《電磁場與電磁波》（第四版）習(xí)題集：第5章 均勻平面波在無界空間中的傳播

1、第5章 均勻平面波在無界空間中的傳播在上一章中，我們從麥克斯韋方程出發(fā)，導(dǎo)出了電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度所滿足的波動(dòng)方程，本章我們將討論電磁波的傳播規(guī)律與特點(diǎn)。我們從最簡單的均勻平面波著手，所謂均勻平面波是指電磁波的場矢量只沿著它的傳播方向變化，在與波傳播方向垂直的無限大平面內(nèi)，電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度的方向、振幅和相位都保持不變。例如沿直角坐標(biāo)系的方向傳播的均勻平面波，在和所構(gòu)成的橫平面上無變化，如圖5.1.1所示。圖5.1.1 均勻平面波均勻平面波是電磁波的一種理想情況，它的特性及討論方法簡單，但又能表征電磁波重要的和主要的性質(zhì)。雖然這種均勻平面波實(shí)際上并不存在，但討論這種均勻平面波是具有實(shí)際意義的。因

2、為在距離波源足夠遠(yuǎn)的地方，呈球面的波陣面上的一小部分就可以近似看作一個(gè)均勻平面波。本章首先討論在無界理想介質(zhì)中均勻平面波的傳播特點(diǎn)和各項(xiàng)參數(shù)的物理意義，然后討論有耗媒質(zhì)中均勻平面波的傳播特點(diǎn)，最后討論各向異性媒質(zhì)中均勻平面波的傳播特點(diǎn)。5.1 理想介質(zhì)中的均勻平面波5.1.1 理想介質(zhì)中的均勻平面波函數(shù)假設(shè)所討論的區(qū)域?yàn)闊o源區(qū)，即、，且充滿線性、各向同性的均勻理想介質(zhì)，現(xiàn)在我們來討論均勻平面波在這種理想介質(zhì)中的傳播特點(diǎn)。首先考慮一種簡單的情況，假設(shè)我們選用的直角坐標(biāo)系中均勻平面波沿方向傳播，則電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度都不是和的函數(shù)，即，同時(shí)，由和，有，再根據(jù)和的波動(dòng)方程，可得到，這表明沿方向傳播的均

3、勻平面波的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度都沒有沿傳播方向的分量，即電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度都與波的傳播方向垂直，這種波又稱為橫電磁波（TEM波）。對(duì)于沿方向傳播的均勻平面波，電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度的分量、和、滿足標(biāo)量亥姆霍茲方程 （5.1.1） （5.1.2） （5.1.3） （5.1.4）上述四個(gè)方程都是二階常微分方程，它們具有相同的形式，因而它們的解的形式也相同。下面只對(duì)方程（5.1.1）及其解進(jìn)行討論。方程（5.1.1）的通解為 （5.1.5）其中、，、分別為、的幅角。寫成瞬時(shí)表達(dá)式，則為 （5.1.6）5.1.2 理想介質(zhì)中均勻平面波的傳播特點(diǎn) 式（5.1.5）的第一項(xiàng)代表沿方向傳播的均勻平面波，第二項(xiàng)代表

4、沿方向傳播的均勻平面波。對(duì)于無界的均勻媒質(zhì)中只存在沿一個(gè)方向傳播的波，這里討論沿正方向傳播的均勻平面波，即 （5.1.7）瞬時(shí)表達(dá)式為 （5.1.8）可見，場分量既是時(shí)間的周期函數(shù)，又是空間坐標(biāo)的周期函數(shù)。圖5.1.2 的曲線圖5.1.3 的曲線在常數(shù)的平面上，隨時(shí)間作周期性變化。圖5.1.2給出了的變化曲線，這里取。為時(shí)間相位，則表示單位時(shí)間內(nèi)的相位變化，稱為角頻率，單位為。由得到場量隨時(shí)間變化的周期為 （5.1.9）它表征在給定的位置上，時(shí)間相位變化的時(shí)間間隔。 （5.1.10）為電磁波的頻率。在任意固定時(shí)刻，隨空間坐標(biāo)作周期性變化，圖5.1.3給出了的變化曲線。為空間相位，所以波的等相位

5、面（波陣面）是為常數(shù)的平面，故稱為平面波。表示波傳播單位距離的相位變化，稱為相位常數(shù)，單位為。在任意固定時(shí)刻，空間相位差為的兩個(gè)波陣面之間的距離稱為電磁波的波長，用表示，單位為。由可得到 （5.1.11）由于，又可得到 （5.1.12）可見電磁波的波長不僅與頻率有關(guān)，還與媒質(zhì)參數(shù)有關(guān)。由式（5.1.11）可得到 （5.1.13）圖5.1.4 幾個(gè)不同時(shí)刻的圖形所以的大小也表示在的空間距離內(nèi)所包含的波長數(shù)，所以又將稱為波數(shù)。電磁波的等相位面在空間中的移動(dòng)速度稱為相位速度，或簡稱相速，以表示，單位為。圖5.1.4給出了在幾個(gè)不同時(shí)刻的圖形，對(duì)于波上任一固定觀察點(diǎn)（譬如波峰點(diǎn)），其相位為恒定值，即常

6、數(shù)，于是，由此得到均勻平面波的相速為 （5.1.14）由于，所以又得到 （5.1.15）由此可見，在理想介質(zhì)中，均勻平面波的相速與頻率無關(guān)，但與媒質(zhì)參數(shù)有關(guān)。在自由空間 、，這時(shí) （5.1.16）為自由空間的光速。利用麥克斯韋方程，可得到電磁波的磁場表達(dá)式。由，有 （5.1.17）其瞬時(shí)表示式為 （5.1.18）其中 （5.1.19）是電場的振幅與磁場的振幅之比，具有阻抗的量綱，故稱為波阻抗。由于的值與媒質(zhì)的參數(shù)有關(guān)，因此又稱為媒質(zhì)的本征阻抗（或特性阻抗）。在自由空間中（） （5.1.20）由式（5.1.17）可知磁場與電場之間滿足關(guān)系 （5.1.21）或者寫為 （5.1.22）由此可見，電場

