人教高中數(shù)學必修五同課異構課件21數(shù)列的概念與簡單表示法212探究導學課型

1、第2課時 數(shù)列的通項公式與遞推公式,1.會根據(jù)數(shù)列的通項公式，解決簡單的數(shù)列問題. 2.體會遞推公式是數(shù)列的一種表示法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項. 3.掌握由一些簡單的遞推公式求通項公式的方法.,數(shù)列的遞推公式 如果已知數(shù)列an的第1項(或前幾項)，且從第2項(或某一項) 開始的任一項an與它的前一項_(或前幾項)(n2，nN*) 間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個 數(shù)列的遞推公式.,an-1,1.已知數(shù)列an滿足a1=1，an=2an-1+1(n2)，則a5=() A.7B.15C.20D.31 【解析】選D.因為a1=1，an=2an-1+1(n2)，所以a2=3

2、，a3=7，a4=15，所以a5=2a4+1=31.,2.數(shù)列an中，a1=-1，an+1=an-2，則a3=. 【解析】因a1=-1，an+1=an-2. 所以a2=-1-2=-3，a3=a2-2=-3-2=-5. 答案：-5,3.數(shù)列an中a1=3，an+1=an+4，則它的第5項是 . 【解析】a1=3，an+1=an+4，則a2=7，a3=11，a4=15，a5=19. 答案：19,數(shù)列的遞推公式 已知一個數(shù)列的首項為a1=a，從第二項起每一項都等于它的前一項的b倍再加c，即an=ban-1+c，該式子體現(xiàn)了相鄰兩項之間的關系，稱之為數(shù)列的遞推公式，結(jié)合該定義探究下面的問題：,探究1：

3、根據(jù)數(shù)列的遞推公式如何求數(shù)列中的項？ 提示：根據(jù)數(shù)列的遞推公式，只需將初始值代入遞推公式，就可依次求出數(shù)列中的其他項.,探究2：若僅由數(shù)列an的遞推關系an=ban-1+c(n2，nN*)，能否確定數(shù)列an的每一項？ 提示：僅由數(shù)列an的遞推關系an=ban-1+c(n2，nN*)，只能確定數(shù)列an中相鄰兩項之間的關系，而無法確定數(shù)列中的每一項.而要想確定數(shù)列中的每一項，還需知道數(shù)列的第一項或前幾項.,探究3：數(shù)列的通項公式和遞推公式能否互相轉(zhuǎn)化？ 提示：數(shù)列的通項公式和遞推公式一般可以相互轉(zhuǎn)化.但有些遞推公式求不出通項公式，故數(shù)列的通項公式和遞推公式并不一定能互相轉(zhuǎn)化.,【探究總結(jié)】數(shù)列遞推

4、公式與通項公式的區(qū)別與聯(lián)系,類型一數(shù)列通項公式的應用 1.數(shù)列an的通項公式為an=3n2-28n，則數(shù)列an各項中最小項是() A.第4項B.第5項C.第6項D.第7項 2.數(shù)列an的通項公式為an=n2-5n+4(nN*)，問： (1)數(shù)列中有多少項為負數(shù)？ (2)n為何值時，an有最小值？并求出最小值.,【解題指南】1.用函數(shù)的觀點看待通項公式，是開口向上的拋物線，越接近對稱軸的函數(shù)值越小. 2.數(shù)列的通項公式an與n是函數(shù)關系，本題為二次式，需結(jié)合二次函數(shù)知識探求，當然不能忘記n的取值范圍.,【自主解答】1.選B.由an=3n2-28n= 又n為正整數(shù)，故當n=5時an取最小值. 2.

