中考數(shù)學復(fù)習第11講相似形試題

1、第十一講 相似形11.1 成比例線段 基礎(chǔ)盤點1.比例線段：在四條線段a，b，c，d中，如果其中兩條線段a，b的比等于另外兩條線段c，d的比，即（或ab=cd），那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.2.比例中項：如果作為比例內(nèi)項的兩條線段是相等的，即線段a，b，c之間有ab=bc，那么線段b叫做線段a，c的比例中項.3.比例的性質(zhì)：（1）基本性質(zhì)：如果，那么ad=bc.如果ad=bc (a，b，c，d都不等于0)，那么；（2）合比性質(zhì)：如果，那么=；（3）等比性質(zhì)：如果，且b1+b2+bn0，那么=.4.平行線分線段成比例：（1）基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例

2、.（2）推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊延長線），所得的對應(yīng)線段成比例.考點呈現(xiàn)考點1 比例的性質(zhì)例1（2015蘭州）如果=k（b+d+f0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=解析：=k，=k，即a+c+e=k（b+d+f）.又a+c+e=3（b+d+f），k=3. 故填3.評注：若問題中出現(xiàn)各個比連等時，將各個比值設(shè)為k，從而使各分子都能用含k的代數(shù)式表示，這樣可巧妙解決相關(guān)問題.考點2 平行線分線段成比例及推論例2（2015欽州）如圖，ad是abc的角平分線，則abac等于()a.bdcd b.adcd c.bcad d.bcac分析：添加平行線，利用平行線分線段成比

3、例的推論解決.解：過點c作cead，交ba的延長線于點ebad=e，cad=acead平分bac，bad=cade=aceac=aeabac=abae=bdcd 故選a評注：此題也可以過點d作ab，ac的垂線，利用等面積法求解（abac=sabdsacd=bdcd）. 誤區(qū)點撥1. 等積式誤化比例式例1 已知7a=8b，則ab= .錯解：ab=78. 剖析：此題要求將等積式化為比例式，檢驗所轉(zhuǎn)化的比例式是否正確的方法是：再將比例式化為等積式，若與原等積式相同，則正確，反之錯誤. 正解：ab =87.2. 忽略等式成立的條件例2 已知，那么x的值是（ ）a. b. 1 c. 1 或 d.0錯解：

4、選a.剖析：錯解直接利用等比性質(zhì)求解，卻忽略了等比性質(zhì)成立的條件，導(dǎo)致漏解.當a+b+c=0時，. 當a+b+c0時，. 正解：選c.跟蹤訓練1.下列各組中的四條線段成比例的是（ ）a.a=，b=3，c=2，d= b.a=4，b=6，c=5，d=10c.a=2，b=，c=，d= d.a=2，b=3，c=4，d=12. 若2a=3b=4c，且abc0，則的值是（ ）a.2 b.2 c.3 d.33.（2015嘉興）如圖，直線l1l2l3，直線ac分別交l1，l2，l3于點a，b，c，直線df分別交l1，l2，l3于點d，e，f.ac與df相交于點h，且ah=2，hb=1，bc=5，則的值為（ ）

5、a. b. 2 c. d. 第4題圖第3題圖4.（2015河南）如圖，abc中，點d，e分別在邊ab，bc上，deac，若bd=4，da=2，be=3，則ec= .5.（2015六盤水）已知=0，則的值為_6. 若，則= .7. 若，且2ab+3c=21.試求abc.8.如圖，e是四邊形abcd的對角線bd上的一點，分別作meab交ad邊于m，enbc交cd邊于點n.求證：.第8題圖abcnedm11.2 相似三角形 基礎(chǔ)盤點1.相似三角形的判定：（1）平行于三角形一邊的直線與其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，截得的三角形與原三角形相似.（2）兩角分別相等的兩個三角形相似，兩邊成比例且夾角相等的

6、兩個三角形相似，三邊成比例的兩個三角形相似.2.相似三角形的性質(zhì)：相似三角形對應(yīng)高、角平分線、中線、周長的比都等于相似比，面積比等于相似比的平方.3.位似圖形：（1）定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點所在的直線都交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形.這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比.（2）性質(zhì)：位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比都等于位似比. （3）位似變換對應(yīng)的坐標變化規(guī)律：平面直角坐標系中，將一個多邊形的每個頂點的橫坐標、縱坐標都乘同一個數(shù)k（k0，1），所對應(yīng)的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標原點，它們的相似比為.考點呈現(xiàn) 圖1考點 1 相似三角形