7、、磁場與傳播方向之間相互垂直，且遵循右手螺旋關(guān)系，如圖5.1.5所示。在理想介質(zhì)中，由于，所以有 （5.1.23）這表明，在理想介質(zhì)中，均勻平面波的電場能量密度等于磁場能量密度。因此，電磁能量密度可表表示為 （5.1.24）在理想介質(zhì)中，瞬時(shí)坡印廷矢量為 （5.1.25）平均坡印廷矢量為 （5.1.26）由此可見均勻平面波電磁能量沿波的傳播方向流動(dòng)。圖5.1.5 理想介質(zhì)中均勻平面波的和x yzEoH綜合以上的討論，可將理想介質(zhì)中的均勻平面波的傳播特點(diǎn)歸納為：（1）電場、磁場與傳播方向之間相互垂直，是橫電磁波（TEM波）；（2）電場與磁場的振幅不變；（3）波阻抗為實(shí)數(shù)，電場與磁場同相位；（4）

8、電磁波的相速與頻率無關(guān)；（5）電場能量密度等于磁場能量密度。例5.1.1 頻率為100Mz的均勻電磁波，在一無耗媒質(zhì)中沿方向傳播，其電場。已知該媒質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)、相對(duì)磁導(dǎo)率，且當(dāng)、時(shí)，電場幅值為。（1）求的瞬時(shí)表示式；（2）求的瞬時(shí)表示式。解：（1）設(shè)的瞬時(shí)表示為式中 rad/m對(duì)于余弦函數(shù)，當(dāng)相角為零時(shí)達(dá)振幅值。因此，考慮條件、時(shí)電場達(dá)到幅值，有所以 （2）的瞬時(shí)表示式為式中 因此 例5.1.2 頻率為9.4GHz的均勻平面波在聚乙烯中傳播，設(shè)其為無耗材料，相對(duì)介電常數(shù)為。若磁場的振幅為，求相速、波長、波阻抗和電場強(qiáng)度的幅值。解：由題意、因此 例5.1.3 自由空間中平面波的電場強(qiáng)度，求在

9、處垂直穿過半徑的圓平面的平均功率。解：電場強(qiáng)度的復(fù)數(shù)表示式為自由空間的本征阻抗為故得到該平面波的磁場強(qiáng)度于是，平均坡印廷矢量 垂直穿過半徑的圓平面的平均功率 5.1.4沿任意方向傳播的均勻平面波我們知道均勻平面波的傳播方向與等相位面垂直，在等相位面內(nèi)任一點(diǎn)的電磁場的大小和方向都是相同的，這些都與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)。前面討論了沿坐標(biāo)軸方向傳播的均勻平面波，這里討論均勻平面波沿任意方向傳播的一般情況。圖5.1.6 沿任意方向傳播的均勻平面波 圖5.1.6所示為沿任意方向傳播的均勻平面波，傳播方向的單位矢量為。定義一個(gè)波矢量，其大小為相位常數(shù)、方向?yàn)?，?（5.1.27）式中、為的三個(gè)分量。沿方向傳播

10、的均勻平面波是一種特殊情況，其波矢量為設(shè)空間任意點(diǎn)的矢徑為，則，因此可將沿方向傳播的均勻平面波表示為式中是一個(gè)常矢量，其等相位面為常數(shù)的平面。對(duì)于沿方向傳播的均勻平面波，等相位面是垂直于的平面，其方程為常數(shù)對(duì)照沿方向傳播的情況可知，沿任意方向傳播的均勻平面波的電場矢量可表示為 （5.1.28）而且由，可以得到，這表明電場矢量的方向垂直于傳播方向。與式（5.1.28）相應(yīng)的磁場矢量可表示為 （5.1.29）例5.1.4頻率的均勻平面波，在、的無損耗媒質(zhì)中傳播。已知、。求：（1）傳播方向；（2）和。解：（1） （2）由 ，得到 m5.2電磁波的極化5.2.1極化的概念前面在討論沿方向傳播的均勻平面

11、波時(shí)，假設(shè)。在任何時(shí)刻，此波的電場強(qiáng)度矢量的方向始終都保持在方向。一般情況下，沿方向傳播的均勻平面波的和分量都存在，可表示為 （5.2.1） （5.2.2）合成波電場。由于和分量的振幅和相位不一定相同，因此，在空間任意給定點(diǎn)上，合成波電場強(qiáng)度矢量的大小和方向都可能會(huì)隨時(shí)間變化，這種現(xiàn)象稱為電磁波的極化。電磁波的極化是電磁理論中的一個(gè)重要概念，它表征在空間給定點(diǎn)上電場強(qiáng)度矢量的取向隨時(shí)間變化的特性，并用電場強(qiáng)度矢量的端點(diǎn)隨時(shí)間變化的軌跡來描述。若該軌跡是直線，則波稱為直線極化；若軌跡是圓，則稱為圓極化；若軌跡是橢圓，則稱為橢圓極化。前一節(jié)討論的均勻平面波就是沿方向極化的線極化波。合成波的極化形式

