2012屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7單元-立體幾何課件 新人教A版

1、第七單元立體幾何,第七單元 知識框架,第七單元 知識框架,第七單元 考綱要求,1空間幾何體 (1)認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu) (2)能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖 (3)會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式 (4)會畫某些建筑物的視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求),第七單元 考綱要求,(5)了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式(不要求記

2、憶公式) 2.點、直線、平面之間的位置關(guān)系 (1)理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理： 公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi) 公理2：過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面 公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行,第七單元 考綱要求,定理：空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補 (2)以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理 理解以下判定定理： 如

3、果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行 如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行 如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直,第七單元 考綱要求,理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明： 如果一條直線與一個平面平行，那么經(jīng)過該直線的任何一個平面與此平面的交線和該直線平行 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線相互平行 垂直于同一個平面的兩條直線平行 如果兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直 (3)能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些

4、空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題 3空間向量及其運算 (1)了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意,第七單元 考綱要求,義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 (2)掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示 (3)掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直 4空間向量的應(yīng)用 (1)理解直線的方向向量與平面的法向量 (2)能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系 (3)能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理) (4)能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中

5、的應(yīng)用,第七單元 命題趨勢,立體幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的主干知識之一，側(cè)重考查空間想象能力和推理計算能力，縱觀近三年新課標(biāo)省市的高考試題中，立體幾何部分在題型、題量、分值、難度等方面，均保持相對穩(wěn)定，其考查的熱點內(nèi)容有以下幾個特點： 1從考查形式看，一般有兩個左右的選擇題或填空題和一道解答題，分值為22分左右，約占總分值(150分)的15 % ；涉及立體幾何內(nèi)容的命題形式最為多變，填空題嘗試設(shè)計成多選填空、完形填空、構(gòu)造填空等題型，以及開放性問題和多選題 2從考查內(nèi)容看，一是以客觀題來考查空間幾何體的概念與性質(zhì)、線面關(guān)系的判定、表面積與體積、三視圖與直觀圖等，,第七單元 命題趨勢,其中線面位置關(guān)系的判

6、定又常與命題、充要條件等有關(guān)知識融合在一起進行考查，在幾何體表面積與體積為載體的試題中滲透函數(shù)、方程等數(shù)學(xué)思想方法；二是解答題以空間幾何體為載體，考查立體幾何的綜合問題主要是位置關(guān)系的判定、空間角與距離的計算，一般都可用幾何法和向量法兩種方法求解 預(yù)測2012年新課標(biāo)高考，對立體幾何考查的知識點及試題的難度，會繼續(xù)保持穩(wěn)定，著重考查空間點、線、面的位置關(guān)系的判斷及幾何體的表面積與體積的計算，應(yīng)用空間向量處理空間角與空間距離；而三視圖作為新課標(biāo)的新增內(nèi)容，主要形式是在三視圖為載體的試題中融入簡單幾何體的表面積與體積的計算，也可能會出現(xiàn)在解答題中與其他知識點交匯與綜合,1編寫意圖 本單元內(nèi)容是必修

7、2立體幾何初步和選修21空間向量與立體幾何兩部分內(nèi)容的整合，在高考試題中以中、低檔題的形式出現(xiàn)，因此，編寫時主要考慮以下幾方面： (1)本單元公理、定理較多，編寫時注重從文字、符號、圖形這三方面進行分析，并通過典型例題達到熟練掌握及應(yīng)用； (2)空間想象能力是學(xué)習(xí)立體幾何的最基本的能力要求，選擇例題時注重培養(yǎng)學(xué)生識圖、作圖、理解與應(yīng)用圖的能力；,第七單元 使用建議,(3)對本單元的重點內(nèi)容是空間線面的平行與垂直、空間角的計算，第39、40講專題講解，還在第42講中講解應(yīng)用空間向量解決線面位置關(guān)系，第43講研究空間角與距離的求法 2教學(xué)指導(dǎo) 立體幾何主要是培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運

8、用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力，本單元重點是空間的元素之間的平行與垂直關(guān)系、空間幾何體的表面積與體積，并關(guān)注畫圖、識圖、用圖的能力的提高，在復(fù)習(xí)時我們要注重以下幾點： (1)立足課標(biāo)，控制難度新課標(biāo)對立體幾何初步的要求，改變了經(jīng)典的“立體幾何”把推理論證能力放在最突出的位置，,第七單元 使用建議,從單純強調(diào)幾何的邏輯推理轉(zhuǎn)變?yōu)楹锨橥评砼c邏輯推理并重，切忌盲目拔高 (2)注重提高空間想象能力在復(fù)習(xí)過程中，要注重將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形，明確已知元素之間的位置關(guān)系及度量關(guān)系；借助圖形來反映并思考未知的空間形狀與位置關(guān)系；能從復(fù)雜圖形中分析出基本圖形和位置關(guān)系，并借助直觀感覺展開聯(lián)想與猜想，進

