分布函數(shù)及其基本性質.ppt

1、二、分布函數(shù)及其基本性質,為了對離散型的和連續(xù)型的隨機變量以及更廣泛類型的隨機變量給出一種統(tǒng)一的描述方法，引進了分布函數(shù)的概念.,定義：,說明 X是隨機變量, x是參變量。 F(x) 是隨機變量X取值不大于 x 的概率。 由定義，對任意實數(shù) x1x2，隨機點落 在區(qū)間（ x1 , x2 的概率為： P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1),離散型隨機變量分布函數(shù)的計算,設離散型隨機變量分布律為 PX=xk=pk,k=1,2, 由概率的可列可加性得X的分布函數(shù)為 F(x)= PXx=PXxk=pk 這里和式是對于所有滿足xkx的k求和.,當 x0 時， X

2、 x = ， 故 F(x) =0,當 0 x 1 時， F(x) = P(X x) = P(X=0) =,當 1 x 2 時， F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + =,當 x 2 時， F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1,不難看出，F(xiàn)(x) 的圖形是階梯狀的圖形，在 x=0，1，2 處有跳躍，其躍度分別等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2).,例,已知 X 的分布律為,求X的分布函數(shù)， 并畫出它的圖形。,-1,1,2,3,0.25,0.5,1,x,F(x),F(x)的示意圖,引進分布函數(shù)F(x)后，事件的概率都可以用F(x)

3、的函數(shù)值來表示。,P（Xb）=F(b),P（aXb）=F(b)-F(a),P（Xb）=1-P（Xb）=1 - F(b),P（aXb）=P(X b)-P(Xa)= F(b)- F(a),例:設隨機變量X的分布律為,求X的分布函數(shù),并求PX1/2,P3/2X 5/2,P2 X 3.,解:由概率的有限可加性得,即,PX1/2=F(1/2)=1/4,P3/2X 5/2 =F(5/2)-F(3/2) =3/4 -1/4=1/2,P2 X 3 = F(3)-F(2)+PX=2 =1-1/4+1/2=3/4,解,(1),(2),分布函數(shù)的性質,試說明F(x)能否是某個隨機變量的分布函數(shù).,例 設有函數(shù) F(x),解： 注意到函數(shù) F(x)在 上下降， 不滿足性質(1)，故F(x)不能是分布函數(shù).,不滿足性質(2)， 可見F(x)也不能是隨機變量的 分布函數(shù).,或者,例 在區(qū)間 0，a 上任意投擲一個質點，以 X 表示這個質點的坐標. 設這個質點落在 0, a中任意小區(qū)間內的概率與這個小區(qū)間的長度成正比，試求 X 的分布函數(shù).,解：設 F(x) 為 X 的分布函數(shù)，,當 x 0 時，F(xiàn)(x) = P(X x) = 0,當 x a 時，F(xiàn)(x) =1,當 0 x a 時， P(0 X x) = kx (k為常數(shù) ),F(x)