12、取決于和分量的振幅之間和相位之間的關(guān)系。為簡單起見，下面取的給定點(diǎn)來討論，這時(shí)式(5.2.1)和式(5.2.2)寫成為 （5.2.3） （5.2.4）5.2.2 直線極化若電場的分量和分量的相位相同或相差，即或時(shí)，則合成波為直線極化波。當(dāng)時(shí)，可得到合成波電場強(qiáng)度的大小為 （5.2.5）合成波電場與軸的夾角為 （5.2.6）由此可見，合成波電場的大小雖然隨時(shí)間變化，但其矢端軌跡與軸夾角始終保持不變，如圖5.2.1所示，因此為直線極化波。對(duì)的情況，可類似討論。從以上討論可以得出結(jié)論：任何兩個(gè)同頻率、同傳播方向且極化方向互相垂直的線極化波，當(dāng)它們的相位相同或相差為時(shí)，其合成波為線極化波。圖5.2.1

13、 直線極化在工程上，常將垂直于大地的直線極化波稱為垂直極化波，而將與大地平行的直線極化波稱為水平極化波。例如，中波廣播天線架設(shè)與地面垂直，發(fā)射垂直極化波。收聽者要得到最佳的收聽效果，就應(yīng)將收音機(jī)的天線調(diào)整到與電場平行的位置，即與大地垂直；電視發(fā)射天線與大地平行，發(fā)射平行極化波，這時(shí)電視接收天線應(yīng)調(diào)整到與大地平行的位置, 我們所見到的電視共用天線都是按照這個(gè)原理架設(shè)的。5.2.3圓極化波若電場的分量和分量的振幅相等、但相位差為，即、時(shí)，則合成波為圓極化波。當(dāng)時(shí)，即，由式(5.2.3)和式(5.2.4)可得 故合成波電場強(qiáng)度的大小 （5.2.7）合成波電場與軸的夾角為 （5.2.8）由此可見，合成

14、波電場的大小不隨時(shí)間改變，但方向卻隨時(shí)變化，其端點(diǎn)軌跡在一個(gè)圓上并以角速度旋轉(zhuǎn)，如圖5.2.2所示，故為圓極化波。由式(5.2.8)可知，當(dāng)時(shí)間的值逐漸增加時(shí)，電場的端點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。若以左手大拇指朝向波的傳播方向（這里為方向），則其余四指的轉(zhuǎn)向與電場的端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向一致，故將圖5.2.2所示的圓極化波稱為左旋圓極化波。圖5.2.2 左旋圓極化波圖5.2.3 右旋圓極化波對(duì)于的情況，可類似討論。此時(shí)，合成波電場與軸的夾角為 （5.2.9）由此可見，當(dāng)時(shí)間的值逐漸增加時(shí)，電場的端點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖5.2.3所示。若以右手大拇指朝向波的傳播方向（這里為方向），則其余四指的轉(zhuǎn)向與電場的端點(diǎn)運(yùn)

15、動(dòng)方向一致，故將圖5.2.3所示的圓極化波稱為右旋圓極化波。從以上討論可以得出結(jié)論：任何兩個(gè)同頻率、同傳播方向且極化方向互相垂直的線極化波，當(dāng)它們的振幅相等且相位差為時(shí)，其合成波為圓極化波。在很多情況下，系統(tǒng)須利用圓極化波才能進(jìn)行正常工作，例如火箭等飛行器在飛行過程中其狀態(tài)和位置在不斷地改變，因此火箭上的天線方位也在不斷地改變，此時(shí)如用線極化的信號(hào)來遙控，在某些情況下則會(huì)出現(xiàn)火箭上的天線收不到地面控制信號(hào)，而造成失控。在衛(wèi)星通信系統(tǒng)中，衛(wèi)星上的天線和地面站的天線均采用了圓極化天線。電子對(duì)抗系統(tǒng)中，大多也采用圓極化天線進(jìn)行工作。5.2.4橢圓極化最一般的情況是電場的兩個(gè)分量的振幅和相位都不相等，

16、這樣就構(gòu)成橢圓極化波。為簡單起見，在式（5.2.3）和式（5.2.4）中，取，有由此二式中消去，可以得到 （5.2.10）這是一個(gè)橢圓方程，故合成波電場的端點(diǎn)在一個(gè)橢圓上旋轉(zhuǎn)，如圖5.2.4所示。當(dāng)時(shí)，它沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，為左旋橢圓極化；當(dāng)時(shí)，它沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，為右旋橢圓極化?？梢宰C明，橢圓的長軸與軸的夾角由下式確定 （5.2.11）直線極化和圓極化都可看作橢圓極化的特例。圖5.2.4 橢圓極化以上討論了兩個(gè)正交的線極化波的合成波的極化情況，它可以是線極化波、或圓極化波、或橢圓極化波。反之，任一線極化波、圓極化波或橢圓極化波也可以分解為兩個(gè)正交的線極化波。而且，一個(gè)線極化波還可以分解為兩個(gè)振

17、幅相等、但旋向相反的圓極化波；一個(gè)橢圓極化波也可以分解為兩個(gè)旋向相反的圓極化波，但振幅不相等。例5.2.1 判別下列均勻平面波的極化形式（1）（2）（3）解：（1）由于 所以這是一個(gè)線極化波，合成波電場與軸的夾角為（2）由于 所以 此波的傳播方向?yàn)檩S方向，與圖5.2.2所示的圓極化波的傳播方向相反，故應(yīng)為右旋圓極化波。（3）由于 所以此波沿軸方向傳播，故應(yīng)為右旋橢圓極化波。例5.2.2 已知一線極化波的電場，試將其分解為兩個(gè)振幅相等、旋向相反的圓極化波。解：設(shè)兩個(gè)振幅相等、旋向相反的圓極化波分別為，其中和為待定常數(shù)。令即由此可解得，顯然有。故兩個(gè)振幅相等、旋向相反的圓極化波分別為，5.3 均勻

