高二數學排列組合綜合應用問題.ppt

1、排列組合 綜合應用題,例8、10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，試求滿足如下條件各有多少種情況： （1）4只鞋子恰有兩雙； （2） 4只鞋子沒有成雙的； （3） 4只鞋子只有一雙。,分析:,(1)因為4只鞋來自2雙鞋, 所以有,(2)因為4只鞋來自4雙不同的鞋, 而從10雙鞋中取4雙有種 方法, 每雙鞋中可取左邊一只也可取右邊一只, 各 有 種取法,所以一共有 種取法.,(3)因為4只鞋來自3雙鞋,而從10雙鞋中取3雙有 種 取法,3雙鞋中取出1雙有 種方法,另2雙鞋中各取1只 有 種方法故共有 種取法.,引入：前面我們已經學習和掌握了排列組合問題 的求解方法，下面我們要在

2、復習、鞏固已掌握的方 法的基礎上，學習和討論排列、組合的綜合問題。 和應用問題。,問題：解決排列組合問題一般有哪些方法？應注 意什么問題？,解排列組合問題時，當問題分成互斥各類時，根據加法原理，可用分類法；當問題考慮先后次序時，根據乘法原理，可用位置法；上述兩種稱“直接法”,當問題的反面簡單明了時，可通過求差排除法,采用“間接法”；另外，排列中“相鄰”問題可采用捆綁法；“分離”問題可用插空法等。,解排列組合問題，一定要做到“不重”、“不漏”。,分為三組，一組5人，一組4人，一組3人；,分為甲、乙、丙三組，甲組5人，乙組4人，丙組3人；,分為甲、乙、丙三組，一組5人，一組4人，一組3人；,分為甲

3、、乙、丙三組，每組4人；,分為三組，每組4人。,例1：12 人按照下列要求分配，求不同的分法種數。,答案,C125.C74.C33, C125.C74.C33, C125.C74.C33.A33,C124.C84.C44,分成三組，其中一組2人，另外兩組都是 5人。,小結：練習1說明了非平均分配、平均分配以及部分平均分配問題。,1.非平均分配問題中，沒有給出組名與給出 組名是一樣的，可以直接分步求；給出了組名 而沒指明哪組是幾個，可以在沒有給出組名 （或給出組名但不指明各組多少個）種數的 基礎上乘以組數的全排列數。,2.平均分配問題中，給出組名的分步求；若沒給出組名的，一定要在給出組名的基礎上

4、除以組數的全排列數。,3.部分平均分配問題中，先考慮不平均分配，剩下的就是 平均分配。這樣分配問題就解決了。,結論：給出組名(非平均中未指明 各組個數）的要在未給出組名的種 數的基礎上，乘以組數的階乘。,例2：求不同的排法種數。 6男2女排成一排，2女相鄰； 6男2女排成一排，2女不能相鄰； 4男4女排成一排，同性者相鄰； 4男4女排成一排，同性者不能相鄰。,例3：某乒乓球隊有8男7女共15名隊員，現(xiàn)進行混合雙打訓練，兩邊都必須要1男1女，共有多少種不同的搭配方法。,分析：每一種搭配都需要2男2女，所以先要選出2男2女，有C82.C72種；,然后考慮2男2女搭配，有多少種方法？,男女-男女,

5、Aa-Bb, Ab-Ba, Bb-Aa, Ba-Ab,顯然： 與； 與在搭配上是一樣的。所以只有2種方法，所以總的搭配方法有2 C82.C72種。,先組后排,1. 高二要從全級10名獨唱選手中選出6名在歌詠會上表演，出場安排甲，乙兩人都不唱中間兩位的安排方法有多少種？,練習：,（一）.有條件限制的排列問題,例1：5個不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列。 a,e必須排在首位或末位，有多少種排法？ a,e既不在首位也不在末位，有多少種排法？ a,e排在一起多少種排法？ a,e不相鄰有多少種排法？ a在e的左邊（可不相鄰）有多少種排法？,解： （解題思路）分兩步完成，把a,e排在首末兩端有A

