標(biāo)準(zhǔn)偏差與相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差公式

1、標(biāo)準(zhǔn)偏差數(shù)學(xué)表達(dá)式：? S 標(biāo)準(zhǔn)偏差（ %)?n- 試樣總數(shù)或測(cè)量次數(shù)，一般n 值不應(yīng)少于0 30個(gè)?i-物料中某成分得各次測(cè)量值，1n ；標(biāo)準(zhǔn)偏差得使用方法六個(gè)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差得公式 1標(biāo)準(zhǔn)偏差得理論計(jì)算公式設(shè)對(duì)真值為得某量進(jìn)行一組等精度測(cè)量, 其測(cè)得值為l1、l 、 . 令測(cè)得值與該量真值 X 之差為真差占, 則有 = l - X1i =2- Xnl- X我們定義標(biāo)準(zhǔn)偏差(也稱 標(biāo)準(zhǔn)差 ） 為(1)由于真值都就是不可知得, 因此真差占也就無法求得, 故式只有理論意義而無實(shí)用價(jià)值。標(biāo)準(zhǔn)偏差 得常用估計(jì) 貝塞爾公式由于真值就是不可知得, 在實(shí)際應(yīng)用中，我們常用n 次測(cè)量得算術(shù)平均值來代表真值。理論

2、上也證明，隨著測(cè)量次數(shù)得增多，算術(shù)平均值最接近真值，當(dāng)時(shí) , 算術(shù)平均值就就是真值。于就是我們用測(cè)得值l i 與算術(shù)平均值之差 剩余誤差 ( 也叫殘差） i 來代替真差 ， 即設(shè)一組等精度測(cè)量值為l1 、 l 、 ln則通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得真差與剩余誤差V 得關(guān)系為將上式代入式（)有（ 2)式（ 2）就就是著名得貝塞爾公式（Bessel) 。它用于有限次測(cè)量次數(shù)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)偏差得計(jì)算。由于當(dāng)時(shí)，,可見貝塞爾公式與得定義式（ 1 ）就是完全一致得.應(yīng)該指出 , 在 n 有限時(shí) , 用貝塞爾公式所得到得就是標(biāo)準(zhǔn)偏差得一個(gè)估計(jì)值.它不就是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差。因此，我們稱式 (2 ）為標(biāo)準(zhǔn)偏差得常用估計(jì)。為了強(qiáng)調(diào)這一

3、點(diǎn), 我們將 得估計(jì)值用 “S ”表示。于就是，將式 (2) 改寫為（ 2）在求 S 時(shí) ,為免去求算術(shù)平均值得麻煩, 經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)（過程從略）有于就是，式 ( ）可寫為(2 ”)按式 (2) 求 S 時(shí)，只需求出各測(cè)得值得平方與與各測(cè)得值之與得平方藝, 即可。標(biāo)準(zhǔn)偏差 得無偏估計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)中定義 2 為樣本方差數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明 S 就是 總體方差得無偏估計(jì)。即在大量重復(fù)試驗(yàn)中, S 圍繞 散布 , 它們2222之間沒有 系統(tǒng)誤差 .而式 ( )在有限時(shí)，S 并不就是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差得無偏估計(jì) , 也就就是說與 之間存在系統(tǒng)誤差。概率統(tǒng)計(jì)告訴我們，對(duì)于服從正態(tài)分布得正態(tài)總體，總體標(biāo)準(zhǔn)偏差 得無偏估計(jì)值為

4、(3 ）令則即 S1與 S 僅相差一個(gè)系數(shù)就是與樣本個(gè)數(shù)測(cè)量次數(shù)有關(guān)得一個(gè)系數(shù)，K ， KK 值見表 .計(jì)算 K 時(shí)用到（ n+ ） （ n）（ ) 1由表 1 知 , 當(dāng) 3 時(shí) , 。因此 , 當(dāng) n3 時(shí)， 式（ ) 與式（ 2)之間得差異可略而不計(jì)。在 n=3 50 時(shí) , 最宜用貝塞爾公式求標(biāo)準(zhǔn)偏差 .當(dāng) n 10 時(shí)， 由于 值得影響已不可忽略 , 宜用式 (3 ） , 求標(biāo)準(zhǔn)偏差 .這時(shí)再用貝塞爾公式顯然就是不妥得。標(biāo)準(zhǔn)偏差得最大似然估計(jì)將 得定義式 (1 ）中得真值用算術(shù)平均值代替且當(dāng)有限時(shí)就得到（ 4)式（ 4) 適用于n 50 時(shí)得情況 , 當(dāng) 0 時(shí) ,與（ n-1) 對(duì)