7、的判定例1 （2015永州）如圖1，下列條件不能判定adbabc的是（ ）aabd=acb badb=abc cab2=adac d.= 解析：adb與abc中有一公共角，再添加a項或b項，可得兩角分別相等，可判定相似；添加c項，可得兩邊成比例且夾角相等，可判定相似；d項比例式中的對應(yīng)線段不是adb與abc的對應(yīng)邊，不能判定兩三角形相似.故選d.考點2 相似三角形的性質(zhì)例2 （2015巴彥淖爾）如圖2，p為平行四邊形abcd的邊ad上的一點，e，f分別為pb，pc的中點，pef，pdc，pab的面積分別為s，s1，s2.若s=3，則s1+s2的值為（）a24 b12 c6 d3圖2解析：e，f

8、分別為pb，pc的中點，ef是pbc的中位線.efbc，ef=bc.pefpbc.=.spef=s=3，spbc=34=12.四邊形abcd是平行四邊形，adbc，ad=bc.spdc+spab=spbc，即s1+s2=12. 故選b .考點3 相似三角形的性質(zhì)、判定的綜合應(yīng)用例3 （2015岳陽）如圖3，正方形abcd中，m為bc上一點，f是am的中點，efam，垂足為f，交ad的延長線于點e，交dc于點n.（1）求證：abmefa；（2）若ab=12，bm=5，求de的長.分析：（1）運用“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明；（2）由勾股定理求出am的長，則af的長易得，通過（1）中的結(jié)論

9、確定比例式，求出ae，即可得出de的長.圖3解：（1）證明：四邊形abcd是正方形，ab=ad，b=90，adbc.amb=eaf.efam，afe=90.b=afe.abmefa.（2）b=90，ab=12，bm=5，am=13.f是am的中點，af=am=6.5.由（1）可得abmefa.=，即=，解得ae=16.9.de=ae-ad=ae-ab=16.9-12=4.9.例4 （2015上海）如圖4，平行四邊形abcd的對角線相交于點o，點e在邊bc的延長線上，且oe=ob，連接de.（1）求證：debe；（2）如果oecd，求證：bdce=cdde.分析：（1）結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)及已知

10、條件可知obe與ode都是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形“等邊對等角”的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理即可獲證. 圖4h（2）要證bdce=cdde，可證，為此只需證明bdedce.證明：（1）ob=oe，oeb=obe.四邊形abcd是平行四邊形，ob=od.od=oe.oed=ode.obe+oeb+oed+ode=180，錯誤！未找到引用源。oeb+oed=90，即bed=90.debe.（2）設(shè)oe交cd于h.oecd，che=90.ceh+hce=90.ced=90，cde+dce=90.ceh=cde.oeb=obe，obe=cde.又bed=dec，bdedce. bdce=cdde.評注

11、：要證明等積式，通常思路是將其化為比例式，由比例式確定要證明的相似三角形.需要注意的是由比例式可確定兩對三角形，哪對易于證明相似，便證明哪對. 錯誤！未找到引用源?？键c4 相似三角形的應(yīng)用圖5例5 （2015邵陽）如圖5，某校數(shù)學興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板def來測量操場旗桿ab的高度，他們通過調(diào)整測量位置，使斜邊df與地面保持平行，并使邊de與旗桿頂點a在同一直線上.已知de=0.5米，ef=0.25米，目測點d到地面的距離dg=1.5米，到旗桿的水平距離dc=20米，求旗桿的高度.解析：由題意，得defdca.=.de=0.5米，ef=0.25米，dc=20米，=，解得ca=10.

12、ab=ca+cb=ca+dg=10+1.5=11.5（米）.答：旗桿的高度為11.5米. 圖6例6（2014濰坊）如圖6，某水平地面上建筑物的高度為ab，在點d和點f處分別豎立高是2米的標桿cd和ef，兩標桿相隔52米，并且建筑物ab、標桿cd和ef在同一豎直平面內(nèi)從標桿cd后退2米到點g處，在g處測得建筑物頂端a和標桿頂端c在同一條直線上；從標桿ef后退4米到點h處，在h處測得建筑物頂端a和標桿頂端e在同一條直線上，則建筑物的高是 米分析：觀察圖形，存在兩對相似三角形，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求解.解：由題意，知abbh，cdbh，abd=cdg=90. abcd.cdgabg.，即

13、. 同理，即. 由，得ab=54.故填54.評注：解答此題的關(guān)鍵是能從實際問題中抽象出相似三角形，并利用相似三角形的性質(zhì)求解.考點5 平面直角坐標中的位似變換例7（2015營口）如圖7，abe和cde是以點e為位似中心的位似圖形，已知點a（3，4），點c（2，2），點d（3，1），則點d的對應(yīng)點b的坐標是() 圖7a.（4，2）b.（4，1） c.（5，2） d.（5，1）解析：法一：將圖形向左平移1個單位長度，使位似中心為原點，則a，c，d的對應(yīng)點的坐標分別為a（2，4），c（1，2），d（2，1），則abe和cde的相似比為=2.將點d的橫、縱坐標都乘以2，得點b的坐標為（4，2），將點b