18、平面波在導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳播在導(dǎo)電媒質(zhì)中，由于電導(dǎo)率，當(dāng)電磁波在導(dǎo)電媒質(zhì)中傳播時(shí)，其中必然有傳導(dǎo)電流，這將導(dǎo)致電磁能量損耗。因而，均勻平面波在導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳播特性與無損耗介質(zhì)的情況不同。5.3.1 導(dǎo)電媒質(zhì)中的均勻平面波在均勻的導(dǎo)電媒質(zhì)中，由可得到 （5.3.1）因此可見，在均勻的導(dǎo)電媒質(zhì)中，雖然傳導(dǎo)電流密度，但不存在自由電荷密度，即。在4.4.4中已指出，在均勻的導(dǎo)電媒質(zhì)中，電場和磁場滿足的亥姆霍茲方程為 （5.3.2） （5.3.3）式中 （5.3.4）為導(dǎo)電媒質(zhì)中的波數(shù)，為一復(fù)數(shù)。在討論導(dǎo)電媒質(zhì)中電磁波的傳播時(shí)，通常將式（5.3.2）和（5.3.3）寫為 （5.3.5） （5.3.6）式中

19、（5.3.7）稱為傳播常數(shù)，仍為一復(fù)數(shù)。這里仍然假定電磁波沿+軸方向傳播的均勻平面波，且電場只有分量，則方程式（5.3.5）的解為 （5.3.8）由于是復(fù)數(shù)，令，代入上式得 （5.3.9）式中笫一個(gè)因子，表示電場的振幅隨傳播距離的增加而呈指數(shù)衰減，因而稱為衰減因子。則稱為衰減常數(shù)，表示電磁波每傳播一個(gè)單位距離，其振幅的衰減量，單位為（捺培/米）；第二個(gè)因子是相位因子，稱為相位常數(shù)，其單位為（弧度/米）。與式（5.3.9）對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)值形式為 （5.3.10）由方程，可得到導(dǎo)電媒質(zhì)中的磁場強(qiáng)度為 （5.3.11）式中 （5.3.12）為導(dǎo)電媒質(zhì)的本征阻抗。為一復(fù)數(shù)，常將其表示為 （5.3.13）由

20、此可知，在導(dǎo)電媒質(zhì)中，磁場與電場的相位不相同。將代入式（5.3.12），可得到即 （5.3.14）圖5.3.1 導(dǎo)電媒質(zhì)中的電場和磁場由式（5.3.11）可得出，磁場強(qiáng)度復(fù)矢量與電場強(qiáng)度復(fù)矢量之間滿足關(guān)系 （5.3.15）這表明，在導(dǎo)電媒質(zhì)中，電場、磁場與傳播方向之間仍然相互垂直，并遵循右手螺旋關(guān)系，如圖5.3.1所示。由和式（5.3.7），可得到由此可解得 （5.3.16） （5.3.17）由于與電磁波的頻率不是線性關(guān)系，因此在導(dǎo)電媒質(zhì)中，電磁波的相速是頻率的函數(shù)，即在同一種導(dǎo)電媒質(zhì)中，不同頻率的電磁波的相速是不同的，這種現(xiàn)象稱為色散，相應(yīng)的媒質(zhì)稱為色散媒質(zhì)，故導(dǎo)電媒質(zhì)是色散媒質(zhì)。由式（5.

21、3.9）和（5.3.11），可得到導(dǎo)電媒質(zhì)中的平均電場能量密度和平均磁場能量密度分別為 （5.3.17） （5.3.18）由此可見，在導(dǎo)電媒質(zhì)中，平均磁場能量密度大于平均電場能量密度。只有當(dāng)時(shí)，才有。在導(dǎo)電媒質(zhì)中，平均坡印廷矢量為 （5.3.19）綜合以上的討論，可將導(dǎo)電媒質(zhì)中的均勻平面波的傳播特點(diǎn)歸納為：（1）電場、磁場與傳播方向之間相互垂直，仍然是橫電磁波（TEM波）；（2）電場與磁場的振幅呈指數(shù)衰減；（3）波阻抗為復(fù)數(shù)，電場與磁場不同相位；（4）電磁波的相速與頻率有關(guān)；（5）平均磁場能量密度大于平均電場能量密度。5.3.2弱導(dǎo)電媒質(zhì)中的均勻平面波弱導(dǎo)電媒質(zhì)是指滿足條件1的導(dǎo)電媒質(zhì)。在這種

22、媒質(zhì)中，位移電流起主要作用，而傳導(dǎo)電流的影響很小，可忽略不計(jì)。因此，弱導(dǎo)電媒質(zhì)是一種良好的、但電導(dǎo)率不為零的非理想絕緣材料。在1的媒質(zhì)。在良導(dǎo)體中，傳導(dǎo)電流起主要作用，而位移電流的影響很小，可忽略不計(jì)。在1下, 傳播常數(shù)可近似為可近似為即 （5.3.23）良導(dǎo)體的本征阻抗為 （5.3.24）這表明，在良導(dǎo)體中，磁場的相位滯后于電場。在良導(dǎo)體中，電磁波的相速為 （5.3.25）由式（5.3.23）可知, 在良導(dǎo)體中，電磁波的衰減常數(shù)隨波的頻率、媒質(zhì)的磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率的增加而增大。因此，高頻電磁波在良導(dǎo)體中的衰減常數(shù)非常大。 例如，頻率時(shí)，電磁波在銅（、中的。由于電磁波在良導(dǎo)體中的衰減很快，故在傳播