5、計(jì)算結(jié)果得影響就很小了.2 、標(biāo)準(zhǔn)偏差 得 極差 估計(jì)由于以上幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差得計(jì)算公式計(jì)算量較大，用， 而極差估計(jì)得方法則有運(yùn)算簡(jiǎn)便， 計(jì)算量小宜于現(xiàn)場(chǎng)采用得特點(diǎn)。不宜現(xiàn)場(chǎng)采極差用 R 表示。所謂極差就就是從正態(tài)總體中隨機(jī)抽取得個(gè)樣本測(cè)得值中得最大值與最小值之差。若對(duì)某量作次等精度測(cè)量測(cè)得l 1、,且它們服從正態(tài)分布,則R =l max - lmin概率統(tǒng)計(jì)告訴我們用極差來估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)偏差得計(jì)算公式為（ 5)S3 稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差 得無偏極差估計(jì)， d2 為與樣本個(gè)數(shù) n（測(cè)得值個(gè)數(shù) )有關(guān)得無偏極差系數(shù)，其值見表 2由表 2 知，當(dāng) n1時(shí)，因此 ,標(biāo)準(zhǔn)偏差更粗略得估計(jì)值為（ 5 ）還可以瞧出 ,

6、 當(dāng) 0 10時(shí) ,因而又有（ 5 ）顯然，不需查表利用式(5) 與（ 5”)了即可對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差值作出快速估計(jì)，用以對(duì)用貝塞爾公式及其她公式得計(jì)算結(jié)果進(jìn)行校核。應(yīng)指出 ,式（ 5) 得準(zhǔn)確度 比用其她公式得準(zhǔn)確度要低，但當(dāng) 5 n1時(shí) ,式 (）不僅大大提高了計(jì)算速度，而且還頗為準(zhǔn)確。當(dāng) 10 時(shí) ,由于舍去數(shù)據(jù)信息較多, 因此誤差較大，為了提高準(zhǔn)確度，這時(shí)應(yīng)將測(cè)得值分成四個(gè)或五個(gè)一組, 先求出各組得極差R 、，再由各組極差求出極差平均值。極差平均值與總體標(biāo)準(zhǔn)偏差得關(guān)系為需指出，此時(shí) d2 大小要用每組得數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n 而不就是用數(shù)據(jù)總數(shù)N(= ）去查表2。再則，分組時(shí)一定要按測(cè)得值得先后順序排列,

7、不能打亂或顛倒。標(biāo)準(zhǔn)偏差 得平均誤差估計(jì)平均誤差得定義為誤差理論給出(）可以證明與得關(guān)系為（證明從略）于就是（ B）由式（ A) 與式（ )得從而有式（ 6)就就是佩特斯（ C 、A 、 Pete s 、 1856) 公式。用該公式估計(jì) 值 , 由于 r ght| 不需平方 ,故計(jì)算較為簡(jiǎn)便。 但該式得準(zhǔn)確度不如貝塞爾公式。 該式使用條件與貝塞爾公式相似。標(biāo)準(zhǔn)偏差得應(yīng)用實(shí)例 1對(duì)標(biāo)稱值R =0、 160得以下 15 個(gè)數(shù)據(jù)：、 m 得一塊粗糙度樣塊進(jìn)行檢定，順次測(cè)5,1 、65, 、 60 ， 1、 67 ， 1、 52,1 、4 ,1、 72 ，1、 69 ，1、 7， 1、6 ,、 6,

8、、 0，、 64, 、 74 與 1、 63 m， 試求該樣塊 Rn 得平均值與標(biāo)準(zhǔn)偏差并判斷其合格否。解： 1) 先求平均值 )再求標(biāo)準(zhǔn)偏差S若用無偏極差估計(jì)公式式（5)計(jì)算，首先將測(cè)得得，15 個(gè)數(shù)據(jù)按原順序分為三組, 每組五個(gè)，見表 3。表組號(hào)l_1l_ R1、 481 、651 、 601 、 671 、 5、 11、 461 、721 、 69 、 771 、 60 、 31、 561 、501 、 64 、 74、 63、 2因每組為5 個(gè)數(shù)據(jù)，按 n=5 由表 2 查得故若按常用估計(jì)即貝塞爾公式式（2)，則若按無偏估計(jì)公式即式（3）計(jì)算，因 =15 ，由表 1 查得 K =、 0