9、行推理與計算 (3)歸納總結(jié)，規(guī)范訓(xùn)練復(fù)習(xí)中要抓主線，攻重點，針對重點內(nèi)容加以訓(xùn)練，如平行和垂直是位置關(guān)系的核心，而線面垂直又是核心的核心；要加強數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)與提煉，立體幾何中蘊含著豐富的思想方法，如轉(zhuǎn)化與化歸思想，,第七單元 使用建議,熟練將空間問題轉(zhuǎn)化成平面圖形來解決，以及線線、線面、面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；要規(guī)范例題講解與作業(yè)訓(xùn)練，例題講解要重視作、證、求三環(huán)節(jié)，符號語言表達要規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)另外，適度關(guān)注對平行、垂直的探究，關(guān)注對條件或結(jié)論不完備情景下的開放性問題的探究 (4)在空間角和距離的求解和位置關(guān)系的判定中，體會空間向量這一工具的巨大作用 3課時安排 本單元共8講和一個滾動基礎(chǔ)訓(xùn)練

10、卷，一個單元能力訓(xùn)練卷，每講建議1課時完成，基礎(chǔ)訓(xùn)練卷和單元能力訓(xùn)練卷都建議1課時完成，共需10課時,第七單元 使用建議,第36講 空間幾何體的直觀圖和三視圖,第36講空間幾何體的直觀圖 和三視圖,第36講 知識梳理,BCDEABCDE,AC,SABCDE,SAC,ABCDEABCDE,AC,三棱柱,四棱柱,五棱柱,三棱錐,四棱錐,五棱錐,三棱臺,四棱臺,五棱臺,1.棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征,第36講 知識梳理,平行,平行四邊形,平行,多邊形,三角形,底面,截面,平行且相等,一點,一點,平行四邊形,三角形,梯形,第36講 知識梳理,OO,2.圓、圓錐、圓臺和球的結(jié)構(gòu)特征,SO,OO,O,圓,

11、圓面,圓面,圓心,垂直,頂點,圓心,垂直,圓心,垂直,球心,第36講 知識梳理,垂直,一點,一點,矩形,等腰三角形,等腰梯形,大圓,矩形,扇形,扇環(huán),第36講 知識梳理,3.三視圖與直觀圖,正投影,完全相同,正前方,正左方,正上方,正視圖,側(cè)視圖,俯視圖,正視圖,下方,長度,正視圖,高度,寬度,第36講 知識梳理,斜二測,45或135,平行于,不變,原來的一半,平行于,不變,探究點一集合的概念,第36講 要點探究,例1 下列是關(guān)于空間幾何體的四個命題中， 由八個面圍成，其中兩個面是互相平行且全等的正六邊形， 其他各面是矩形的幾何體是六棱柱； 有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體一定是

12、棱錐； 有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的幾何體一定是棱臺； 棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，該棱錐一定是正棱錐 其中正確命題的個數(shù)是() A0 B1 C2 D3,第36講 要點探究,例1 思路 要判斷幾何體的類型，應(yīng)從各類幾何體的結(jié)構(gòu)特征入手，結(jié)合棱錐、正棱錐的概念及相關(guān)性質(zhì)，逐一進行考查 B解析 是正確的，如圖1所示，該幾何體滿足有兩個面互相平行，其余六個面都是矩形，則每相鄰兩個面的公共邊都互相平行，故該幾何體是六棱柱(如圖1)； 是錯誤的，有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐(如圖2)；,第36講 要點探究,是錯誤的，有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的幾何體不一定是

13、棱臺(如圖3)； 是錯誤的，如圖4所示，ABBCCDDA，ACBD，棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，但該棱錐不是正三棱錐故選B.,第36講 要點探究,點評 準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解決概念題的關(guān)鍵；另外，要斷定命題為假時，還可以構(gòu)造反例，或借助于周圍的實物判斷下面變式題復(fù)習(xí)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征以及其截面的形狀,第36講 要點探究,以下有4個命題： 用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓，則這個幾何體一定是球； 以三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐； 以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺； 一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺 其中正確命題的個數(shù)為()

