高中數(shù)學(xué) 第1章第2節(jié)應(yīng)用舉例素材 新人教A版必修

1、1.2應(yīng)用舉例問題1：在日常生活和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，為了達(dá)到某種目的，常常想測(cè)得一個(gè)點(diǎn)與另一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)間的距離或在遠(yuǎn)處的兩個(gè)物體之間的距離，這樣的想法能實(shí)現(xiàn)嗎？如何實(shí)現(xiàn)呢？問題2：在有關(guān)三角形的相關(guān)實(shí)際題目中，常常涉及到各種角：比如“方位角”、“仰角”、“俯角”等，這些角之間都一樣嗎？它們?nèi)绾螀^(qū)分呢？為什么在實(shí)際問題中常常出現(xiàn)這些角？答案：?jiǎn)栴}1：學(xué)習(xí)過了正、余弦定理后，上述所提的問題是能夠?qū)崿F(xiàn)。有時(shí)由于條件所限，需要測(cè)量像一個(gè)點(diǎn)與河對(duì)面一點(diǎn)或船到礁石這類不可到達(dá)點(diǎn)的距離時(shí)，一般作法是在河這邊或主航道上發(fā)生一段位移，從兩個(gè)不同地點(diǎn)測(cè)出到這個(gè)不能到達(dá)點(diǎn)的視角及這段位移的長(zhǎng)度，從而通過計(jì)算得出答案

2、。從而將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題：已知一個(gè)三角形的兩角及夾邊，要求這個(gè)三角形的其中一邊，顯然只要根據(jù)正弦定理，就可以達(dá)到目的。例如：當(dāng)我們想在河這邊測(cè)出河對(duì)面兩點(diǎn)之間距離的時(shí)候，往往可以這樣做：在河這邊的兩個(gè)不同的地點(diǎn)分別測(cè)出望河對(duì)面兩點(diǎn)及另一地點(diǎn)的視角，再結(jié)合這兩個(gè)地點(diǎn)之間的距離，通過通過三次應(yīng)用正弦定理計(jì)算求得河對(duì)面兩點(diǎn)之間的距離。問題2：在實(shí)際生活中，方位也是大家所熟悉的，首先在地圖上，東西南北這四個(gè)基本方位要能區(qū)分開來?！把鼋恰本褪怯傻吞幫咛幫?，相應(yīng)視線與水平線所成的角；而“俯角”就是由高處往低處看，相應(yīng)的視線與水平線所成的角。另外，常見的還有其它一些角，對(duì)于在具體問題中所出現(xiàn)的新名詞

3、，自己應(yīng)該根據(jù)在具體問題中去體會(huì)其含義。從而正確地將問題解決。只有這些角能正確地區(qū)分開來，才能將問題恰當(dāng)?shù)亟鉀Q。因?yàn)樵趯?shí)際問題中一個(gè)物體相對(duì)于另一個(gè)物體的位置關(guān)系，常常用方位來描述，這也符合人們的習(xí)慣，自然就會(huì)出現(xiàn)有關(guān)一些方位的詞語了。而這些角在數(shù)學(xué)上體現(xiàn)往往又是在三角形中，所以有關(guān)三角形的實(shí)際問題，經(jīng)常又會(huì)與這些角有關(guān)。例1在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，同學(xué)們?cè)谙嗑?0海里的A、B兩個(gè)小島上活動(dòng)結(jié)束后，有人提出到隔海相望的未知的C島上體驗(yàn)生活，為合理安排時(shí)間，他們需了解C島與B島或A島的距離.為此他們測(cè)得從A島望C島和B島成60的視角，從B島望C島和A島成75的視角，那么B島和C島之間的距離是多少海里

4、？解：在中，由題意知，。由正弦定理=，。點(diǎn)評(píng)：本題中涉及到“視角”這樣一個(gè)名詞，這個(gè)名詞的意思對(duì)于大家來說并不陌生，根據(jù)題意的敘述正確畫出示意圖來，然后在相應(yīng)三角形的應(yīng)用正弦定理就可以達(dá)到目的，真正把數(shù)學(xué)融入實(shí)際生活。練習(xí)1 江岸邊有一炮臺(tái)高30米，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為450和300，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成300角，（炮臺(tái)底部與江面平行），求兩條船相距多少米？例2 如圖1-2-1所示，一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南的方向上，行駛5 km后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在東偏南的方向上，仰角為，求此山的高度CD。圖1-2-1解：要測(cè)出高

5、CD，只要測(cè)出高所在的直角三角形的另一條直角邊或斜邊的長(zhǎng)即可。根據(jù)已知條件，可以計(jì)算出BC的長(zhǎng)。在ABC中，A=15，C=2515=10，根據(jù)正弦定理，=，BC=7.4524（km），CD=BCtanDBCBCtan81047（m）.答：山的高度約為1047米.點(diǎn)評(píng)：此類問題主要容易錯(cuò)在角度的具體位置找不對(duì)，另外在具體問題中有時(shí)可能不知道采用什么定理以及在哪些三角形中應(yīng)用相應(yīng)定理去解決問題，這些都要根據(jù)具體題目的已知條件去作具體分析。練習(xí)2 航空測(cè)量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔10000m,速度為180km（千米）/h（小時(shí)）飛機(jī)先看到山頂?shù)母┙菫?50，經(jīng)過420

