327-其他資源-李琳老師工磁ppt第二章_W

1、第 2 章電準(zhǔn)靜態(tài)場“You can do anything if you have enthusiasm. Enthusiasm is the yeast that makes your hopes rise to the stars.”Henry Ford 2.1 標(biāo)量電位2.1.1 標(biāo)量泊松方程及其解電準(zhǔn)靜態(tài)場的電場是無旋的，由此，可以定義標(biāo)量電位：E = -j把電場強(qiáng)度在場域中任意的兩點 P 和 Q 之間積分，得：QQPP E dl = -P j dl = Q dj = j(P) - j(Q)如如如如如如如如如如如 Q 如如如如如如如如如如如如如j (Q)=0如如如如如如 P如如如如如

2、如如如如如如j如如如如如如如如如如如如如如如如如如如D=Ee如如如如如如r2j = - e上式稱為標(biāo)量電位j滿足的泊松方程。在無電荷分布的區(qū)間，方程右端項為零，稱為拉普拉斯方程：2j = 0 將點電荷的電場強(qiáng)度的表達(dá)式代入電位的積分式，且以無窮遠(yuǎn)點為零電位參考點，積分得：j(r) =Pqa4pe r 2r=dlPq4pe r2dr =qdlPr4pe r由疊加原理，可得電荷作體分布、面分布和線分布時，空間任意一點標(biāo)量電位的積分表達(dá)式分別為：qj(r) = r (r)dV 圖 2-V 4pe r - r1j(r) = s (r)dS S 4pe r - rj(r) = t (r)dlC 4pe

3、r - r 2.1.2 電場線和等電位線電場線的定義為：電場線上任一點的切線方向與該點電場強(qiáng)度的方向一致。E dl = 0Edl將E = ax Ex + ay Ey + az E和zdl = ax dx + ay dy + az dz 代入上式可得電場線滿足的微分方程為：dx = dy= dzExEyEz等電位線的方程為：j = C圖 2- 2 ：【例 2-1 】真空中電偶極子遠(yuǎn)區(qū)的電位和電場強(qiáng)度。取如圖的球坐標(biāo)系，由點電荷電位的表達(dá)式，可得電偶極子的電位q11qr- r2j(r) =( -) = 21r1rqr24pe0r1r4pe0r1r2z由于 rd, 在圖中 r， r和 r 三者近似平

4、行，r- r d cos1 q ,2r r r2qd o此時，2112。得：-qj(r) = qd cosq=p ar4pe0r24pe0 r 2求電位的負(fù)梯度，可得電偶極子遠(yuǎn)區(qū)的電場強(qiáng)度圖 2-3：E = -j= -( jarr+ 1 jr qaq ) =qd34pe0 r(2 cosq ar+ sinqaq )電偶極子的電場線和等位線如圖 2-4 所示。 2.2 不同介質(zhì)分界面上的邊界條件電準(zhǔn)靜態(tài)場的電場滿足的積分形式方程為：C Edl0S D=dSV rdV 如如如如如如如如如如如 E 如如如如如如 D 如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如n0 (

5、E1 - E2 ) = 0n0 (D- D ) = s12對應(yīng)的標(biāo)量電位滿足的邊界條件：j1=j2ej22n- e1j1 = sn 對于理想介質(zhì)與理想導(dǎo)體的分界面，邊界條件為：n0 E1 = 0或E1t= E2 t= 00nD1= s或D1n = s對應(yīng)的標(biāo)量電位滿足的邊界條件：j2= C-e1j1 = sn 因此，處于電準(zhǔn)靜態(tài)場中的良導(dǎo)體可以近似看成等位體，良導(dǎo) 體 表面近似為等位面；良導(dǎo)體可以帶電荷，電荷全部分布在導(dǎo) 體的表面。 折射率如如如如如如如如如如如如如如如如 D1=e1E1 如 D2=e2E2如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如(s = 0) 如如如E1 sinq

6、1 = E2 sinq2e1E1 cosq1 =e2 E2 cosq2兩式相除，即得tanqe介質(zhì)分界面上的極化電荷 1tanq2= 1e2o p = s1P+ s 2P = P1 - P2 = P1n - P2nanan結(jié)合Dn= 0 En + Pns p = 0 (E2 n - E1 n ) 2.3 電容兩個導(dǎo)體系統(tǒng)的電容 C 定義為導(dǎo)體所帶電荷量 q 與兩導(dǎo)體間電壓 u 之比 ( C=q/u) 。假定系統(tǒng)中有 n+1 個導(dǎo)體，任一時刻所有導(dǎo)體所帶電量的代數(shù)和為零，即q0 + q1 + q2+L+ qn= 0取大地或無窮遠(yuǎn)作為參考點，則其余 n 各導(dǎo)體的電位與所有導(dǎo)體所帶的電荷量相關(guān)，列寫

7、如下的代數(shù)方程組：j1 =a11 q1 +a12 q2+L+ a1nqnj= aq+ aq+L+ aq22112222 nnLLLLLLLLLLLjn= an1q1 + an 2 q2 +L+ annqn 12其中，a11 ,a22 ,L,ann稱為自有電位系數(shù)，a,a13 ,L,a1n稱為互有電位系數(shù)。q1 = b11j1 +b12j2 +L+ b1njn2222q= b21j1 +bj+L+b2 njnLLLLLLLLLLLqn = bn1j1 + bn 2j2 +L+bnnjn 其中，b11 , b22 ,L, bn 稱n為自有感應(yīng)系數(shù)，b12 , b13 ,L, b1n稱為互有感應(yīng)系數(shù)