23、很短的一段距離后就幾乎衰減完了。因此，良導(dǎo)體中的電磁波局限于導(dǎo)體表面附近的區(qū)域，這種現(xiàn)象稱為趨膚效應(yīng)。工程上常用趨膚深度（或穿透深度）來表征電磁波的趨膚程度，其定義為電磁波的幅值衰減為表面值的（或0.368）時(shí)，電磁波所傳播的距離。按此定義，有故 （5.3.26）對(duì)于良導(dǎo)體，故也可寫為 （5.3.27）由式（5.3.26）可知，在良導(dǎo)體中，電磁波的趨膚深度隨著波頻率、媒質(zhì)的磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率的增加而減小。在高頻時(shí)，良導(dǎo)體的趨膚深度非常小，以致在實(shí)際中可以認(rèn)為電流僅存在于導(dǎo)體表面很薄的一層內(nèi)，這與恒定電流或低頻電流均勻分布于導(dǎo)體的橫截面上的情況不同。在高頻時(shí)，導(dǎo)體的實(shí)際載流截面減小了，因而導(dǎo)體的高頻

24、電阻大于直流或低頻電阻。按式（5.3.24），良導(dǎo)體的本征阻抗為 （5.3.28）具有相等的電阻和電抗分量 （5.3.29）這些分量與電導(dǎo)率和趨膚深度有關(guān)。表示厚度為的導(dǎo)體每平方米的電阻，稱為導(dǎo)體的表面電阻率或簡稱為表面電阻。相應(yīng)的稱為表面電抗，稱為表面阻抗。表5.3.1列出一些金屬材料的趨膚深度和表面電阻。表5.3.1一些金屬材料的趨膚深度和表面電阻材料名稱電導(dǎo)率趨膚深度表面電阻銀紫銅鋁鈉黃銅錫石墨如果用表示導(dǎo)體表面位置上的體電流密度，則在穿入導(dǎo)體內(nèi)處的電流密度為。導(dǎo)體內(nèi)每單位寬度的總電流為 （5.3.30）由于良導(dǎo)體內(nèi)電流主要分布在表面附近，因此可將看作是導(dǎo)體的表面電流。導(dǎo)體表面的電場為，

25、由式（5.3.30）可得 （5.3.31）此式說明，良導(dǎo)體的表面電場等于表面電流密度乘以表面阻抗。因此良導(dǎo)體中每單位表面的平均損耗功率可按下式計(jì)算 （） （5.3.32）在實(shí)際計(jì)算時(shí)，通常是先假定導(dǎo)體的電導(dǎo)率為無窮大，求出導(dǎo)體表面的切向磁場，然后由求出導(dǎo)體的表面電流密度。因此，代替式（5.3.32），可用 （5.3.33）來計(jì)算良導(dǎo)體中每單位表面的平均損耗功率。例5.3.1 一沿方向極化的線極化波在海水中傳播，取軸方向?yàn)閭鞑シ较颉Ｒ阎Ｋ拿劫|(zhì)參數(shù)為、，在處的電場V/m。求：（1）衰減常數(shù)、相位常數(shù)、本征阻抗、相速、波長及趨膚深度；（2）電場強(qiáng)度幅值減小為處的1/1000時(shí)，波傳播的距離；（3

26、）m處的電場和磁場的瞬時(shí)表達(dá)式；（4）m處穿過1面積的平均功率。解：（1） 根據(jù)題意，有 , 所以此時(shí)海水可視為良導(dǎo)體。故衰減常數(shù)為 Np/m相位常數(shù) rad/m本征阻抗 相速 m/s波長 m趨膚深度 m（2） 令，即 ，由此得到電場強(qiáng)度幅值減小為處的1/1000時(shí)，波傳播的距離 （3）根據(jù)題意，電場的瞬時(shí)表達(dá)式為 V/m故在m處，電場的瞬時(shí)表達(dá)式為 V/m磁場的瞬時(shí)表達(dá)式為 A/m （4）在m處的平均坡印廷矢量穿過1的平均功率為 mW由以上的計(jì)算結(jié)果可知，電磁波在海水中傳播時(shí)衰減很快，尤其在高頻時(shí)，衰減更為嚴(yán)重，這給潛艇之間的通信帶來了很大的困難。若為保持低衰減，工作頻率必須很低，但即使在1

27、kHz的低頻下，衰減仍然很明顯。圖5.3.2是頻率從10Hz到10kHz范圍內(nèi)，海水中趨膚深度的變化曲線。圖5.3.2 海水中的趨膚深度隨頻率變化的曲線例5.3.2 在進(jìn)行電磁測量時(shí)，為了防止室內(nèi)的電子設(shè)備受外界電磁場的干擾，可采用金屬銅板構(gòu)造屏蔽室，通常取銅板厚度大于就能滿足要求。若要求屏蔽的電磁干擾頻率范圍從到，試計(jì)算至少需要多厚的銅板才能達(dá)到要求。銅的參數(shù)為、。解：對(duì)于頻率范圍的低端，有對(duì)于頻率范圍的高端，有由此可見，在要求的頻率范圍內(nèi)均可將銅視為良導(dǎo)體，故 為了滿足給定的頻率范圍內(nèi)的屏蔽要求，故銅板的厚度至少應(yīng)為 5. 4 色散與群速我們知道，相速的定義是電磁波的恒定相位點(diǎn)的推進(jìn)速度。

28、對(duì)于電場為的電磁波，其恒定相位點(diǎn)為常數(shù)相速應(yīng)為 （5.4.1）這里用下標(biāo)表示為相速。相速可以與頻率有關(guān)，也可以與頻率無關(guān)，取決于相位常數(shù)。在理想介質(zhì)中，與角頻率成線性關(guān)系，于是是一個(gè)與頻率無關(guān)的常數(shù)，因此理想介質(zhì)是非色散的。然而，在色散媒質(zhì)（例如導(dǎo)電媒質(zhì)）中，相位常數(shù)不再與角頻率成線性關(guān)系，電磁波的相速隨頻率改變，產(chǎn)生色散現(xiàn)象。一個(gè)信號(hào)總是由許許多多頻率成分組成，因此，用相速無法描述一個(gè)信號(hào)在色散媒質(zhì)中的傳播速度，所以在這里引入“群速”的概念。我們知道，穩(wěn)態(tài)的單一頻率的正弦行波是不能攜帶任何信息的。信號(hào)之所以能傳遞，是由于對(duì)波調(diào)制的結(jié)果，調(diào)制波傳播的速度才是信號(hào)傳遞的速度。下面討論窄帶信號(hào)在色

