232雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

1、2.3.2 雙曲線簡單的幾何性質(zhì) (一),| |MF1|-|MF2| | =2a（ 2a|F1F2|）,F ( c, 0) F(0, c),2、對稱性,一、研究雙曲線 的簡單幾何性質(zhì),1、范圍,關(guān)于x軸、y軸和原點都是對稱。,x軸、y軸是雙曲線的對稱軸，原點是對稱中心， 又叫做雙曲線的中心。,(-x,-y),(-x,y),(x,y),(x,-y),課堂新授,3、頂點,（1）雙曲線與對稱軸的交點，叫做雙曲線的頂點,M(x,y),4、漸近線,N(x,y),慢慢靠近,動畫演示,5、離心率,離心率。,ca0,e 1,e是表示雙曲線開口大小的一個量,e越大開口越大,（1）定義：,（2）e的范圍：,（3）

2、e的含義：,（4）等軸雙曲線的離心率e= ?,( 5 ),（1）范圍:,（4）漸近線:,（5）離心率:,小 結(jié),或,或,關(guān)于坐標 軸和 原點 都對 稱,例1 :求雙曲線,的實半軸長,虛半軸長,焦點坐標,離心率.漸近線方程。,解：把方程化為標準方程,可得:實半軸長a=4,虛半軸長b=3,半焦距c=,焦點坐標是(0,-5),(0,5),離心率:,漸近線方程:,例題講解,例2:,2.3.2 雙曲線簡單的幾何性質(zhì) (二),1、若雙曲線的漸近線方程為 則雙曲線的離心率為 。 2、若雙曲線的離心率為2，則兩條漸近線的夾角為 。,課堂練習(xí),例3 :求下列雙曲線的標準方程：,例題講解,法二：巧設(shè)方程,運用待定

3、系數(shù)法. 設(shè)雙曲線方程為 ,法二：設(shè)雙曲線方程為, 雙曲線方程為, ,解之得k=4,1、“共漸近線”的雙曲線的應(yīng)用,0表示焦點在x軸上的雙曲線； 0表示焦點在y軸上的雙曲線。,總結(jié)：,雙曲線的漸近線方程為,解出,例1、雙曲線型自然通風塔的外形，是雙曲線 的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的 最小半徑為12m,上口半徑為13m,下口半徑 為25m,高55m.選擇適當?shù)淖鴺讼?，求出?雙曲線的方程(精確到1m).,A,A,0,x,C,C,B,B,y,例題講解,引例：點M(x, y)與定點F(c, 0)的距離和它到定直線 的距離比是常數(shù) (ca0)，求點M的軌跡.,解：,設(shè)點M(x,y)到l的距離為

4、d，則,即,化簡得,(c2a2)x2 a2y2=a2 (c2 a2),設(shè)c2a2 =b2，,(a0,b0),故點M的軌跡為實軸、虛軸長分別為2a、2b的雙曲線.,b2x2a2y2=a2b2,即,就可化為:,點M的軌跡也包括雙曲線的左支.,一、第二定義,雙曲線的第二定義,平面內(nèi)，若定點F不在定直線l上，則到定點F的距離與到定直線l的距離比為常數(shù)e(e1)的點的軌跡是雙曲線。,定點F是雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.,對于雙曲線,是相應(yīng)于右焦點F(c, 0)的 右準線,類似于橢圓,是相應(yīng)于左焦點F(-c, 0) 的左準線,點M到左焦點與左準線的距 離之比也滿足第二定義

5、.,想一想：中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線的準線方程是怎樣的？,相應(yīng)于上焦點F(c, 0)的是上準線,相應(yīng)于下焦點F(-c, 0)的是下準線,例2、點M（x,y）與定點F（5,0），的距離 和它到定直線： 的距離的比是常 數(shù) , 求點M的軌跡.,y,0,d,由已知：,解：,a=4,b=3,c=5,雙曲線的右準線為l:,作MNl, AA1l, 垂足分別是N, A1,N,A1,當且僅當M是 AA1與雙曲線的交點時取等號,令y=2, 解得:,歸納總結(jié),1. 雙曲線的第二定義,平面內(nèi)，若定點F不在定直線l上，則到定點F的距離與到定直線l的距離比為常數(shù)e(e1)的點的軌跡是雙曲線。,定點F是雙曲線的焦