14、A0 B1 C2 D3,變式題,第36講 要點探究,思路 (1)求解決平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)問題的切入點是，對原平面圖形作適當(dāng)?shù)姆指?，再根?jù)圓錐、圓柱、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征進行判斷；解決截面問題的關(guān)鍵是，熟悉旋轉(zhuǎn)體各個方向的截面形狀,變式題,第36講 要點探究,B解析 根據(jù)球、圓柱、圓錐、圓臺的概念不難判出： 是正確的，當(dāng)用過高線的平面截圓柱和圓錐時，截面分別為矩形和三角形，只有球滿足任意截面都是圓面；,第36講 要點探究,是錯誤的，當(dāng)以直角三角形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)才可以得到圓錐，如圖(1)、(2)所示，若ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐； 是錯誤的，只

15、有以直角梯形垂直于底邊的一腰為軸旋轉(zhuǎn)可得到圓臺； 是錯誤的，只有用平行于圓錐底面的平面截圓錐，才可得到一個圓錐和圓臺故選B.,第36講 要點探究,探究點二空間幾何體的三視圖,第36講 要點探究,例2 思路本題可由實物圖畫出三視圖，畫幾何體的三視圖時，可見的輪廓線和棱用實線畫出，不能看見的輪廓線用虛線表示；畫圖時，先確定幾何體中與投影面垂直或平行的線及面的位置 D解析 設(shè)AAa，則BB2a，CC3a，先畫AB及AA、BB的位置，可排除A、C；由ABC是正三角形，且棱CC被遮擋，可排除B，故選D.,第36講 要點探究,探究點三空間幾何體的直觀圖,例3已知正三角形ABC的邊長為1，那么ABC的平面直

16、觀圖ABC的面積為_,例3 思路本題的切入點是按照斜二測畫法的規(guī)則，畫出正三角形的直觀圖，求出ABC底邊上的高，再求其面積,第36講 要點探究,第36講 要點探究,第36講 要點探究,變式題,2010揚州模擬 用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖363所示的一個正方形，則原來的圖形是(),第36講 要點探究,變式題,思路根據(jù)斜二測畫法規(guī)則，將直觀圖還原時，平行于x軸的線段長度不變，平行于y軸的線段長度變?yōu)橹庇^圖中對應(yīng)線段長度的2倍，即得到原來的圖形 A解析 由直觀圖可知，在直觀圖中多邊形為正方形，對角線長為 ，所以原圖形為平行四邊形，位于y軸上的對角線長為2 .,第36講 要點探

17、究,探究點四三視圖、直觀圖的綜合應(yīng)用,第36講 要點探究,例4 思路本題給出的空間幾何體是一個正四棱錐和長方體組成的簡單組合體，可由直觀圖得到側(cè)視圖的形狀；再由已知的正視圖和俯視圖的數(shù)量關(guān)系知道，側(cè)視圖和正視圖是完全相同的，且?guī)缀误w的數(shù)量關(guān)系可知，故體積可求,第36講 要點探究,點評 本題與實際問題相結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，作圖題要規(guī)范準(zhǔn)確，不要忘記標(biāo)出有關(guān)數(shù)據(jù)求體積時注意把不規(guī)則幾何體割補成規(guī)則幾何體本題求體積時，應(yīng)用“長對正，寬相等，高平齊”得出有關(guān)數(shù)據(jù)是關(guān)鍵,第36講 要點探究,2010遼寧卷 如圖366所示，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個多面體

18、最長的一條棱的長為_,變式題,第36講 要點探究,變式題,思路 本題可以利用幾何體的三視圖與直觀圖之間的關(guān)系，解題的切入點可先將三視圖還原，畫出直觀圖，再利用網(wǎng)格線給出的長度求解 解析 由已知的三視圖還原為直觀圖后的幾何體是四棱錐VABCD(如圖所示)，滿足VA平面ABCD；根據(jù)題目中給出的方格長度，可以求得四棱錐VABCD的底面是邊長為2的正方形，且四棱錐的高為2，所以這個多面體最長的一條棱VC的長為 .,第36講 規(guī)律總結(jié),1幾類特殊的多面體及它們之間的關(guān)系,第36講 規(guī)律總結(jié),2柱體(圓柱與棱柱)、臺體(圓臺與棱臺)、錐體(圓錐與棱錐)的聯(lián)系 3由幾何體的三視圖判斷原物體的形狀 由幾何體

