2011年北京市各區(qū)一模試題分類解析十二、圓錐曲線(選修2-1)

1、.十二、圓錐曲線1 （ 2011西 城 一 模 文11 ） . 雙 曲 線 C : x2y21 的 離 心 率 為 _6 _ ； 若 橢 圓22x2y2 1(a0)與雙曲線 C 有相同的焦點(diǎn)，則a_ 2 _.a22 （ 2011西 城 一 模 文 12 ） .2x2,設(shè) 不 等 式 組2y表 示 的 區(qū) 域 為 W , 圓2C : (x 2)2y24 及其內(nèi)部區(qū)域記為 D . 若向區(qū)域 W 內(nèi)投入一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在區(qū)域D 內(nèi)的概率為 _.83（2011 東城一模理13）過(guò)拋物線 y22 px( p0) 的焦點(diǎn)作傾斜角為60o 的直線，與拋物線分別交于 A ， B 兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在 x 軸上方），

2、 AF3BF4（ 2011 東城一模文9）拋物線 y 28x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)5（2011 朝陽(yáng)一模理7）如圖， 雙曲線的中心在y坐標(biāo)原點(diǎn) O ， A, CA分別是雙曲線虛軸的上、下頂點(diǎn)， B 是雙曲線的左頂點(diǎn)，F(xiàn) 為雙曲線的左焦點(diǎn)，直線AB 與 FC 相交于點(diǎn) D .若雙曲線的離心率BOx為 2，則BDF 的余弦值是（ C）FD（ A）7577（ B）7C（ C）75714（ D）146(2011 豐臺(tái)一模理10)雙曲線的焦點(diǎn)在x 軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為4，離心率為3，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2y21 ，漸近線方程為y2 2x 4327（ 2011 門頭溝一模理 12. ）設(shè)雙曲線 x2y 2

3、1 的一條漸近線與拋物線y x2 1只有一a 2b 2個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率等于5;.8( 2011石景山一模理7) . 已知橢圓 x2y21 的焦點(diǎn)為 F1 ， F2 ，在長(zhǎng)軸 A1 A2上任取一點(diǎn)4M ，過(guò) M 作垂直uuuruuuur于 A1 A2 的直線交橢圓于點(diǎn) P ，則使得 PF1PF2 0 的點(diǎn) M 的概率為（）A2B6C 2 6D 133329( 2011 朝陽(yáng)一模文 12) 拋物線 y24x 上一點(diǎn) M 與該拋物線的焦點(diǎn)F 的距離 | MF |4 ，則點(diǎn) M 的橫坐標(biāo) x = 3.10(2011 豐臺(tái)文 9) 已知拋物線y24x 上一點(diǎn) P(3，y) ，則點(diǎn) P 到拋物線

4、焦點(diǎn)的距離為411(2011 門頭溝一模文5) . 橢圓兩焦點(diǎn)為F1 (4,0)， F2 (4,0)，P 在橢圓上，若PF1F2 的面積的最大值為12，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為A.x2y21 B.x2y2x2y21x2y2259251 C.169D.11610612(2011石景山一模文7). 已知橢圓 x2y21 的焦點(diǎn)為 F1 ， F2 ，在長(zhǎng)軸 A1 A2 上任取一4點(diǎn) M ，過(guò) M 作垂直uuuruuuur于 A1 A2 的直線交橢圓于點(diǎn)0 的點(diǎn)M 的概率為（P ，則使得 PFPF）12A2 B6 C 2 6 D 13332解答1（ 2011 西城一模理19） .（本小題滿分14 分）已知

5、拋物線y22px( p0) 的焦點(diǎn)為 F ，過(guò) F 的直線交 y 軸正半軸于點(diǎn)P ，交拋物線于 A, B 兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A 在第一象限 .;.（）求 ：以 段FA 直徑的 與y 相切；uuuruuur uuuruuur1（）若 FA1 AP , BF2 FA ,2 1 , 1 ，求2 的取 范 .42解：（）由已知F( p,0),設(shè)A( x1, y1 )， y2 2 px，211 心坐 (2x1p , y1 ) ， 心到 y 的距離 2x1p ， 2424分 的半徑 FA1x1 (p )2x1p ， 42224分所以，以 段 FA 直徑的 與y 相切 . 5分（）解法一： p( x1, y1 )