29、散媒質(zhì)中傳播的情況。設(shè)有兩個(gè)振幅均為的行波，角頻率分別為和（），在色散媒質(zhì)中相應(yīng)的相位常數(shù)分別為和，這兩個(gè)行波可用下列兩式表示合成波為由此可見，合成波的振幅是受調(diào)制的，稱為包絡(luò)波，如圖5.4.1中的虛線所示。圖5.4.1 相速與群速群速的定義是包絡(luò)波上任一恒定相位點(diǎn)的推進(jìn)速度。由常數(shù)，可得群速為 （5.4.2）由于，上式變?yōu)?（5.4.3）利用式（5.4.1），可得到群速與相速之間的關(guān)系由此可得 （5.4.4）由式（5.4.4）可知，群速與相速一般是不相等的，存在以下三種可能情況：（1），即相速與頻率無關(guān)，此時(shí)，即群速等于相速，稱為無色散；（2），即相速隨著頻率升高而減小，此時(shí)，即群速小于相速

30、。這種情況稱為正常色散；（3），即相速隨著頻率升高而增加，此時(shí)，即群速大于相速。這種情況稱為反常色散。*5.5 均勻平面波在各向異性媒質(zhì)中的傳播以上我們討論了在各向同性媒質(zhì)中電磁波的傳播規(guī)律，在本節(jié)中我們將討論電磁波在各向異性媒質(zhì)中的傳播規(guī)律。等離子體和鐵氧體在恒定磁場的作用下都具有各向異性的特征，在實(shí)際應(yīng)用中具有重要意義。5.5.1 均勻平面波在磁化等離子體中的傳播等離子體是電離了的氣體，它由大量帶負(fù)電的電子、帶正電的離子以及中性粒子組成。等離子體的基本特征之一是帶負(fù)電的電子與帶正電的離子具有相等的電量，因而等離子體在宏觀上仍是電中性的。等離子體在自然界廣泛存在，例如太陽的紫外線輻射使高空大

31、氣發(fā)生電離所形成的電離層就是等離子體。其它如流星遺跡、火箭噴出的廢氣以及高速飛行器穿越大氣層時(shí)在周圍形成的高溫區(qū)域等都是等離子體的例子。分析等離子體中電磁波傳播的方法是把等離子體等效看成介質(zhì)。當(dāng)電磁波在等離子體中傳播時(shí)，等離子體中的電子和離子在電磁場的作用下運(yùn)動(dòng)形成電流，這種由帶電粒子運(yùn)動(dòng)形成電流稱為運(yùn)流電流，這一運(yùn)流電流決定等離子體的等效介電常數(shù)。如果有一個(gè)較強(qiáng)的外加恒定磁場作用于等離子體，使其磁化，這時(shí)等離子體的等效介電常數(shù)是一個(gè)張量。下面先利用等離子體中的電子運(yùn)動(dòng)方程確定其等效的張量介電常數(shù)，然后再分析電磁波在等離子體中的傳播特性。1磁化等離子體的張量介電常數(shù)由于離子的質(zhì)量一般比電子大得

32、多，較難在高頻電磁場的作用下推動(dòng)，故運(yùn)流電流主要是由電子運(yùn)動(dòng)形成的。為了簡化分析，只考慮電子的運(yùn)動(dòng)，并忽略電子與離子、中性粒子間的相互碰撞引起的熱損耗。設(shè)外加恒定磁場為。根據(jù)牛頓第二定律和洛侖茲力公式，在電磁波的電場、磁場和外加恒定磁場的作用下，電子的運(yùn)動(dòng)方程為 （5.5.1）式中為一個(gè)電子的質(zhì)量，為一個(gè)電子的電荷量，為電子運(yùn)動(dòng)的平均速度。一般很小，可以忽略不計(jì)，因此式（5.5.1）可簡化為 （5.5.2）對(duì)于正弦電磁場，式（5.5.2）可展開為 （5.5.3） （5.5.4） （5.5.5）式中 （5.5.6）稱為電子的回旋角頻率。由式（5.5.3）（5.5.5）可解得 （5.5.7） （5

33、.5.8） （5.5.9）寫成矩陣形式 （5.5.10）由式（5.5.7）和（5.5.8）可以看出，當(dāng)時(shí)，和均趨向無限大，這是由于忽略了電子與離子、中性粒子間的相互碰撞引起的熱損耗的原故。若等離子體每單位體積內(nèi)電子數(shù)目為，則每秒鐘通過每單位面積的平均電子數(shù)為，形成的運(yùn)流電流密度為 （5.5.11）因此麥克斯韋第一方程的復(fù)數(shù)形式可寫為 （5.5.12）這里是表示等離子體的等效介電常數(shù)的張量。將式（5.5.10）代入式（5.5.12），可得到 （5.5.13）其中 （5.5.14） （5.5.15） （5.5.16）此處 （5.5.17）稱為等離子體頻率?？梢钥闯?，當(dāng)不存在外加磁場，即時(shí)，則，且。

