人教高中數(shù)學(xué)必修五同課異構(gòu)課件22等差數(shù)列221探究導(dǎo)學(xué)課型

1、2.2等差數(shù)列 第1課時(shí)等差數(shù)列,1.理解等差數(shù)列的定義. 2.會(huì)推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，能運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單的問題. 3.掌握等差中項(xiàng)的概念并能運(yùn)用.,1.等差數(shù)列 (1)定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的 前一項(xiàng)的差等于_，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列. (2)公差：這個(gè)_叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母_表示. (3)通項(xiàng)公式：an=_. 2.等差中項(xiàng) 若三個(gè)數(shù)a，A，b構(gòu)成等差數(shù)列，則A叫做a，b的等差中項(xiàng)， 并且A=_.,同一個(gè)常數(shù),常數(shù),d,a1+(n-1)d,1.已知等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n-1，則它的公差為 () A.2B.-2C.3D.-

2、3 【解析】選A.d=an-an-1=(2n-1)-2(n-1)-1=2.,2.已知a=1，b=3，則a，b的等差中項(xiàng)為() A.1B.2C.3D.4 【解析】選B.,3.已知等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=3-2n，則a1+a2=. 【解析】因?yàn)閍n=3-2n，所以a1=3-2=1， a2=3-22=-1，故a1+a2=0. 答案：0,4.等差數(shù)列1，-1，-3，-5，-89的項(xiàng)數(shù)為. 【解析】因?yàn)閍1=1，d=-1-1=-2，所以an=a1+(n-1)d=-2n+3. 由-2n+3=-89，得n=46. 答案：46,一、等差數(shù)列的概念 觀察下列幾個(gè)實(shí)例，探究以下問題 (1)2，4，6，8，1

3、0，12， (2)1，1，1，1，1，1， (3)1，3，5，7，9，11，,探究1：請(qǐng)觀察(1)(3)中的數(shù)列，它們中的每個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是否都相等？ 提示：觀察這三個(gè)實(shí)例可以看出，(1)(3)中的差都是2，(2)中的差是0.因此上述幾個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都相等.,探究2：在探究1的基礎(chǔ)上，你能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示它們之間的關(guān)系嗎？ 提示：可表示為an+1-an=d(d為常數(shù)，nN*). 探究3：根據(jù)等差數(shù)列的定義，思考是否所有的常數(shù)列都是等差數(shù)列？ 提示：是，根據(jù)等差數(shù)列的特點(diǎn)知，所有的常數(shù)列都是等差數(shù)列.,【探究總結(jié)】理解等差數(shù)列定義時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn) (1)注意定

4、義中“從第2項(xiàng)起”這一前提條件.這一條件有兩層意義，其一，第一項(xiàng)前面沒有項(xiàng)，無法與后續(xù)條件中“與前一項(xiàng)的差”相吻合；其二，必須從第2項(xiàng)起保證使數(shù)列中各項(xiàng)均與其前面一項(xiàng)作差.,(2)注意定義中“每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差”這一運(yùn)算要求，它的含義也有兩個(gè)，其一是強(qiáng)調(diào)作差的順序，即后面的項(xiàng)減前面的項(xiàng)；其二是強(qiáng)調(diào)這兩項(xiàng)必須相鄰. (3)注意定義中的“同一個(gè)常數(shù)”這一點(diǎn)可理解為每一項(xiàng)與前面一項(xiàng)的差是常數(shù)且是同一個(gè)常數(shù).,二、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差中項(xiàng) 結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，探究下列問題：,探究1：利用數(shù)列的通項(xiàng)公式如何建立數(shù) 列任意兩項(xiàng)之間的關(guān)系. 提示：在等差數(shù)列an中，若m，

5、nN*， 則an=am+(n-m)d. 推導(dǎo)如下：因?yàn)閷?duì)任意的m，nN*，在等差數(shù)列中， 有am=a1+(m-1)d， an=a1+(n-1)d， 由-得an-am=(n-m)d， 所以an=am+(n-m)d.,探究2：若A= ，則a，A，b是否成等差數(shù)列？若一個(gè)數(shù)列 任意相鄰的三項(xiàng)具有這種關(guān)系，結(jié)果怎樣？ 提示：若A= ，則a+b=2A，A-a=b-A，則a，A，b成等差數(shù) 列，反之也成立. 若an+1= (an+an+2)，則an+1是它的前一項(xiàng)an與后一項(xiàng)an+2的等差 中項(xiàng)，由n的任意性可得，數(shù)列an是等差數(shù)列.,【探究總結(jié)】1.對(duì)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的三點(diǎn)說明 (1)利用通項(xiàng)公式可以求

6、出首項(xiàng)與公差. (2)可以由首項(xiàng)與公差求出等差數(shù)列中的任意一項(xiàng). (3)若某數(shù)為等差數(shù)列中的一項(xiàng)，可以利用通項(xiàng)公式求出項(xiàng)數(shù). 2.等差中項(xiàng)的注意點(diǎn) (1)等差中項(xiàng)A= a，A，b成等差數(shù)列. (2)用等差中項(xiàng)：an+1= (an+an+2)可以證明一個(gè)數(shù)列為等差數(shù) 列.,【拓展延伸】用函數(shù)的觀點(diǎn)理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 (1)將等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d變形整理可得an= dn+a1-d，從函數(shù)角度來看，an=dn+(a1-d)是關(guān)于n的一次函 數(shù)(d0時(shí))或常數(shù)函數(shù)(d=0時(shí)). (2)an=dn+(a1-d)的圖象是一條射線上一些間距相等的點(diǎn)，其 中公差d是該射線所在直線的斜