19、的三視圖來判斷原物體的形狀時的一般規(guī)律為：“長對正，高平齊，寬相等”，由此可見，正視圖和側(cè)視圖的形狀確定原幾何體為柱體、錐體還是臺體；俯視圖確定原幾何體為多面體還是旋轉(zhuǎn)體,第36講 規(guī)律總結(jié),4用斜二側(cè)畫法畫立體圖形的直觀圖 用斜二測畫法畫立體圖形的直觀圖的步驟是：一畫軸，二畫底，三畫高，四成圖；其中，關(guān)鍵是要根據(jù)圖形的特點選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，盡量把頂點或其他關(guān)鍵點放在軸上或與軸平行的直線上，這樣可以簡化作圖步驟，對于圖形中平行于y軸的線段畫直觀圖時要畫成原來長度的一半，對于圖形中與x軸、y軸和z軸都不平行的線段，可通過確定端點的辦法來解決,第37講 空間幾何體的表面積和體積,第37講空間幾何體

20、的表面積 和體積,第37講 知識梳理,1柱體、錐體、臺體的表面積 (1)多面體的表面積 我們可以把多面體展成_，利用_求面積的方法，求多面體的表面積； 棱柱、棱錐、棱臺是由多個平面圖形圍成的多面體，它們的側(cè)面積就是各_之和，表面積是_之和，即_與_之和,平面圖形,平面圖形,側(cè)面面積,各個面的面積,側(cè)面積,底面積,第37講 知識梳理,(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積公式,2rl,2r22rl,2r(rl),rl,r2rl,r(rl),第37講 知識梳理,(rr)l,(r2r2rlrl),4R2,第37講 知識梳理,2.柱體、錐體、臺體的體積 (1)設(shè)棱(圓)柱的底面積為S，高為h，則體積V_； (2)設(shè)棱(

21、圓)錐的底面積為S，高為h，則體積V_； (3)設(shè)棱(圓)臺的上、下底面積分別為S、S，高為h，則體積V_； (4)設(shè)球半徑為R，則球的體積V_. 注：對于一些不規(guī)則幾何體，常用割補的方法，轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體求體積,Sh,第37講 要點探究,探究點一空間幾何體的表面積和體積的計算,例1 (1)2010安徽卷 一個幾何體的三視圖如圖371所示，該幾何體的表面積是() A372 B360 C292 D280,第37講 要點探究,(2) 一個容器的外形是一個棱長為2的正方體，其三視圖如圖372所示，則容器的容積為(),第37講 要點探究,例1（1）思路解題的切入點是把三視圖還原為直觀圖，把三

22、視圖中的條件轉(zhuǎn)化為直觀圖的條件，根據(jù)各面的特征分別求面積，再求表面積 B解析 由三視圖可知，該幾何體是由兩個長方體構(gòu)成的組合體，上面的長方體的長為6、寬為2、高為8；下面的長方體的長為10、寬為8、高2，所以該幾何體的表面積等于下面長方體的全面積與上面長方體的4個側(cè)面積之和，即 S(10810282)2(8682)2360，故選B.,第37講 要點探究,(2)思路 由三視圖判斷容器的形狀是一個倒置的圓錐，根據(jù)三視圖的條件可以確定容器的半徑與高，代入體積公式求解 A 解析 由三視圖可知，幾何體為正方體內(nèi)倒置的圓錐(如圖)，軸截面是等腰三角形，其底面的半徑為1，高為2，故容器的體積為,第37講 要

23、點探究,點評 在以三視圖為載體的試題中融入簡單幾何體的表面積與體積是高考新課標(biāo)卷的熱點題型，解題的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀，以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用表面積公式求解；另外，組合體的表面積的重合部分容易產(chǎn)生重復(fù)計算的錯誤下面變式題是旋轉(zhuǎn)體的表面積的計算問題：,第37講 要點探究,如圖373所示，已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，求這個球的表面積,變式題1,第37講 要點探究,變式題1,思路 (1)有關(guān)球的計算的關(guān)鍵是求出半徑，球外接于正四棱柱，正四棱柱的頂點在球面上，正四棱柱的對角線長等于球的直徑 解答 (1)設(shè)正四棱柱的底邊長為a， 則VSha2ha2

24、416， a2. 如圖，正四棱柱ABCDA1B1C1D1的頂點都在球面上，過相對的側(cè)棱AA1、CC1及球心O作截面，對角線AC1就是球的直徑，設(shè)球的半徑為R，則,第37講 要點探究,已知某幾何體的俯視圖是如圖374所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形 (1)求該幾何體的體積V； (2)求該幾何體的側(cè)面積S.,變式題2,第37講 要點探究,變式題2,解答 由已知三視圖的條件可得，幾何體是一個高為4的四棱錐，其底面是長、寬分別為8和6的矩形，正側(cè)面及相對側(cè)面均為底邊長為8，高為h1的等腰三角形，左右側(cè)面均為底