6、點，定直線叫做雙曲線的準線，常數(shù)e是雙曲線的離心率。,2. 雙曲線的準線方程,對于雙曲線,準線為,對于雙曲線,準線為,注意:把雙曲線和橢圓的知識相類比.,橢圓與直線的位置關(guān)系及判斷方法,判斷方法,0,=0,0,（1）聯(lián)立方程組,（2）消去一個未知數(shù),（3）,復(fù)習(xí):,相離,相切,相交,二、直線與雙曲線的位置關(guān)系,1) 位置關(guān)系種類,X,Y,O,種類:相離;相切;相交(0個交點，一個交點，一個交點或兩個交點),2)位置關(guān)系與交點個數(shù),相離:0個交點,相交:一個交點,相交:兩個交點,相切:一個交點,3)判斷直線與雙曲線位置關(guān)系的操作程序,把直線方程代入雙曲線方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,

7、直線與雙曲線的 漸進線平行,相交（一個交點）,計 算 判 別 式,(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0,1.二次項系數(shù)為0時，L與雙曲線的漸近線平行或重合。 重合：無交點；平行：有一個交點。,2.二次項系數(shù)不為0時,上式為一元二次方程,相切一點: =0 相 離: 0,注:,相交兩點: 0 同側(cè)： 0 異側(cè): 0 一點: 直線與漸進線平行,特別注意直線與雙曲線的 位置關(guān)系中：,一解不一定相切，相交不一定兩解，兩解不一定同支,例.已知直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4,試討論實數(shù)k的取值范圍,使直線與雙曲線 (1)沒有公共點; (2)有兩個公共點; (3)只有一個公共點

8、; (4)交于異支兩點； (5)與左支交于兩點.,(3)k=1，或k= ；,(4)-1k1 ；,(1)k 或k ；,(2) k ；,1.過點P(1,1)與雙曲線,只有,共有_條.,變題:將點P(1,1)改為 1.A(3,4) 2.B(3,0) 3.C(4,0) 4.D(0,0).答案又是怎樣的?,4,1.兩條;2.三條;3.兩條;4.零條.,交點的,一個,直線,（1，1）,。,2.雙曲線x2-y2=1的左焦點為F,點P為左支下半支上任意一點 (異于頂點),則直線PF的斜率的變化范圍是_,例4、如圖，過雙曲線 的右焦點 傾斜角為 的直線交雙曲線于A，B兩點，求|AB|。,三、弦長問題,韋達定理與

9、點差法,例.已知雙曲線方程為3x2-y2=3, 求： (1)以2為斜率的弦的中點軌跡； (2)過定點B(2,1)的弦的中點軌跡； (3)以定點B(2,1)為中點的弦所在的直線方程. (4)以定點(1,1)為中點的弦存在嗎？說明理由；,方程組無解，故滿足條件的L不存在。,分析：只需證明線段AB、CD的中點重合即可。,證明: (1)若L有斜率，設(shè)L的方程為:y=kx+b,1 .位置判定 2.弦長公式 3.中點問題 4.垂直與對稱 5.設(shè)而不求(韋達定理、點差法),小結(jié)：,拓展延伸,1.已知直線y=ax+1與雙曲線3x2-y2=1相交于A、B兩點. (1)當a為何值時，以AB為直徑的圓過坐標原點；

10、(2)是否存在這樣的實數(shù)a,使A、B關(guān)于y=2x對稱， 若存在，求a;若不存在，說明理由.,（備選）垂直與對稱問題,解：將y=ax+1代入3x2-y2=1,又設(shè)方程的兩根為x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有兩個實根，必須0,原點O（0，0）在以AB為直徑的圓上，,OAOB，即x1x2+y1y2=0,即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0,(a2+1) x1x2 +a(x1+x2 )+1=0,解得a=1.,(1)當a為何值時，以AB為直徑的圓過坐標原點；,(2)是否存在這樣的實數(shù)a,使A、B關(guān)于y=2x對稱， 若存在，求a;若不存在，說明理由.,3、設(shè)雙曲線C： 與直線 相交于兩個不同的點A、B。 （1）求雙曲線C的離心率e的取值范圍。