9、 8，則若按 最大似然估計(jì)公式即式 (）計(jì)算，則= 、 296(math m ）若按平均誤差估計(jì)公式即式（)，則現(xiàn)在用式（5）對(duì)以上計(jì)算進(jìn)行校核可見以上算得得、S1、 2 、S3 與 S4 沒有粗大誤差。由以上計(jì)算結(jié)果可知0、 09296 0、 96 0、 0 790 、 0 7 0、 062即2 S 13S S S可見，最大似然估計(jì)值最小，常用估計(jì)值 S 稍大 , 無偏估計(jì)值 S 又大 , 平均誤差估計(jì)值S4 再大， 極差估計(jì)值S3 最大 .縱觀這幾個(gè)值，它們相當(dāng)接近，最大差值僅為 0 、 01 24 m。從理論上講，用無偏估計(jì)值與常用估計(jì)比較合適, 在本例中，它們僅相差 0、 01 m?？?/p>

10、以相信 , 隨著得增大，S 、 1、 S3與之間得差別會(huì)越來越小。、 S就本例而言 , 無偏極差估計(jì)值 3 與無偏估計(jì)值 1 僅相差 0、008 m， 這說明無偏極差估計(jì)就是既可以保證一定準(zhǔn)確度計(jì)算又簡(jiǎn)便得一種好方法。 G102 9表面粗糙度比較樣塊 規(guī)定 Ra 得平均值對(duì)其標(biāo)稱值得偏離不應(yīng)超過+12 17%, 標(biāo)準(zhǔn)偏差應(yīng)在標(biāo)稱值得4 2% 之間 .已得本樣塊二產(chǎn) ,產(chǎn)均在規(guī)定范圍之內(nèi), 故該樣塊合格。標(biāo)準(zhǔn)偏差與標(biāo)準(zhǔn)差得區(qū)別標(biāo)準(zhǔn)差 （ tandard De iati n）各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)得距離(離均差 )得平均數(shù) ，它就是離差平方與平均后得方根。用表示。因此，標(biāo)準(zhǔn)差 也就是一種平均數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差就

11、是方差 得算術(shù)平方根。標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個(gè)數(shù)據(jù)集得離散程度.平均數(shù)相同得,標(biāo)準(zhǔn)差未必相同.例如， A 、B 兩組各有6 位學(xué)生參加同一次語文測(cè)驗(yàn)，A 組得分?jǐn)?shù)為95 、8 、 7 、 65 、55 、45 ， B 組得分?jǐn)?shù)為73 、69 、 6、 67. 這兩組得平均數(shù)都就是70, 但 A 組得標(biāo)準(zhǔn)差為 1、 08 分， B 組得標(biāo)準(zhǔn)差為、16 分 ,說明 A 組學(xué)生之間得差距要比B 組學(xué)生之間得差距大得多 .標(biāo)準(zhǔn)偏差（ Std ev ， Sta d d viation ）統(tǒng)計(jì)學(xué) 名詞。一種量度數(shù)據(jù)分布得分散程度之標(biāo)準(zhǔn)，用以衡量數(shù)據(jù)值偏離算術(shù)平均值得程度。標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，這些值偏離平均值就越少 ,

12、反之亦然 .標(biāo)準(zhǔn)偏差得大小可通過標(biāo)準(zhǔn)偏差與平均值得倍率關(guān)系來衡量.有人經(jīng)?；煊镁礁`差（上二者并不就是一回事 .RM E）與標(biāo)準(zhǔn)差（ StandardD v ation) ，實(shí)際1、均方根誤差均方根誤差為了說明樣本得離散程度。均方根誤差（root e n-s uare e ror ）亦稱標(biāo)準(zhǔn)誤差， 其定義為 ，i1，2，。在有限測(cè)量次數(shù)中，均方根誤差常用下式表示 :，式中 ,n 為測(cè)量次數(shù) ;di 為一組測(cè)量值與平均值得偏差。如果誤差統(tǒng)計(jì)分布就是正態(tài)分布 ,那么隨機(jī)誤差落在土 以內(nèi)得概率為 8。?、標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差就是方差得算術(shù)平方根。 ?標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個(gè)數(shù)據(jù)集得離散程度。平均數(shù)相同得，標(biāo)準(zhǔn)差未

13、必相同。標(biāo)準(zhǔn)差也被稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，或者實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差.均方根值也稱作為效值，它得計(jì)算方法就是先平方、再平均、然后開方。比如幅度為00V而占空比為0 、 5 得方波信號(hào) ,如果按平均值計(jì)算,它得電壓只有50V ，而按均方根值計(jì)算則有 7、 7 V 。這就是為什么呢？舉一個(gè)例子，有一組1伏得電池組 ,每次供電 10 分鐘之后停 10分鐘， 也就就是說占空比為一半。如果這組電池帶動(dòng)得就是10 電阻 ,供電得 0分鐘產(chǎn)生1 A 得電流與 1 00W 得功率 ,停電時(shí)電流與功率為零。那么在 20分鐘得一個(gè)周期內(nèi)其平均功率為00 ,這相當(dāng)于 0 、71V得直流電向 10 電阻供電所產(chǎn)生得功率。而 0V 直流電壓