14、向右平移1個單位長度，得點b的坐標為（5，2）.故選c.法二：設(shè)點b的坐標為（x，y），則，.解得x=5，y=2.點b的坐標為（5，2），故選c.adbce 圖1評注：此題通過平移，將問題轉(zhuǎn)化為以原點為位似中心的位似變換問題解決，或者直接利用“對應(yīng)點到位似中心的距離（這里分解為橫向距離、縱向距離）之比=相似比”解決.無論哪種方法，都離不開數(shù)形的有機結(jié)合.誤區(qū)點撥1.誤把特殊當一般例1 如圖1，點b，c在線段de上，且abc是等邊三角形.當db，bc，ce滿足怎樣的關(guān)系時，adbeac？并加以證明.錯解：當db=bc=ce時，adbeac.證明：abc是等邊三角形，abc=acb=60，ab=b

15、c=ac. abd=ace=120.db=bc=ce，=1. adbeac.剖析：錯解沒有認真思考，給定的條件除了能判定兩三角形相似外，還能判定兩三角形全等，具有特殊性，不符合一般性的要求，因此錯誤.正解：當，或bc2=dbce時，adbeac.證明：abc是等邊三角形，abc=acb=60，ab=bc=ac.abd=ace=120.又，abpc圖2. adbeac.2.考慮不周，導(dǎo)致多解或漏解例2 如圖2，p是rtabc的斜邊bc上異于b,c的一點，過p點作直線截abc，使截得的三角形與abc相似，滿足這樣條件的直線條數(shù)是( )a.1 b.2 c.3 d.4錯解：選b或d.剖析：如圖3，共有

16、3種情況，分別是過點p作pdac或bpd=c、pdab或cpd=b、pdbc或bpd=a.abpcabpcabpcddd圖 3正解：選c.跟蹤訓練1.（2015武漢）如圖，在直角坐標系中，有兩點a(6，3)、b(6，0)以原點o為位似中心，相似比為，在第一象限內(nèi)把線段ab縮小后得到線段cd，則點c的坐標為（ ）a(2，1)b(2，0)c(3，3)d(3，1)第1題圖第2題圖2.（2015恩施州）如圖，在平行四邊形abcd中，efab交ad于點f，deea=34，ef=3，則cd的長為（ ）a.4 b.7 c.3 d.12 3.（2015株洲）如圖，已知ab，cd，ef都與bd垂直，垂足分別是b

17、，d，f，且ab=1，cd=3，那么ef的長是（ ）第3題圖a. b. c. d.第4題圖第5題圖4.（2015慶陽）如圖，在abc中，兩條中線be，cd相交于點o，則sdoesdce=（）a.14b13c12d235.（2015安徽）如圖，矩形abcd中，ab=8，bc=4，點e在ab上，點f在cd上，點g，h在對角線ac上.若四邊形egfh是菱形，則ae的長是（ ）a.2 b.3 c.5 d.66.（2015自貢）副三角板疊放如圖，則aob與doc的面積之比為_第7題圖第6題圖7.（2015河池）如圖，菱形abcd的邊長為1，直線l過點c，交ab的延長線于點m，交ad的延長線于n，則 +

18、= .8.（2015泰安）如圖，在abc中，ab=ac，點p，d分別是bc，ac邊上的點，且apd=b.（1）求證：accd=cpbp；（2）若ab=10，bc=12，當pdab時，求bp的長.第8題圖9.（2015崇左）一塊材料的形狀是銳角三角形abc，邊bc=120 mm，高ad=80 mm，把它加工成正方形零件如圖，使正方形的一邊在bc上，其余兩個頂點分別在ab，ac上（1）求證：aefabc；（2）求這個正方形零件的邊長；（3）如果把它加工成矩形零件如圖，問這個矩形的最大面積是多少？aabcefkgdhbcefkgdh第9題圖參考答案11.1成比例線段1. c 2. b 3. d4. 5.6. 7. 解：令，則a+2=3m，b=4m，c+5=6m.a=3m2，b=4m，c=6m5.2ab+3c=21，2（3m2）4m+3（6m5）=21,即20m=40，解得m=2.a=3m2=4，b=4m=8，c=6m5=7.abc=487.8.證明：meab，.同理. .11.2相似三角形1. a 2. b 3. c 4. b 5. c6. 13 7. 1 8.解：（1）證明：apc=apd+dpc=pab+b，apd=b，dpc=pab.又ab=ac，b=c.abppcd.=.=.