34、即式（5.5.13）中對(duì)角線上的各元素相等，對(duì)角線以外的各元素均為零。此時(shí)，等離子體的等效介電常數(shù)為一標(biāo)量，等離子體呈各向同性特性。所以，外加恒定磁場是使等離子體呈各向異性的原因。2磁化等離子體中的均勻平面波由麥克斯韋方程消去磁場，可得到關(guān)于電場的波動(dòng)方程 （5.5.18）一般情況下，方程（5.5.18）的求解很復(fù)雜。這里我們只討論一種特殊情況，設(shè)電磁波為均勻平面波，且沿外加恒定磁場方向（即方向）傳播。于是，電場表達(dá)式為 （5.5.19）由于電場僅是坐標(biāo)函數(shù)，所以，于是，方程（5.5.18）簡化為寫成矩陣形式為 （5.5.20）電場有非零解的條件是式（5.5.20）的系數(shù)行列式等于0。由于電場

35、無分量，故式（5.5.20）左上角的子行列式應(yīng)為0，即考慮到、，由此可解得 （5.5.21）即相位常數(shù)有兩個(gè)解，分別為 （5.5.22） （5.5.23）對(duì)應(yīng)于，由式（5.5.20）可得到即 （5.5.24）這是一個(gè)沿軸方向傳播的左旋圓極化波。對(duì)應(yīng)于，由式（5.5.20）可得到即 （5.5.25）這是一個(gè)沿軸方向傳播的右旋圓極化波。由上述討論可知，當(dāng)電磁波沿外加磁場方向通過等離子體時(shí)，將出現(xiàn)兩個(gè)圓極化波，一個(gè)為左旋圓極化波，一個(gè)為右旋圓極化波。從式（5.5.22）和（5.5.23）看出，兩個(gè)圓極化波的相速不一樣。一個(gè)直線極化波可以分解為兩個(gè)振幅相等、旋轉(zhuǎn)方向相反的圓極化波。在各向同性媒質(zhì)中，這

36、兩個(gè)圓極化波的相速相同。因而，在傳播過程中，合成波的極化面始終保持不變。但在磁化等離子體中，由于兩個(gè)圓極化波的相速不相等，在傳播一段距離后，合成波的極化面已不在原來的方向，即電磁波的極化面在磁化等離子體內(nèi)以前進(jìn)方向?yàn)檩S而不斷旋轉(zhuǎn)，這種現(xiàn)象稱為法拉第旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，如圖5.5.1所示。圖5.4.1 法拉第旋轉(zhuǎn)當(dāng)外加恒定磁場時(shí)，兩個(gè)圓極化波的相速相等，合成波為直線極化波，沒有法拉第旋轉(zhuǎn)效應(yīng)。此時(shí)式中 （5.5.26）稱為等離子體的等效相對(duì)介電常數(shù)。若以、代入式（5.5.26），可得 （5.5.27）5.5.2 均勻平面波在磁化鐵氧體中的傳播鐵氧體是一種類似于陶瓷的材料，質(zhì)地硬而脆，具有很高的電阻率。它的

37、相對(duì)介電常數(shù)在5至25之間，而相對(duì)磁導(dǎo)率可高達(dá)數(shù)千。在鐵氧體中，原子核周圍的電子有公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，這兩種運(yùn)動(dòng)都要產(chǎn)生磁矩。公轉(zhuǎn)磁矩因電子各循不同方向旋轉(zhuǎn)而相互抵消。自轉(zhuǎn)磁矩對(duì)于一般物質(zhì)也是相互抵消的，但對(duì)于鐵氧體物質(zhì)并不如此，而是在許多極小區(qū)域內(nèi)相互平行，自發(fā)磁化形成磁疇。在沒有外磁場作用時(shí)，這些磁疇的磁矩相互抵消，因而鐵氧體也不顯現(xiàn)磁性。但當(dāng)鐵氧體置于外磁場中時(shí)，每一磁疇的方向都會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)，而與外磁場方向接近平行，產(chǎn)生強(qiáng)大的磁性。1磁化鐵氧體的張量磁導(dǎo)率為了簡單起見，首先研究一個(gè)電子在自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中所受到的影響。電子自轉(zhuǎn)時(shí)相當(dāng)于有電流沿與自轉(zhuǎn)相反的方向流動(dòng)，因而產(chǎn)生磁矩。設(shè)電子轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量為，則有圖

38、5.4.2 在外磁場作用下自旋電子的進(jìn)動(dòng) （5.5.28）式中為電子的質(zhì)量，為電子的電荷量的絕對(duì)值，稱為荷值比。當(dāng)電子置于恒定外磁場中，而與不在同一方向時(shí)，外磁場對(duì)電子所施的力矩將使電子圍繞方向以一定的角速度作進(jìn)動(dòng)，如圖5.5.2所示。已知外磁場產(chǎn)生的力矩為另一方面，力矩應(yīng)等于角動(dòng)量的時(shí)變率，即于是得到 （5.5.29）設(shè)與的夾角為，且在極短的時(shí)間內(nèi)角動(dòng)量的改變?yōu)?。因?yàn)檫M(jìn)動(dòng)角為，則角動(dòng)量的時(shí)變率為 （5.5.30）由式（5.5.29）和（5.5.30），得到將式（5.5.28）代入上式，可得 （5.5.31）又稱為拉摩進(jìn)動(dòng)頻率。如果沒有損耗，這一進(jìn)動(dòng)將永遠(yuǎn)進(jìn)行下去。由于實(shí)際上有能量損耗，進(jìn)動(dòng)很

39、快停頓，電子的自轉(zhuǎn)軸最后與外磁場平行。由式（5.5.28）和（5.5.29），可得 （5.5.32）若鐵氧體中每單位體積內(nèi)有個(gè)電子數(shù)，則磁化強(qiáng)度為，于是可將式（5.5.32）改為 （5.5.33）此式稱為郎道方程。當(dāng)電磁波在鐵氧體中傳播時(shí)，除了外加恒定磁場外，還有較弱的時(shí)變磁場，即 （5.5.34）相應(yīng)的磁化強(qiáng)度為 （5.5.35）這里為恒定磁場所產(chǎn)生的磁化強(qiáng)度，為時(shí)變磁場所產(chǎn)生的磁化強(qiáng)度。將式（5.5.34）和（5.5.35）中的和分別替代式（5.5.33）中的和，可得又因?yàn)闊o交變磁場時(shí)將以上兩式相減，并忽略高階小量，可得 （5.5.36）對(duì)于時(shí)諧場，則有 （5.5.37）當(dāng)外加磁場很強(qiáng)，使