6、2分p所以 x12uuuruuur uuuruuurP(0, y0 ), B( x2 , y2 ) ，由 FA1 AP , BF2 FA , 得p2 (x1p1 ( x1 , y0 y1 ) ， (x2 , y2 ), y1) ， 6221x1 , y11 ( y0y1) ，px22 ( x1py22 y1 ， 82),2分由 y22 y1 ，得 y2222 y12 .又 y122 px1 ， y222 px2 ，所以x222 x1 .10 分代入 px22 (x1p) ，得 p22 x12 ( x1p ) ， p (12 ) x1 2 (1 2 ) ，22222整理得 x1p， 1222分代

7、入 x1p1 x1，得pp1 p222，222所以 111 ， 1322分;.因 分12. 1, 1 ，所以2的取 范 是 4, 2 . 14423解法二： 設(shè) A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ， AB : xpmy，p 代入 y22將 xmy2 px ，得 y22 pmyp20 ，2所以 y1 y2p2（* ）， 6分uuuruuuruuuruuur由 FA1 AP ， BF2 FA ，得( x1 p , y1 ) 1 (x1 , y0y1 ) ， ( px2 ,y2 )2(x1p , y1) ， 7222分所以， x1p1 x1 , y11 ( y0y1 ) ，2pp

8、 ), y2x22 ( x12 y1 ， 822分將 y22 y1 代入（ * ）式，得 y2p2，1210 分所以 2 px1p2， x1p2.2212 分代入 x1p1 x1 ，得111 . 13222分因 分12 1, 1 ，所以2 的取 范 是 4, 2 . 144232（ 2011 西城一模文19）已知拋物 y24x 的焦點(diǎn) F ，直 l 點(diǎn) M (4,0) .（）若點(diǎn) F到直 l 的距離 3 ，求直 l 的斜率；（） 設(shè) A, B 拋物 上兩點(diǎn)， 且 AB 不與 x 重合， 若 段 AB 的垂直平分 恰 點(diǎn) M ，求 ： 段 AB 中點(diǎn)的橫坐 定 .;.解：（）由已知，x4 不合

9、意 . 直 l 的方程 yk ( x4) ，由已知，拋物 C 的焦點(diǎn)坐 (1,0) ，1 分因 點(diǎn) F 到直 l 的距離 33k 3，所以3 ，1k 2分解得 k2 ，所以直 l 的斜率 2 .522分（） 段 AB 中點(diǎn)的坐 N ( x0 , y0 ) ， A( x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) ，因 AB 不垂直于 x ， 直 MN 的斜率 y0，直 AB 的斜率 4x0 ， 7x04y0分直 AB 的方程 yy04 x0 (xx0 ) ， 8y0分y y04 x0 (x x0 ), 立方程y0y24x,消去 x 得 (1x0 ) y 2y0 yy02x0 ( x04)0， 1

10、04分所以 y1 y24y0， 114x0分因 N 為 AB 中點(diǎn)，所以y1y2y0 ，即2y0y0 ， 1324 x0分所以 x0 2 . 即 段 AB 中點(diǎn)的橫坐 定 2 . 14 分3(2011 城一模理19)（本小 共13 分）已知 y 2x21(ab0)的離心率 2，且兩個(gè)焦點(diǎn)和短 的一個(gè)端點(diǎn)是a2b22;.一個(gè)等腰三角形的頂點(diǎn)斜率為 k (k0) 的直線 l 過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)且與橢圓相交于P ，Q 兩點(diǎn)，線段 PQ 的垂直平分線與y 軸相交于點(diǎn) M (0, m) （ ）求橢圓的方程；（ ）求的取值范圍；（）試用表示 MPQ 的面積，并求面積的最大值解：（）依題意可得，c2 ， bc

11、，a2又 a 2b2c 2 ，可得 b1, a2 所以橢圓方程為y2x212（）設(shè)直線 l 的方程為 ykx1，ykx1,222由yx2可得 ( k2) x 2kx 1 0 1,2設(shè) P( x1, y1 ), Q (x2 , y2 ) ，則 x1x2k 22k ， x1x2212k2可得 y1y2k( x1x2 ) 242k2設(shè)線段 PQ 中點(diǎn)為 N ，則點(diǎn) N 的坐標(biāo)為 (k,2k2k2) ，22由題意有 k MNk1，m2k22 k1 可得kk 22可得 m1，k22又 k0，所以0m12;.（）設(shè)橢圓上焦點(diǎn)為F ，則 S MPQ1FM x1x2 .2x1 x2(x1x2 )24x1x28