6、s（秒）后又看到山頂?shù)母┙菫?50，求山頂?shù)暮０胃叨龋ㄈ?.4,1.7）例3 在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進(jìn)30m，至點(diǎn)C處測(cè)得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進(jìn)10m至D點(diǎn)，測(cè)得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高。圖1-2-2解法一：如圖所示，（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4， = 。 因?yàn)?sin4=2sin2cos2cos2=,得 2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m解法二：（設(shè)方程來求解）設(shè)DE= x，AE=h 在 RtACE中,(

7、10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 兩式相減，得x=5,h=15在 RtACE中,tan2=2=30,=15 答：所求角為15，建筑物高度為15m解法三：（用倍角公式求解）設(shè)建筑物高為AE=8，由題意，得BAC=， CAD=2，AC = BC =30m , AD = CD =10m在RtACE中，sin2= - 在RtADE中，sin4=, - 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m。點(diǎn)評(píng)：本題中所涉及的角之間的關(guān)系要注意把握，有的同學(xué)看到是否會(huì)想到將其給表示為含的三角式，從而走向誤區(qū)，導(dǎo)致問題無法解決。練習(xí)

8、3 在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O（如圖）的東偏南方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大，問幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？受到臺(tái)風(fēng)的侵襲的時(shí)間有多少小時(shí)？例4 在中,若，判斷此三角形的形狀。解：方法1：化角為邊由已知可得，即：，由正、余弦定理得：，即：，或；方法2：化邊為角，由已知變形得 ，即，即：，又均為不，或即或。因此該三角形是等腰三角形或直角三角形。點(diǎn)評(píng)：此類型的問題比較常見，思考方式通常就是兩個(gè)方向，一是從角的角度去判斷；二是從邊的角度去判斷。有

9、時(shí)，兩種方法都能達(dá)到目的，而有時(shí)則只能采用某種辦法才能達(dá)到目的或者用另外的辦法很復(fù)雜。在具體問題中注意選擇恰當(dāng)?shù)姆绞?。練?xí)4在中，求證：練習(xí)答案：1.如圖，A為炮臺(tái)，B為炮臺(tái)底部，C、D為兩條小船，則 中，由余弦定理得，。2如圖 150450300， AB= 180km（千米）/h（小時(shí)）420s（秒）= 21000(m ) 在中， 7350山頂?shù)暮０胃叨?0000-7350=2650(米)3設(shè)經(jīng)過t小時(shí)臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)，臺(tái)風(fēng)邊沿恰經(jīng)過O城， 由題意可得：OP=300，PQ=20t，OQ=r(t)=60+10t 因?yàn)椋?-45,所以， 由余弦定理可得：OQ2=OP2+PQ2-2OPPQ 即

10、 (60+10t)2=3002+(20t)2-230020t 即， 解得,， 答：12小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)氣侵襲，受到臺(tái)風(fēng)的侵襲的時(shí)間有12小時(shí)？4證法一（考慮“角換邊”）左邊=右邊；證法二（考慮“角換邊”）左邊=右邊.達(dá)標(biāo)檢測(cè)A組 基礎(chǔ)過關(guān)一、填空題1.如圖，一艘船上午9：30在A處得燈塔S在它的北偏東30處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75處，且與它相距8n mile此船的航速是 mile/h第1題 二、解答題ABCD 2E2E2某人在塔AB的正東C處，沿著南偏西的方向前進(jìn)40米到達(dá)D處，望見塔在東北方向，若沿途測(cè)得塔的最大仰角為，

11、求塔高. 第2題第3題33333331-3-13如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸兩點(diǎn)之間的距離，在河岸這邊取點(diǎn)，測(cè)得，.設(shè)在同一平面內(nèi)，試求之間的距離。（精確到）.4如圖1-3-2，某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍艦艇在處獲悉后，測(cè)出該漁輪在方位角為，距離為的處，并測(cè)得漁輪正沿方位角為的方向，以的速度向小島靠攏，我海軍艦艇立即以的速度前去營(yíng)救.求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間（角度精確到，時(shí)間精確到）.B組 綜合拓展5如圖，點(diǎn)A表示一小靈通信號(hào)發(fā)射的位置（塔高不計(jì)），為一條東北走向的公路，技術(shù)人員為測(cè)試該發(fā)射塔信號(hào)的覆蓋范圍，自A點(diǎn)正西方向的B處騎自行車沿公路出發(fā)，約經(jīng)過6分鐘，發(fā)現(xiàn)小靈通開始

12、有信號(hào)，已知：AB=4km，車速10km/h，能否根據(jù)以上信息，測(cè)算出該塔信號(hào)的覆蓋半徑以及小靈通持續(xù)顯示信號(hào)的時(shí)間？參考答案：A組 基礎(chǔ)過關(guān)一、填空題1 32 mile/h二、解答題2解：依題意畫圖ABCDEE 某人在C處，AB為塔高，他沿CD前進(jìn)，CD=40米，此時(shí)，從C到D所測(cè)塔的仰角，只有B到CD最短時(shí)，仰角才最大，這是因?yàn)闉槎ㄖ?，要求出塔高AB，須先求BE，要求BE，須先求BD或BC. 在BDC中，CD=40，. 由正弦定理得， =在中，在，.故所求的塔高為米.3. 圖1-3-1解：在中，則.又，由正弦定理，得.在中，則.又，由正弦定理，得.在中，由余弦定理，得，所以 答：兩點(diǎn)之間的距離約為.4. 解：設(shè)艦艇收到信號(hào)后在處靠攏漁輪，則，又，.由余弦定理，得，即.化簡(jiǎn)，得，解得（負(fù)值舍去）.由正弦定理，得，所以，方位角為.答 艦艇應(yīng)沿著方向角的方向航行，