14、向 10 電阻供電只能產(chǎn)生得0W 得功率。對(duì)于電機(jī)與變壓器而言,只要均方根電流不超過額定電流，即使在一定時(shí)間內(nèi)過載，也不會(huì)燒壞。PMT 1、 0 抽油機(jī)電能圖測(cè)試儀對(duì)電流、電壓與功率得測(cè)試計(jì)算都就是按有效值進(jìn)行得,不會(huì)因?yàn)殡娏麟妷翰ㄐ位兌鴾y(cè)不準(zhǔn)。這一點(diǎn)對(duì)于測(cè)試變頻器拖動(dòng)得電機(jī)特別有用.均方根誤差 為了說明樣本得離散程度。對(duì)于 N1, 、N ，設(shè) N= （N1+ 、+Nm ）/m ；則均方根誤差記作：? sqrt( （ (N 12 ）+、 +（ N m2) ）（ (m 1） )）； ?比如兩組樣本:第一組有以下三個(gè)樣本：3 ，4， 5?第二組有一下三個(gè)樣本：2,4,6這兩組得平均值都就是，但就

15、是第一組得三個(gè)數(shù)值相對(duì)更靠近平均值,也就就是離散程度小, 均方差就就是表示這個(gè)得。同樣 ,方差、標(biāo)準(zhǔn)差 (方差開根 ,因?yàn)閱挝徊唤y(tǒng)一)都就是表示數(shù)據(jù)得離散程度得。幾種典型平均值得求法?(1) 算術(shù)平均值這種平均值最常用。設(shè)x、 x2 、 、 x n 為各次得測(cè)量值 ,n 代表測(cè)量次數(shù),則算術(shù)平均值為?（ 2 ）均方根平均值(）幾何平均值(4 ）對(duì)數(shù)平均值 ?（5）加權(quán)平均值?相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方差得計(jì)算公式?準(zhǔn)確度 : 測(cè)定值與真實(shí)值符合得程度 ?絕對(duì)誤差： 測(cè)量值 ( 或多次測(cè)定得平均值）與真（實(shí) ) 值之差稱為絕對(duì)誤差，用表示 . ?相對(duì)誤差 : 絕對(duì)誤差與真值得比值稱為相對(duì)誤差。常用百分?jǐn)?shù)表示。

16、? 絕對(duì)誤差可正可負(fù) , 可以表明測(cè)量?jī)x器得準(zhǔn)確度，但不能反映誤差在測(cè)量值中所占比例 , 相對(duì)誤差反映測(cè)量誤差在測(cè)量結(jié)果中所占得比例，衡量相對(duì)誤差更有意義。 ? 例: 用刻度 0.5cm 得尺測(cè)量長(zhǎng)度 , 可以讀準(zhǔn)到。 1m，該尺測(cè)量得絕對(duì)誤差為 0。 cm;用刻度 1mm得尺測(cè)量長(zhǎng)度，可以讀準(zhǔn)到 0。1m，該尺測(cè)量得絕對(duì)誤差為。 mm。例 : 分析天平稱量誤差為 0、1mg, 減重法需稱 2 次, 可能得最大誤差為 0、2mg，為使稱量相對(duì)誤差小于、 1, 至少應(yīng)稱量多少樣品？答：稱量樣品量應(yīng)不小于02. ?真值 ( ）： 真值就是客觀存在得，但任何測(cè)量都存在誤差， 故真值只能逼近而不可測(cè)知， 實(shí)際工作中，往往用“標(biāo)準(zhǔn)值”代替“真值 . 標(biāo)準(zhǔn)值 : 采用多種可靠得分析方法、由具有豐富經(jīng)驗(yàn)得分析人員經(jīng)過反復(fù)多次測(cè)定得出得結(jié)果平均值 . ?精密度： 幾次平行測(cè)定結(jié)果相互接近得程度 . ? 各次測(cè)定結(jié)果越接近 , 精密度越高，用偏差衡量精密度。 ?偏差 : 單次測(cè)量值與樣本平均值之差 : ?平均偏差 : 各次測(cè)量偏差絕對(duì)值得平均值。相對(duì)平均偏差 : 平均偏差與平均值得比值 .標(biāo)準(zhǔn)偏差 : 各次測(cè)量偏差得平方與平均值再開方，比平均偏差更靈敏得反映較大偏差得存在 , 在統(tǒng)計(jì)學(xué)上更有意義。 ?相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差 ( 變異系數(shù)）例：分析鐵礦石中鐵得質(zhì)量分?jǐn)?shù)，得到