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1、科學(xué)出版社,第六節(jié),曲線(xiàn)的彎曲程度,與切線(xiàn)的轉(zhuǎn)角有關(guān),與曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)有關(guān),曲率,第四章,科學(xué)出版社,弧微分,設(shè),在(a , b)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),其圖形為 AB,弧長(zhǎng),科學(xué)出版社,則弧長(zhǎng)微分公式為,或,幾何意義:,若曲線(xiàn)由參數(shù)方程表示:,科學(xué)出版社,曲率及其計(jì)算公式,在光滑弧上自點(diǎn) M 開(kāi)始取弧段, 其長(zhǎng)為,對(duì)應(yīng)切線(xiàn),定義,弧段 上的平均曲率,點(diǎn) M 處的曲率,注:,轉(zhuǎn)角為,（單位弧長(zhǎng)轉(zhuǎn)過(guò)的角度）,直線(xiàn)上任意點(diǎn)處的曲率為 0 !,科學(xué)出版社,例1. 求半徑為R 的圓上任意點(diǎn)處的曲率 .,解:,可見(jiàn): R 愈小, 則K 愈大 , 圓弧彎曲得愈厲害 ;,R 愈大, 則K 愈小 , 圓弧彎曲得愈小 .,如

2、圖所示 ,科學(xué)出版社,有曲率近似計(jì)算公式,故曲率計(jì)算公式為,又,曲率K 的計(jì)算公式,二階可導(dǎo),設(shè)曲線(xiàn)弧,則由,科學(xué)出版社,注:,1) 若曲線(xiàn)由參數(shù)方程,給出, 則,2) 若曲線(xiàn)方程為,則,科學(xué)出版社,例2.,在何處曲率最大?,解:,故曲率為,K 最大等價(jià)于,最小,求駐點(diǎn):,橢圓,科學(xué)出版社,設(shè),從而 K 取最大值 .,這說(shuō)明橢圓在點(diǎn),處曲率,計(jì)算駐點(diǎn)處的函數(shù)值:,最大.,K 最大等價(jià)于,最小,科學(xué)出版社,曲率圓與曲率半徑,設(shè) M 為曲線(xiàn) C 上任一點(diǎn) ,在點(diǎn),在曲線(xiàn),把以 D 為中心, R 為半徑的圓叫做曲線(xiàn)在點(diǎn) M 處的,曲率圓,( 密切圓 ) ,R 叫做曲率半徑,D 叫做,曲率中心.,在點(diǎn)M 處曲率圓與曲線(xiàn)有下列密切關(guān)系:,1) 有公切線(xiàn);,2) 凸向一致;,3) 曲率相同 .,M 處作曲線(xiàn)的切線(xiàn)和法線(xiàn),的凹向一側(cè)法線(xiàn)上取點(diǎn) D 使,科學(xué)出版社,例3.,削其內(nèi)表面 , 問(wèn)選擇多大的砂輪比較合適?,解:,由例3可知, 橢圓在,處曲率最大,即曲率半徑最小, 且為,顯然, 砂輪半徑不超過(guò),才不會(huì)產(chǎn)生過(guò)量磨損 ,或有的地方磨

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