25、邊長為6、高為h2的等腰三角形(如圖四棱錐PABCD所示),探究點二空間幾何體中的最值問題,第37講 要點探究,例2 2010全國卷,第37講 要點探究,第37講 要點探究,第37講 要點探究,第37講 要點探究,第37講 要點探究,變式題,2011寶山調(diào)研 如圖375，已知正四棱錐PABCD的全面積為2，記正四棱錐的高為h. 試用h表示底面邊長，并求正四棱錐體積V的最大值,第37講 要點探究,變式題,第37講 要點探究,探究點三 展開與折疊問題,第37講 要點探究,例3 如圖376所示，已知圓錐SO中，底面半徑r1，母線長l4，M為母線SA上的一個點，且SMx，從點M拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面

26、轉(zhuǎn)到點A，求： (1)繩子的最短長度的平方f(x)； (2)繩子最短時，頂點到繩子的最短距離,第37講 要點探究,第37講 要點探究,第37講 要點探究,變式題,2010福州模擬 如圖377所示，在等腰梯形ABCD中，AB2DC2，DAB60，E為AB的中點，將ADE與BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點A，則三棱錐ADCE的外接球的體積為(),第37講 要點探究,變式題,第37講 規(guī)律總結(jié),1柱、錐、臺體的側(cè)面積和表面積都是利用展開圖得到的，必須熟悉其側(cè)面展開圖的形狀,第37講 規(guī)律總結(jié),第37講 規(guī)律總結(jié),第37講 規(guī)律總結(jié),第38講 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系,第38講

27、空間點、直線、平面之間 的位置關(guān)系,第38講 知識梳理,1平面的概念及其表示 (1)平面的概念 幾何里所說的“平面”就是從一些物體(課桌面、海平面等)抽象出來的，平面有兩個特征：_，即平面是無邊界且無限延展的；_，即平面是無厚薄、無大小、無數(shù)個平面重疊在一起，仍然是一個平面，平面是無所謂面積的 一個平面把空間分成兩部分，一條直線把平面分成兩部分,無限延展,平的(沒有厚度),第38講 知識梳理,(2)平面的表示法 通常畫_表示平面(如圖381)，平面可用小寫希臘字母表示，如_、平面；或用表示平行四邊形的頂點的大寫英文字母表示，如_、_.,平行四邊形,平面,平面AC,平面ABCD,第38講 知識梳

28、理,兩點,2平面的基本性質(zhì),不在,三點,第38講 知識梳理,不重合,一個,第38講 知識梳理,注：公理2有以下三個推論,一條直線和直線外一點,相交直線,平行直線,第38講 知識梳理,3.空間直線與直線的位置關(guān)系,一個,沒有,任何一個,沒有,第38講 知識梳理,4.平行直線 (1)公理4(平行公理)：平行于同一條直線的_ 用符號表示為：ab，bcac. 由公理4可知，空間平行線具有_公理4的結(jié)論與平面幾何中的相關(guān)結(jié)論相同，是平面幾何中結(jié)論的推廣，是判定空間兩條直線_的依據(jù) (2)等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角_ 5.異面直線 (1)定義： _的兩條直線叫做異面直線,兩

29、條直線互相平行,傳遞性,平行,相等或互補,不同在任何一個平面內(nèi),第38講 知識梳理,(2)性質(zhì)：兩條異面直線既不_也不_ (3)異面直線所成的角 已知異面直線a、b，在空間任取一點O，過O作_ _，則a與b所成的_(或_)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角) 異面直線所成的角的范圍：_. 如果兩條異面直線所成的角是直角，則稱這兩條異面直線_兩條互相垂直的異面直線a、b，記作_.,相交,平行,aa，,銳角,直角,互相垂直,ab,bb,第38講 要點探究,探究點一空間點、線、面位置關(guān)系的判定,例1 如圖382，正方體ABCDA1B1C1D1中，判斷下列命題是否正確，并請說明理由 (1)直線AC1在