12、(k 21)，(k 22)2由 m21，可得 k 221k2m8( 11)所以 x1x2m8m(1 m) 1m2又 FM1 m ，所以 S MPQ2m(1m)3 .所以 MPQ 的面積為2m(1m)3（0m1）2設(shè) f (m)m(1m) 3 ，則 f ( m) (1m) 2 (1 4m) 可知 f ( m) 在區(qū)間 (0,1 ) 單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,1) 單調(diào)遞減442所以，當(dāng) m11)274時(shí)， f (m) 有最大值 f (644所以，當(dāng) m1時(shí)， MPQ 的面積有最大值3 6 484（ 2011 東城一模文19）（本小題共14 分）已知橢圓 C 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上，離心率為

13、1 ，橢圓 C 上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距2離的最大值為 3 （）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；uuuruuur（） 若過(guò)點(diǎn) P(0, m) 的直線 l 與橢圓 C 交于不同的兩點(diǎn)A, B ，且 AP3PB ，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍解：（）設(shè)所求的橢圓方程為：x2y21( ab0)a2b2;.c1a2a2由 意： ac3b3a2b2c2c1所求 方程 ：x2y 2 5 分413（）若 點(diǎn) P(0, m) 的斜率不存在， m32若 點(diǎn) P(0, m) 的直 斜率 k ，即： m3 ，2直 AB 的方程 y mkxykx m(34k 2 )x28kmx4m2 12 0由24 y23x1264m2k 24(34k 2

14、 )(4 m212)因 AB 和 C交于不同兩點(diǎn)所以0 ， 4k2m23 0所以 4k 2m23設(shè) A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )uuuruuurx28km2 , x1 x24m212由已知 AP3PB ， x14k34k23uuuruuurAP ( x1, m y1 ), PB (x2 , y2m)x13x2將代入得：4km24m2123(34k 2 )34k2整理得： 16m2k 212k23m290所以 k293m2代入式得4k293m2m2324m216m1234m2 ( m23)0 ，解得 3m23 4m234所以3m3 或3m3 22;. 上可得， 數(shù)m 的取

15、 范 ： ( 3,3 U 3 , 3) 2214 分5（ 2011 朝陽(yáng)一模理19）（本小 分14 分）已知 A( 2, 0) ， B(2, 0) 為橢圓 C 的左、右 點(diǎn)，F(xiàn) 其右焦點(diǎn)， P 是 C 上異于A ， B 的 點(diǎn)，且APB 面 的最大 2 3 （）求 C 的方程及離心率；（）直 AP 與 在點(diǎn) B 的切 交于點(diǎn)D ，當(dāng)直 AP 點(diǎn) A ， 判斷以 BD 直徑的 與直 PF 的位置關(guān)系，并加以 明解：（）由 意可 C 的方程 x2y 21( ab 0) ， F (c,0) a2b21 2a b 23,yD由 意知2解得 b3 ， c1Pa2,Ea2b2c2.AOFBx故 C 的方程

16、 x2y21 ，離心率 1 6 分432（）以 BD 直徑的 與直 PF 相切 明如下：由 意可 直 AP 的方程 yk (x 2) (k 0) . 點(diǎn) D 坐 (2, 4 k) ， BD 中點(diǎn) E 的坐 (2, 2 k) yk( x2),4k 2 ) x216k 2 x16k 2由 x2y2得 (312 0 431 點(diǎn) P 的坐 (x0 , y0 ) ， 2x016 k212 34k 2所以 x068k 2 ， y0k( x02)12k10 分34k 234k 2因 點(diǎn) F 坐 (1,0) ，當(dāng) k1 ，點(diǎn) P 的坐 (1,3) ，點(diǎn) D 的坐 (2,2).22直 PFx ，此 以BD 直徑