6、22種，再把其余3個元素排在中間3個位置有A33種。由乘法共有A22. A33=12(種)排法。,優(yōu)先法,二.排列組合應用問題,解： 先從b,c,d三個選其中兩個 排在首末兩位，有A32種，然后把剩下的一個與a,e 排在中間三個位置有A33種，由乘法原理: 共有A32. A33=36種排列.,間接法： A55- 4A44+2A33（種）排法。,解：捆綁法：a,e排在一起，可以將a,e看成 一個整體,作為一個元素與其它3個元素全排列，有 A44種； a,e兩個元素的全排列數為A22種，由乘法原 理共有A44. A22(種)排列。,解：排除法：即用5個元素的全排列數A55，扣除a,e排在一起排列數

7、A44. A22，則a,e不相鄰的排列總數為A55- A44. A22（種）,插空法：即把a,e以外的三個元素全排列有A33種， 再把a,e插入三個元素排定后形成的4個空位上有A42 種，由乘法原理共有A33. A42 (種),解: a在e的左邊(可不相鄰)，這表明a,e只有一種順序，但a,e間的排列數為A22，所以，可把5個元素全排列得排列數A55，然后再除以a,e的排列數A22。所以共有排列總數為A55 / A22（種）,注意：若是3個元素按一定順序，則必須除以排列數 P33。,例2：已知集合A=1，2，3，4，5，6，7，8，9， 求含有5個元素，且其中至少有兩個是偶數的子集的個數。,（

8、二）有條件限制的組合問題：,解法1：5個元素中至少有兩個是偶數可分成三類： 2個偶數，3個奇數；3個偶數，2個奇數；4個偶數， 1個奇數。所以共有子集個數為 C42.C53+C43.C52+C44.C51=105,解法2：從反面考慮，全部子集個數為P95，而不符合條件 的有兩類： 5 個都是奇數；4個奇數，1個偶數。所以 共有子集個數為C95-C55-C54.C41=105,（三）排列組合混合問題：,例3：從6名男同學和4名女同學中，選出3名男同學和2名女同學分別承擔A，B，C，D，E 5項工作。一共有多少種分配方案。,解1：分三步完成，1.選3名男同學有C63種，2.選2名女同學有C42種，

9、3.對選出的5人分配5種不同的工作有A55種，根據乘法原理C63.C42.A55=14400(種).,例3：從6名男同學和4名女同學中，選出3名男同 學和2名女同學分別承擔A，B，C，D，E5項工作。 一共有多少種分配方案。,解2：把工作當作元素，同學看作位置，1.從5種 工作中任選3種（組合問題）分給6個男同學中的3人（排列問題）有C53.A63種,第二步,將余下的2個工作分給4個女同學中的2人有A42種.根據乘法原理共有C53.A63. A42=14400(種). 亦可先分配給女同學工作,再給男同學分配工作,分配方案有C52 . A42.A63=14400(種).,例4.九張卡片分別寫著數

10、字0，1，2，8，從中取出三 張排成一排組成一個三位數，如果6可以當作9使用，問 可以組成多少個三位數？,解：可以分為兩類情況： 若取出6，則有 種方法； 若不取6，則有 種方法，,根據分類計數原理，一共有 + 602 種方法,排列組合應用題與實際是緊密相連的，但思考起來又比較抽象?！熬唧w排”是抽象轉化為具體的橋梁，是解題的重要思考方法之一?！熬唧w排”可以幫助思考，可以找出重復，遺漏的原因。有同學總結解排列組合應用題的方法是“ 想透，排夠不重不漏” 是很有道理的。,解排列組合應用題最重要的是，通過分析構想設計合理的解題方案，在這里抽象與具體，直接法與間接法，全面分類與合理分步等思維方法和解題策略得到廣泛運用。,課堂小結,典型例題,1. 4名優(yōu)等生被保送到3所學校，每所學校至少 得1名，則不同的保送方案總數為（ ）。 （A) 36 (B) 24 (C) 12 (D) 6,2.若把英語單詞“error”中字母的拼寫順序寫錯了，則可能 出現(xiàn)的錯誤的種數是（ ） （A) 20 (B) 19 (C) 10 (D) 69,3.小于50000且含有兩個5，而其它數字不重復的五位數 有（ ）個。 （A) (B) (C) (D),A,B,B,練 習,3. 15 人按照下列要求分配，求不同的分法種數。,(1)分為三組，每組5人,共有_ 種不同的分法。,（2）