30、平面CC1B1B內(nèi)； (2)設(shè)正方形ABCD與A1B1C1D1的中心分 別為O、O1，則平面AA1C1C與平面BB1D1D 的交線為OO1； (3)由點A、O、C可以確定一個平面； (4)由A、C1、B1確定的平面是ADC1B1； (5)若直線l是平面AC內(nèi)的直線，直線m是平面D1C內(nèi)的直線，若l與m相交，則交點一定在直線CD上,第38講 要點探究,例1 思路 利用平面的基本性質(zhì)進行判斷 解答 (1)錯誤若AC1平面CC1B1B，又BC平面CC1B1B， 則A平面CC1B1B，且B平面CC1B1B， AB平面CC1B1B，與AB平面CC1B1B矛盾； (2)正確因為O、O1是兩平面的兩個公共點

31、，所以平面AA1C1C與平面BB1D1D的交線為OO1； (3)錯誤因為A、O、C三點共線； (4)正確因為A、C1、B1不共線，A、C1、B1三點確定一個平面，,第38講 要點探究,點評平面的基本性質(zhì)是判斷線面關(guān)系的依據(jù)，在判斷過程中可適當(dāng)利用圖形以及構(gòu)造特例，如下面的變式,又AB1C1D為平行四邊形，AC1、B1D相交于O2點，而O2，B1， B1O2，而DB1O2，D； (5)正確若l與m相交，則交點是兩平面的公共點，而直線CD為兩平面的交線，所以交點一定在直線CD上,第38講 要點探究,變式題,下列命題： 空間中不同的三點確定一個平面；有三個公共點的兩個平面必重合；空間兩兩相交的三條直

32、線確定一個平面；三角形是平面圖形；平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形；兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形 其中正確的命題是_,思路本題可根據(jù)平面的基本性質(zhì)進行判斷，要注意條件的嚴(yán)密性，可通過舉反例來判斷命題的真假可利用公理直接作出判斷，注意與平面幾何的區(qū)別 解析 由公理2知，不共線的三點才能確定一個平面，所以知命題均錯，中有可能出現(xiàn)兩平面只有一條公共線,變式題,第38講 要點探究,(當(dāng)這三個公共點共線時)空間兩兩相交的三條直線有三個交點或一個交點，若為三個交點，則這三線共面；若只有一個交點，則可能確定一個平面或三個平面中平行四邊形及梯形由公理2可得必為平面圖形，而四邊形有可能是空間四邊形，如圖

33、所示. 如圖四邊形ADBC中，ADDBBCCA，但它不是平行四邊形，所以也錯. 正確的命題只有.,第38講 要點探究,探究點二三點共線與三線共點問題,例2 如圖383所示，E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上的點，且EH與FG相交于點O.求證：B、D、O三點共線,第38講 要點探究,例 2思路 要證明B、D、O三點共線，可用公理3證明這三點是平面ABD與平面BCD的公共點，則這三點都在這兩個平面的交線上 解答 EAB，HAD， E平面ABD，H平面ABD，EH平面ABD. EHFGO，O平面ABD， 同理可證O平面BCD， O平面ABD平面BCD，即OBD， 所以

34、B、D、O三點共線,第38講 要點探究,點評 證明點共線的依據(jù)是公理3，其方法是找出這些點所在的兩個平面，說明各個點都是這兩個平面的公共點，則這些點必在這兩個平面的交線上；另外，證明三線共點的依據(jù)也是公理3，可證明其中兩直線的交點在第三條直線上，把問題歸結(jié)為證明點在直線上的問題，而第三條直線是經(jīng)過這兩條直線的兩平面的交線，兩個平面的公共點必在這兩個平面的交線上下面變式題就是三線共點的問題：,第38講 要點探究,變式題,兩個不全等的三角形ABC、A1B1C1不在同一平面內(nèi)，如圖384所示，A1B1AB，B1C1BC，C1A1CA，求證：AA1、BB1、CC1交于一點,第38講 要點探究,思路 先

35、證明兩直線的交點在兩平面的交線上，而第三條直線恰好是兩個相交平面的交線 解答 因為A1B1AB，所以A1B1與AB確定平面， 因為B1C1BC，所以B1C1與BC確定平面， 因為C1A1CA，所以C1A1與CA確定平面， 又ABC與A1B1C1不全等，所以有兩條對應(yīng)邊不相等， 設(shè)ABA1B1， 由于AA1，BB1，則AA1與BB1必相交于P點， 因為BB1，所以P；因為AA1，所以P， 于是P在、的交線上，又CC1，即PCC1， 所以C、C1、P三點共線， 因此，AA1、BB1、CC1交于一點P.,變式題,第38講 要點探究,探究點三 點線共面問題,第38講 要點探究,第38講 要點探究,第3