17、的 ( x2) 2( y m1)21 與直 PF 相切;.當(dāng) k1PF 的斜率 kPFy04k2 . ， 直 x01 14k2所以直 PF 的方程 y4k1)14k2 ( x8k2k4k2k8k3點(diǎn) E 到直 PF 的距離 d14k 214k 214k22 | k | 16k 214k21(14k 2 ) 2|14k2 |又因 | BD | 4 | k | ，所以 d1| BD |2故以 BD 直徑的 與直 PF 相切 上得，當(dāng)直 AP 點(diǎn)A ，以 BD 直徑的 與直 PF 相切14 分6(2011 豐臺(tái)一模理19).（本小 共14 分）已知點(diǎn) A( 1,0) ， B(1,0) ， 點(diǎn) P 足

18、 | PA | PB |2 3 ， 點(diǎn) P 的 跡 W（）求 W 的方程；（）直 ykx1 與曲 W 交于不同的兩點(diǎn)C， D，若存在點(diǎn)M (m,0) ，使得CMDM 成立，求 數(shù)m 的取 范 解：（）由 的定 可知， 點(diǎn) P 的 跡是以A，B 焦點(diǎn)， 長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 23 的 2 分 c 1， a3， b22 3 分W 的方程是 x2y21 4 分32（另解： 坐 1 分，列方程1 分，得 果2 分）（） C， D 兩點(diǎn)坐 分 C ( x1, y1 ) 、 D (x2 , y2 ) ， C， D 中點(diǎn) N ( x0 , y0 ) ykx 1(3k 22) x2由 x2y2得6kx3 0 6 分321

19、所以 x1x26k 7 分3k 22;. x0x1x23k從而 y0kx0 1223k 2，3k 222y02 MN 斜率 kMN3k22 9 分x0m3km3k22又 CMDM ， CDMN ，21k3k 22即m 10 分3kk3k2m23k 22當(dāng) k0 ， m0 ； 11 分當(dāng) k0 ， mk16 ,0)(0,6 13 分3k 223k21212k故所求 m 的取范 是 6,6 14 分12127(2011 海淀一模理19).（本小 共14 分）已知 C : x2y21 (ab 0) 點(diǎn) M (1,3), 其離心率 1 .a2b222（）求 C 的方程；( ) 直 l : ykxm (

20、| k |1 ) 與 C 相交于 A、B 兩點(diǎn)，以 段 OA,OB 為鄰邊2作平行四 形OAPB，其中 點(diǎn)P 在 C 上， O 坐 原點(diǎn) .求 OP 的取 范 .解：（）由已知可得2 a2b2124b2分e2，所以 3a 1a4又點(diǎn) M (1,3191 2 分) 在 C 上，所以4b22a2由解之，得 a24, b23 .故 C 的方程 x2y21 . 5 分43;.( )由ykx m,x2y21.43消 y 化 整理得： (34k 2 ) x28kmx4m2120 ，64k 2 m24(34k 2 )(4 m212)48(34k 2m2 )0 8 分設(shè) A, B, P 點(diǎn)的坐 分 ( x1

21、, y1)、(x2 , y2 )、(x0 , y0 ) ， 8km6mx0x1x234k 2 , y0y1y2k( x1x2 )2m3 4k 2 .9 分由于點(diǎn)P在橢圓C上，所以x02y021. 10 分43從 而16k2 m2(312m21 ， 化 簡(jiǎn) 得 4m234k 2， 經(jīng) 檢 驗(yàn) 滿 足 (3 4k2 )24k 2 ) 2式. 11 分又 | OP |2264k 2m236m2x0 y0(34k 2 ) 2(34k2 )24m2 (16k 29)16k 29(34k 2 ) 24k 2343.1224k3分因 k1 ，得 3 4k 23 4 ，有 3331，244k2故3OP13.2即所求 OP 的取 范 是 3,13 .14 分2( ) 另解： A, B, P 點(diǎn)的坐 分 ( x1 , y1)、(x2 , y2 )、( x0 , y0 ) ，由A, B在橢圓上，可得;.3x124 y1212 6 分3x224y2212整理得3( x1x2 )( x1x2 )4( y1y2 )( y1y2 )07 分uuuruuuruuur由已知可得OP OA OB，所以x1x2x0 8 分y1y2y0由已知當(dāng)ky1y2,即y1 y2k (x1x2 )x1x29 分把代入整理得3x04ky010 分與3x024 y0212聯(lián)立消x0整理得y0293 11 分