5、(1)由an為負數(shù)，得n2-5n+40，解得1n4. 因為nN*，所以n=2，3.故數(shù)列有兩項為負數(shù). (2)因為an=n2-5n+4= ，所以對稱軸為n= =2.5. 又因nN*，故n=2或3時，an有最小值. 其最小值為22-52+4=-2.,【規(guī)律總結(jié)】數(shù)列最大項或最小項的求法 (1)利用單調(diào)性，確定n的取值或范圍，從而確定最大或最小項. (2)通過解不等式組 (nN*，n1)求出最大項是第幾 項；通過 (nN*，n1)求出最小項是第幾項.,【變式訓練】已知數(shù)列an的通項公式為 則當an取得最大值時，n等于. 【解析】由題意知 所以 解得 所以n=5或6. 答案：5或6,類型二由遞推公式

6、求數(shù)列的項 1.根據(jù)框圖，建立所打印數(shù)列的遞推公式，數(shù)列的前5項為.,2.數(shù)列an中，a1=1，對所有的n2都有a1a2a3 an=n2，則a3+a5等于() A.B.C.D. 3.已知數(shù)列an中，a1=1，an+3an+3，an+2an+2，求a2013.,【解題指南】1.閱讀框圖，得到遞推公式，求出前5項. 2.根據(jù)已知，寫出a1a2an-1=(n-1)2，可以求出an. 3.利用遞推關系推導2013a20132013.,【自主解答】1.根據(jù)框圖，數(shù)列的遞推公式為 數(shù)列的前5項依次為：1， 答案：1，,2.選A.因為a1a2an=n2， 所以a1a2an-1=(n-1)2， 所以an= (

7、n2)， 所以 所以,3.由an+2an+2得 a2013a2011+2a2009+22a1+21006=2013， 由an+2an+2得anan+2-2， 又an+3an+3得an+3an+3an+2+1，于是 a2013a2012+1a2011+21a2010+31a2009+41a1+20121=2013，所以a2013=2013.,【規(guī)律總結(jié)】已知遞推公式求數(shù)列的項的方法 根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項，這類問題要弄清楚公式中各部分的關系，依次代入計算即可.若數(shù)列前幾項各項間規(guī)律明顯，可歸納出一個通項公式，然后再代入通項公式求數(shù)列中的每一項.,【變式訓練】(2014巢湖高二檢測)在各項均

8、為正數(shù)的數(shù)列 an中，任意m，nN*都有am+n=aman.若a6=64，則a9等于 () A.256B.510C.512D.1024,【解析】選C.在各項均為正數(shù)的數(shù)列an中， 對任意m，nN*都有am+n=aman. 所以a12=a6a6=642， 又a6=a3a3，所以a3=8， 所以a12=a9a3，解得a9= =512.,類型三利用遞推公式研究數(shù)列 1.已知an中，a1=1， 則數(shù)列an的通項公式是() A.an=2nB.an= C.an=D.an=,2.已知數(shù)列an滿足：a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1 (n2)，則an的通項an= 3.已知數(shù)列an滿足a1

9、=2，an+1=2an，寫出數(shù)列的前4項，猜 想數(shù)列的通項公式并加以證明.,【解題指南】1.寫出數(shù)列的前幾項，觀察得出數(shù)列的通項公式. 2.利用方程進行等價轉(zhuǎn)化找數(shù)列an的項an與前一項an-1之間的關系. 3.根據(jù)遞推公式可以逐個寫出前4項，用累乘法證明.,【自主解答】1.選C.a1=1，a2= ，a3= ，a4= ， 觀察得an= 2.由已知得：an=a1+2a2+(n-2)an-2+(n-1)an-1(n2)， an-1=a1+2a2+(n-2)an-2(n3). 兩式相減得：an-an-1=(n-1)an-1(n3)， 所以an=nan-1，即 =n(n3)，,所以 =345(n-1)n， 所以 (n3). 又因為a1=1，a2=a1=1，所以an= (n2). 答案：,3.由a1=2，an+1=2an，得 a2=2a1=4=22，a3=2a2=222=23，a4=2a3=223=24， 猜想an=2n(nN*). 證明如下： 由a1=2，an+1=2an， 得 所以 =2222=2n.,【規(guī)律總結(jié)】由遞推公式求數(shù)列的通項公式的兩種方法 (1)觀察歸納法： 根據(jù)遞推公式，求出數(shù)列的前幾項； 通過前幾項觀察哪些因素隨項數(shù)n的變化而變化，哪些因素不變，初步歸納出公式； 取n的特殊值進行檢驗，判斷得到的通項公式是否正確.,(2)遞推公式法： 觀察數(shù)列相鄰兩項間的遞推關