36、8講 要點探究,第38講 要點探究,探究點四 異面直線所成的角,例4 2010全國卷 如圖386所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于() A.30 B.45 C.60 D.90,第38講 要點探究,第38講 要點探究,第38講 要點探究,高考命題者說 【考查目標(biāo)】 本題考查直三棱柱的概念、異面直線所成角的概念和求解方法，綜合考查考生的空間想象能力和運算求解能力 【命制過程】 本題以直三棱柱為載體，既面向全體考生，又為考生提供多個解決問題的切入點 【解題思路】 思路1如圖(1)，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)AB1，則有,第38講 要點探究

37、,第38講 要點探究,思路2如圖(2)所示，將直三棱柱ABCA1B1C1嵌入正方體中，則AC1E60為異面直線BA1與AC1所成的角 【試題評價】 試題以直三棱柱為載體，面向全體考生，突出對異面直線所成角的概念的理解，為多種求解方法的使用提供了操作平臺，使考生靈活運用數(shù)學(xué)知識和方法解決實際問題的能力得到體現(xiàn) (引自高等教育出版社2011年大綱版的高考文科試題分析第95頁第6題),第38講 要點探究,變式題,2010湖南卷 如圖387所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M是棱CC1的中點求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值,第38講 要點探究,變式題,第38講

38、規(guī)律總結(jié),1公理的作用 公理1的作用是判斷直線是否在某個平面內(nèi)；公理2及其3個推論給出了確定一個平面或判斷“直線共面”的方法；公理3的作用是如何尋找兩相交平面的交線以及證明“線共點”的理論依據(jù) 2證明三點共線及三線共點的方法 證三點共線及三線共點，都要轉(zhuǎn)化為證明點在直線上，而要證明點在直線上，可分別證點在兩個平面內(nèi)，從而在兩個平面的交線上,第38講 規(guī)律總結(jié),3證明點線共面的常用方法 (1)納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi)；(2)輔助平面法：先證明有關(guān)的點、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面、重合 4求兩條異面直線所成的角的大小，一般方法是通過平行移動直線，

39、把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決其關(guān)鍵是將其中一條直線平移到某個位置使其與另一條直線相交，或?qū)蓷l直線同時平移到某個位置，使其相交平移直線的方法有：直接平移；中位線平移,第39講 空間中的平行關(guān)系,第39講空間中的平行關(guān)系,第39講 知識梳理,1空間中直線和平面的位置關(guān)系,a,無數(shù)個,a,沒有,aA,a,一個,第39講 知識梳理,2空間中兩個平面的位置關(guān)系,沒有,l,a,直線,第39講 知識梳理,3直線與平面平行的判定與性質(zhì),沒有共共點,一條直線與此平面,內(nèi)的一條直線,交線,平行,第39講 知識梳理,4平面與平面平行的判定與性質(zhì),相交直線,相交直線,同一條直線,第39講 知識梳理,平行,交線,第

40、39講 要點探究,探究點一平行的判定,例1 2010福州質(zhì)檢 已知三棱柱ABCA1B1C1中，M、N分別是A1B1和BC的中點，連接MN，AM，AN. 求證：MN平面ACC1A1.,第39講 要點探究,第39講 要點探究,第39講 要點探究,第39講 要點探究,變式題,2010陜西卷 如圖392所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB，BPBC2，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點 (1)求證：EF平面PAD； (2)求三棱錐EABC的體積V.,第39講 要點探究,變式題,第39講 要點探究,第39講 要點探究,例2 如圖393所示，正三棱柱ABCA1B1C1中，E

41、、F、G、H分別是AB、AC、A1C1、A1B1的中點 求證：平面A1EF平面BCGH.,第39講 要點探究,第39講 要點探究,探究點二 平行的性質(zhì),第39講 要點探究,第39講 要點探究,第39講 要點探究,探究點三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用,例4 三如圖395所示，已知點P是三角形ABC所在平面外一點，且PABC1，截面EFGH分別平行于PA、BC(點E、F、G、H分別在棱AB、AC、PC、PB上) (1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形且周長為定值； (2)設(shè)PA與BC所成的角為，求四邊形EFGH的面積的最大值,第39講 要點探究,第39講 要點探究,第39講 規(guī)律總結(jié),1運用直線與平面平行的