8、。作變換 , 得：q1 = C10j1 + C12 (j1 -j2 ) +L+ C1n (j1 - jn )q2 = C21 (j2 -j1 ) + C20j2 +L+ C2 n (j2 - jn )LLLLLLLLLLLqn = Cn1 (jn - j1 ) + Cn 2 (jn - j2 ) +L+ Cn 0jn 其中，Ci 0 = bi1 +bi 2 +L+ bi稱n為自有部分電容，即各導(dǎo)體與參考導(dǎo)體之間的部分電容。而有部分電容。Cij = -（biji ）稱j為互【例 2-3 】真空中平行雙線傳輸線的單位長度電容。如圖 2-8 所示，利用例 2-2 中無限長線電荷電場的表達(dá)式，可得場點

9、 P 的電場為：EP = axt+2pextyt-tpxxd2pe(d - x)00兩導(dǎo)線間電位差為：d -aU =E a= tln d - apeaxadx 0單位長度電容為：= t=pepeC 0 0 0Uln d - a aln da 2.4 導(dǎo)電媒質(zhì)中的電場2.4.1 自由電荷在導(dǎo)電媒質(zhì)中的馳豫假定導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率為g，介電常數(shù)為e，結(jié)合媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系J、=gED、=由eE電荷守恒定律，得：r+ gte該一階微分方程的解為：r = 0 tr = r0e-t e其中，r0 為 t=0 時的初始電荷密度分布，te = e / g（秒）為電荷密度衰減的時間常數(shù)。 2.4.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中電場的

10、基本方程E dl = 0CS D dS=qJ dSS= - ddt V rdV兩種不同導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上，場量滿足的邊界條件為：n0 (E- E) = 0n0 (D - D ) = sn0 (J - J) = - ds121212dt利用高斯定理并結(jié)合電荷守恒定律，可得標(biāo)量電位j滿足的二階偏微分方程： (gj + e j) = 0t在均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中，上式可以寫成：2 (j + j ) = 0tte該式的解可以看成一個特解j P 和一個通解j h 的線性組合，即: j = jP + jh其中特解j P 服從類似電荷密度的弛豫方程：jP+ jP= 0tte而通解j h 滿足拉普拉斯方程：h2j= 0

11、特解j P 隨時間的變化規(guī)律與電荷密度相同，其在空間的分布可以借助下式的積分獲得：jP (r) = r0 (r)e-t / t e dV V4pe r - r可見，該式滿足電荷與電位分布的初始條件。 如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如 t=0 如如如如如如如如 US 如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如在 t 0+ 時，兩層導(dǎo)電媒質(zhì)中電場滿足：+E1d1 + E2 d2= Usd1e1 g1e g US在兩層導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上，滿足電荷守恒d22 2定律的邊界條件為：-R1R2d(E e- E

12、e) +(gE- gE) = 0dt2211如如 E2, 如如2211C1 CdEdU2(d1e2+ d2e1 ) 1dt+ (d1g2+ d2g1)E1= g 2US+ e2 Sdt（ *） 上式為一階非齊次常微分方程，其通解等于穩(wěn)態(tài)解+ 暫態(tài)解 （對應(yīng)齊次方程的通解）。+ 由于t 0 時dUS= 0，穩(wěn)態(tài)解為：E =g 2USdt 1d g + d g122- td e1+ d e暫態(tài)解： E = Ae te其中時間常數(shù)為： te = 12211因此，通解為： E1= 2 g SU+ Ae td g+ d g1221- te(#)d1g 2 + d2g1將 (*) 式兩邊對時間從0- 0+

13、 積分，得：0+0+E1 (0+ )(d e+ d e )dE +(d g+ d g )E dt =g U dt +U S ( 0 + )e dUE ( 0)1221101221102SU( 0)2S1- S- 由于E1(0- ) = 0，US (0- ) =，0US (0+) =，US可得：E (0) =e2USd e1+ d e1221代入（ # ）式，得A =e2US-g 2US：d1e2 + d2e1d1g2 + d2g1e U- t g U- t因此：E1= 2Se t e+2S(1- et e )d e+ d ed g+ d g12211221e U- tg U- tE2= 1Se

14、 t e+1S(1- et e )d e+ d ed g+ d g12211221分界面上自由電荷面密度為： to = eE-e Ee 2g1 - e1g 2U(1- e- )2211 =d g+ d gSte1221 2.4.3 恒定電場 t- t恒定電場r = r0 ee導(dǎo)電媒質(zhì) r=0恒定電場也是無旋場 E = 0恒定電流連續(xù)性方程 J =0恒定電場的標(biāo)量電位滿足拉普拉斯方程在兩種導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的邊界條件為2j = 0n0a1J1e ge g1122a2J2：E1t = E2 tJ1n= J2 n如果兩種導(dǎo)電媒質(zhì)均為各向同性的線性媒質(zhì)tana1 tana2= g1 g2 對于g良導(dǎo)體g（媒質(zhì) 2 ）與a 不良導(dǎo)o體（媒質(zhì) 1 ）的o 分界面（ 21 90a 0），只要2，可得。1 不良導(dǎo)電媒質(zhì)中兩金屬電極間的漏電導(dǎo)如如如如如如如如如如如如如 U如如如如如如如如 I 如SU如如如如如如如如如如如如如如如如如如如0如如如如如如如如如J 如如如如如如如如如如如如如如如如G =I Jc dSg E dS= S= SU E dll E dllG= gqD dSe E dSCeC = =SUE dll= SE dll接地電阻接地器與大地的接觸電阻接地器和接地導(dǎo)線的電阻R2.4.4 接地 兩接地器之間土壤的電阻G = 1 = 4 pg a j(