40、鐵氧體磁化到飽和時(shí)，磁化強(qiáng)度與平行。設(shè)，則。這時(shí)，式（5.5.37）可展開為 聯(lián)立解得 （5.5.38）式中 （5.5.39）由式（5.5.38）可以看出，當(dāng)時(shí)，和均趨向無限大，因此很小的時(shí)諧磁場分量或可以產(chǎn)生很強(qiáng)的磁化強(qiáng)度，這就是磁共振現(xiàn)象。設(shè)表示時(shí)變磁場所對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，則將式（5.5.38）代入上式，可得這里 （5.5.40）其中 （5.5.41）由此可見，鐵氧體的磁導(dǎo)率為一張量。當(dāng)無外磁場時(shí)，則，且。此時(shí)，鐵氧體的磁導(dǎo)率為一標(biāo)量，呈各向同性特性。2磁化鐵氧體中的均勻平面波由麥克斯韋方程消去電場，可得到關(guān)于磁場的波動(dòng)方程 （5.5.42）仿照分析電磁波在等離子體傳播的方法，對(duì)于沿外加恒

41、定磁場方向（即方向）傳播的均勻平面波，磁場表達(dá)式為 （5.5.43）方程（5.5.42）可寫成為 （5.5.44）由考慮到、，由此可解得 （5.5.45）即相位常數(shù)有兩個(gè)解，分別為 （5.5.46） （5.5.47）與電磁波通過等離子體相似，當(dāng)電磁波沿外加磁場方向通過鐵氧體時(shí)，將出現(xiàn)兩個(gè)圓極化波。這兩個(gè)圓極化波一個(gè)左旋、，一個(gè)右旋，它們的相速不一樣，使合成波的極化面不斷旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生法拉第旋轉(zhuǎn)效應(yīng)。當(dāng)外加恒定磁場時(shí)，、，兩個(gè)圓極化波的相速相等，合成波為直線極化波，沒有法拉第旋轉(zhuǎn)效應(yīng)。此時(shí)思考題5.1 什么是均勻平面波？平面波與均勻平面波波有何區(qū)別？5.2 波數(shù)是怎樣定義的？它與波長有什么關(guān)系？5.

42、3 什么是媒質(zhì)的本征阻抗？自由空間本征阻抗的值為多少？5.4 電磁波的相速是如何定義的？自由空間中相速的值為多少？5.5 在理想介質(zhì)中，均勻平面波的相速是否與頻率有關(guān)？5.6 在導(dǎo)電媒質(zhì)中，均勻平面波的相速是否與頻率有關(guān)？5.7 趨膚深度是如何定義的？它與衰減常數(shù)有何關(guān)系？5.8 什么是良導(dǎo)體？良導(dǎo)體與理想導(dǎo)體有何不同？5.9 什么是波的極化？什么是線極化、圓極化、橢圓極化？5.10 兩個(gè)互相垂直的線極化波疊加，在什么條件下，分別是：（1）線極化波；（2）圓極化波；（3）橢圓極化波？5.11 知道圓極化波是左旋還是右旋有何意義？如何判別圓極化波是左旋還是右旋？5.12 在導(dǎo)電媒質(zhì)中均勻平面波的

43、電場與磁場是否同相位？5.13 什么是群速？它與相速有何區(qū)別？5.14 在理想介質(zhì)中，均勻平面波具有哪些特點(diǎn)？5.15 在導(dǎo)電媒質(zhì)中，均勻平面波具有哪些特點(diǎn)？5.16 什么是波的色散？何謂正常色散？何謂反常色散？習(xí) 題5.1 在自由空間中，已知電場，試求磁場強(qiáng)度。5.2 理想介質(zhì)（參數(shù)為、 ）中有一均勻平面波沿x方向傳播，已知其電場瞬時(shí)值表達(dá)式為試求：（1）該理想介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)；（2）與相伴的磁場；（3）該平面波的平均功率密度。5.3 在空氣中，沿方向傳播的均勻平面波的頻率f=400MHz。當(dāng)y=0.5m、t=0.2ns時(shí)，電場強(qiáng)度的最大值為250V/m、表征其方向的單位矢量為。試求出電場

44、和磁場的瞬時(shí)表示式。5.4 有一均勻平面波在、的媒質(zhì)中傳播，其電場強(qiáng)度。若已知平面波的頻率，平均功率密度為。試求：（1）電磁波的波數(shù)、相速、波長和波阻抗；（2）、時(shí)的電場值；（3）經(jīng)過后，電場值出現(xiàn)在什么位置？5.5 理想介質(zhì)中的均勻平面波的電場和磁場分別為試求該介質(zhì)的相對(duì)磁導(dǎo)率和相對(duì)介電常數(shù)。5.6 在自由空間傳播的均勻平面波的電場強(qiáng)度復(fù)矢量為 V/m求：（1）平面波的傳播方向和頻率；（2）波的極化方式；（3）磁場強(qiáng)度；（4）流過與傳播方向垂直的單位面積的平均功率。5.7 在空氣中，一均勻平面波的波長為12cm，當(dāng)該波進(jìn)入某無損耗媒質(zhì)中傳播時(shí)，其波長減小為8cm，且已知在媒質(zhì)中的和的振幅分別為50V/m