7、率，從上面的變形公式可以知 道，d= (nm).,類型一等差數(shù)列的定義 1.給出下列數(shù)列，其中是等差數(shù)列的是. (1)0，-3，-6，-9，-12，. (2)1，-1，1，-1，1，-1，. (3)6，6，6，6，. (4)6，5，3，1，-1，-3，. 2.已知cn= 試判斷數(shù)列cn是否為等差數(shù)列.,【解題指南】1.驗(yàn)證從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差是否等于同一個(gè)常數(shù). 2.分段函數(shù)要分別計(jì)算每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差是否等于同一個(gè)常數(shù).,【自主解答】1.(1)該數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)-3，所以是等差數(shù)列. (2)因?yàn)?1-1=-2，1-(-1)=2，不是同一個(gè)常數(shù)

8、，所以該數(shù)列不是等差數(shù)列. (3)該數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)0，所以是等差數(shù)列.,(4)因?yàn)?-6=-1，而從第3項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)-2，所以該數(shù)列不是等差數(shù)列，但可以說從第2項(xiàng)起是一個(gè)等差數(shù)列. 答案：(1)(3),2.因?yàn)閏2-c1=-1-1=-2， cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2(n2). 所以cn+1-cn(n1)不等于同一個(gè)常數(shù)，不符合等差數(shù)列的定義.所以cn不是等差數(shù)列.,【規(guī)律總結(jié)】利用等差數(shù)列定義判定數(shù)列的步驟 (1)求第二項(xiàng)與第一項(xiàng)的差(常數(shù)). (2)驗(yàn)證以后每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù). (3)根據(jù)

9、等差數(shù)列的定義，判定該數(shù)列是否為等差數(shù)列.,【變式訓(xùn)練】給出下列數(shù)列，其中是等差數(shù)列的是. (1)1，2，4，6，8，. (2)0，0，0，0，. (3)3，6，9，12，. 【解析】(1)因?yàn)?-1=1，4-2=2，故該數(shù)列不是等差數(shù)列. (2)因?yàn)?-0=0-0=0，所以是等差數(shù)列. (3)因?yàn)?-3=9-6=12-9=3，所以是等差數(shù)列. 答案：(2)(3),類型二等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用 1.(2014重慶高考)在等差數(shù)列an中，a1=2，a3+a5=10，則a7=() A.5B.8C.10D.14 2.(2015大連高二檢測(cè))已知等差數(shù)列an中，a1a2a3an且a3，a6為方程x2-

10、10 x+16=0的兩個(gè)實(shí)根. (1)求此數(shù)列an的通項(xiàng)公式. (2)268是不是此數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第多少項(xiàng)？若不是，說明理由.,【解題指南】1.根據(jù)題設(shè)條件求出公差，進(jìn)而可求出a7的值. 2.(1)由于數(shù)列an是等差數(shù)列，只要確定它的首項(xiàng)a1及公差d的值，將其代入通項(xiàng)公式中，即可得an. (2)268是否為該等差數(shù)列中的項(xiàng)，關(guān)鍵點(diǎn)是看an=268是否有正整數(shù)解.,【自主解答】1.選B.設(shè)公差為d，因?yàn)閍1=2， 所以a3+a5=2+2d+2+4d=4+6d=10， 解得d=1， 所以a7=a1+6d=2+6=8. 2.(1)因?yàn)?即 解得 故an=-2+2(n-1)=2n-4.,(2)2

11、68是此數(shù)列中的項(xiàng).令an=2n-4=268得2n=272， 故n=136. 因此268是此數(shù)列中的136項(xiàng).,【規(guī)律總結(jié)】求等差數(shù)列通項(xiàng)公式的四個(gè)步驟,【變式訓(xùn)練】已知等差數(shù)列an中，a10=29，a21=62，試判斷91是否為此數(shù)列中的項(xiàng). 【解析】設(shè)該等差數(shù)列的公差為d，則有a10=a1+9d=29，a21=a1+20d=62，解得a1=2，d=3. 所以an=2+(n-1)3=3n-1. 令an=3n-1=91，得n= N*. 所以91不是此數(shù)列中的項(xiàng).,類型三等差中項(xiàng)的簡(jiǎn)單應(yīng)用 1.方程x2-6x+1=0的兩根的等差中項(xiàng)為() A.1B.2C.3D.4 2.已知a，b，c成等差數(shù)列，

12、那么a2(b+c)，b2(c+a)，c2(a+b)是否成等差數(shù)列？,【解題指南】1.由根與系數(shù)的關(guān)系得兩根之和，進(jìn)而求其等差中項(xiàng). 2.已知a，b，c成等差數(shù)列，由等差中項(xiàng)的定義，可知a+c=2b，然后要證a2(b+c)，b2(c+a)，c2(a+b)是否成等差數(shù)列，可考慮等差中項(xiàng)的定義、性質(zhì)及條件a+c=2b.,【自主解答】1.選C.設(shè)方程x2-6x+1=0的兩根為x1，x2， 則x1+x2=6.所以其等差中項(xiàng)為 2.因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以a+c=2b， 又a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a) =a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b) =a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0， 所以a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a)， 所以a2(b+c)，b2(c+a)，c2(a+b)成等差數(shù)列.,【規(guī)律總結(jié)】 1.等差中項(xiàng)的兩個(gè)注意點(diǎn) (1)唯一性：任意兩個(gè)常數(shù)存在唯一的等差中項(xiàng). (2)任意性：等差數(shù)列中不連續(xù)的三項(xiàng)，如ak-s，ak，ak+s中， ak是ak-s與ak+s的等差中項(xiàng)，因?yàn)槠湎聵?biāo)k-s，k，k+s成等差數(shù)列. 提醒：等差數(shù)列中項(xiàng)的下標(biāo)成等差數(shù)列，相應(yīng)項(xiàng)也成等差數(shù)列.