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和,直覺,2.演繹推理的含義 演繹推理是根據(jù) 和 ，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程。,已知的事實(shí),正確的結(jié)論,1.歸納推理的特點(diǎn) （1）由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測的性質(zhì)，結(jié)論是否正確，還需經(jīng)過邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn)，因此，歸納推理不能作為數(shù)學(xué)證明的工具； （2）一般地，如

3、果歸納的個(gè)別對象越多，越具有代表性，那么推廣的一般性結(jié)論也就越可靠。,2.類比推理的特點(diǎn) （1）運(yùn)用類比推理常常先要尋找合適的類比對象； （2）如果類比的兩類對象的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關(guān)，那么類比得出的結(jié)論就越可靠； （3）由類比推理得到的結(jié)論也具有猜測的性質(zhì)，結(jié)論是否正確，還需經(jīng)過邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn)，因此，類比推理不能作為數(shù)學(xué)證明的工具.,一點(diǎn)通根據(jù)給出的數(shù)與式，歸納一般結(jié)論的思路： (1)觀察數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特征，如數(shù)、式與符號的關(guān)系，代數(shù)式的相同或相似之處等； (2)提煉出數(shù)、式的變化規(guī)律； (3)運(yùn)用歸納推理寫出一般結(jié)論,例2數(shù)一數(shù)圖中的凸多面體的面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V和棱

4、數(shù)E，然后用歸納推理得出它們之間的關(guān)系,思路點(diǎn)撥先找出凸多面體的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù)，觀察它們之間有什么關(guān)系，再歸納出一般性的結(jié)論 精解詳析正方體：F6，V8，E12； 三棱柱：F5，V6，E9； 五棱柱：F7，V10，E15； 四棱錐：F5，V5，E8； 兩個(gè)同底面的四棱錐組成的組合體： F8，V6，E12； ,通過以上觀察發(fā)現(xiàn)F，V，E滿足以下關(guān)系： FVE2. 所以歸納出F，V，E的一般性結(jié)論為：在凸多面體 中，面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V和棱數(shù)E滿足以下關(guān)系： FVE2. 一點(diǎn)通解決此類問題可以從兩個(gè)方面入手： (1)從圖形的數(shù)量規(guī)律入手，找到數(shù)值變化與序號的關(guān)系 (2)從圖形的結(jié)構(gòu)變化規(guī)律入手，發(fā)

5、現(xiàn)圖形的結(jié)構(gòu)每發(fā)生一次變化，與上一次比較，數(shù)值發(fā)生了怎樣的變化,4把1,3,6,10,15,21，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)閭€(gè)數(shù) 等于這些數(shù)目的點(diǎn)可以分別排成一個(gè)正三角形(如圖),試求第七個(gè)三角形數(shù)是() A27B28 C29 D30 解析：第七個(gè)三角形數(shù)為123456728. 答案：B,5將自然數(shù)0,1,2，按照如下形式進(jìn)行擺放：,根據(jù)以上規(guī)律判定，從2 010到2 012的箭頭方向是(),解析：本題中的數(shù)字及箭頭方向都有一定的規(guī)律箭頭每經(jīng)過四個(gè)數(shù)就要重復(fù)出現(xiàn)，即以4為周期變化.2 012恰好是4的倍數(shù)，2 010應(yīng)該與2的起始位置相同 答案：C,6設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n3)，其中有且僅有

6、兩條直線互 相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)_；當(dāng)n4時(shí)，f(n)_.(用含n的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示),解析：畫圖可知，f(4)5，當(dāng)n4時(shí)， 可得遞推式f(n)f(n1)n1，由 f(n)f(n1)n1， f(n1)f(n2)n2， ,例3找出圓與球的相似性質(zhì)，并用圓的下列性質(zhì)類比球的有關(guān)性質(zhì) (1)圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線垂直于弦； (2)與圓心距離相等的兩弦長相等； (3)圓的周長Cd(d是直徑)； (4)圓的面積Sr2.,思路點(diǎn)撥先找出相似的性質(zhì)再類比，一般是點(diǎn)類比線、線類比面、面類比體 精解詳析圓與球有下列相似的性質(zhì)： (1)圓是平面上到一

7、定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合；球面是空間中到一定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合 (2)圓是平面內(nèi)封閉的曲線所圍成的對稱圖形；球是空間中封閉的曲面所圍成的對稱圖形,通過與圓的有關(guān)性質(zhì)類比，可以推測球的有關(guān)性質(zhì).,一點(diǎn)通解決此類問題，從幾何元素的數(shù)目、位置關(guān)系、度量等方面入手，將平面幾何的相關(guān)結(jié)論類比到立體幾何中，相關(guān)類比點(diǎn)如下：,7平面內(nèi)平行于同一直線的兩直線平行，由此類比我們可 以得到 () A空間中平行于同一直線的兩直線平行 B空間中平行于同一平面的兩直線平行 C空間中平行于同一直線的兩平面平行 D空間中平行于同一平面的兩平面平行 解析：利用類比推理，平面中的直線和空間中的平面

8、類比 答案：D,答案：C,9如圖所示，在ABC中，射影定理可表 示為abcos Cccos B，其中a，b，c分 別為角A，B，C的對邊，類比上述定理，寫出對空間四面體性質(zhì)的猜想,例4類比實(shí)數(shù)的加法和向量的加法，列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì) 精解詳析(1)兩實(shí)數(shù)相加后，結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，兩向量相加后，結(jié)果仍是向量； (2)從運(yùn)算律的角度考慮，它們都滿足交換律和結(jié)合律， 即：abba，abba， (ab)ca(bc)，(ab)ca(bc)；,(3)從逆運(yùn)算的角度考慮，二者都有逆運(yùn)算，即減法運(yùn)算，即ax0與ax0都有唯一解，xa與xa； (4)在實(shí)數(shù)加法中，任意實(shí)數(shù)與0相加都不改變大小，即a0a.在向量加

9、法中，任意向量與零向量相加，既不改變該向量的大小，也不改變該向量的方向，即a0a.,一點(diǎn)通運(yùn)用類比推理常常先要尋找合適的類比對象，本例中實(shí)數(shù)加法的對象為實(shí)數(shù)，向量加法的對象為向量，且都滿足交換律與結(jié)合律，都存在逆運(yùn)算，而且實(shí)數(shù)0與零向量0分別在實(shí)數(shù)加法和向量加法中占有特殊的地位因此我們可以從這四個(gè)方面進(jìn)行類比,10試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)并填寫下表.,答案：abacbcabacbc(c0) ab0a2b2.(說明：“”也可改為“”),1用歸納推理可從具體事例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，但應(yīng)注意，僅根據(jù)一系列有限的特殊事例，所得出的一般結(jié)論不一定可靠，其結(jié)論的正確與否，還要經(jīng)過嚴(yán)格的理論證明 2進(jìn)行類比推理時(shí)，要盡量從本質(zhì)上思考，不要被表面現(xiàn)象所迷惑，否則，只抓住一點(diǎn)表面