42、判定定理的關(guān)鍵是尋找該平面內(nèi)的平行直線，證兩直線平行是平面幾何的問題，體現(xiàn)了空間問題平面化的思想；判定直線與平面平行有以下方法：一是判定定理，二是線面平行定義，三是面面平行的性質(zhì)定理 2要能夠靈活地作出輔助線或輔助平面來解題應(yīng)注意輔助線或輔助平面不能隨意添加，必須以某一性質(zhì)或定理為依據(jù)，并關(guān)注輔助線或輔助平面的自身性質(zhì)特點,第39講 規(guī)律總結(jié),3運用判定定理證明平面與平面平行時，兩直線是相交直線這一條件是關(guān)鍵，缺少這一條件則定理不一定成立；證明面與面平行常轉(zhuǎn)化為證明線面平行，而證線面平行又轉(zhuǎn)化為證線線平行，逐步由空間轉(zhuǎn)化到平面 4平面與平面的平行也具有傳遞性 5平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化,第40講 空

43、間中的垂直關(guān)系,第40講空間中的垂直關(guān)系,1直線與直線垂直 定義:兩條直線所成的角為_，則稱兩直線垂直，包括兩類:_垂直與_垂直 2直線與平面垂直 (1)定義:如果直線l和平面內(nèi)的_都垂直，就稱直線l和平面互相垂直，記作l.直線l叫做平面的_，平面叫做直線l的_,異面,相交,90,任意一條直線,垂線,垂面,第40講 知識梳理,第40講 知識梳理,(2)直線與平面垂直的判定與性質(zhì),兩條相交直線,一條,另一條直線,任意一條直線,平面,第40講 知識梳理,3直線與平面所成的角 (1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的_所成的_，叫做這條直線和這個平面所成的角如圖401所示，PAO就是斜線PA和平面所

44、成的角,(2)一條直線垂直于平面，則它們所成的角是_；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是_的角 直線和平面所成的角的范圍是_,射影,銳角,直角,0,圖401,第40講 知識梳理,4二面角 定義：從一條直線出發(fā)的兩個_所組成的圖形叫做二面角這條直線叫做二面角的_，這兩個半平面叫做二面角的_ 如圖402所示，在二面角l的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面和內(nèi)分別作_于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的AOB叫做_,半平面,棱,面,垂直,二面角l的平面角,圖402,二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的取值范圍是_，平面角是直角的二面角叫做_,0，,直二面角,5兩個

45、平面垂直 (1)定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是_，就說這兩個平面互相垂直,直二面角,第40講 知識梳理,(2)兩個平面垂直的判定和性質(zhì),直二面角,垂線,二面角的平面角,交線,另一個平面,AOB90,AOB90,第40講 知識梳理,探究點一垂直關(guān)系的判定,第40講 要點探究,例1 如圖403所示RtABC所在平面外一點S，且SASBSC，D為斜邊AC的中點 (1)求證：SD平面ABC； (2)若ABBC，求證：BD平面SAC.,圖403,第40講 要點探究,例1思路 證明線面垂直，根據(jù)判定定理可轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，考慮題中等腰三角形的條件，可由底邊上的中線和三角形中位線得到,第40講

46、 要點探究,解答 (1)取AB中點E，連接SE，DE. 在RtABC中，D、E分別為AC、AB的中點， 故DEBC，且DEAB， SASB， SAB為等腰三角形， SEAB. DEAB，SEDEE， AB面SDE. 而SD面SDE， ABSD. 在SAC中，SASC， D為AC的中點， SDAC. 又 SDAB，ACABA， SD平面ABC. (2)若ABBC，則BDAC. 由(1)可知SD面ABC，而BD面ABC， SDBD. SDACD， BD平面SAC.,2010北京卷 如圖404所示，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直EFAC，AB ，CEEF1. (1)求證：AF平面B

47、DE； (2)求證：CF平面BDE.,第40講 要點探究,變式題,圖404,第40講 要點探究,思路 (1)要證明AF平面BDE，只需構(gòu)造平行四邊形，證明AF與平面BDE的一條直線平行；(2)證明CF平面BDE，可利用菱形的對角線垂直，以及由面面垂直轉(zhuǎn)化線面垂直，又線線垂直，得到CF與平面BDE的兩條相交直線垂直,變式題,解答 (1)設(shè)AC與BD交于點G. 因為EFAG，且EF1，AG AC1. 所以四邊形AGEF為平行四邊形 所以AFEG. 因為EG平面BDE，AF平面BDE， 所以AF平面BDE. (2)連接FG. 因為EFCG，EFCG1，且CE1，所以四邊形CEFG為菱形， 所以CFE

48、G. 因為四邊形ABCD為正方形，所以BDAC. 又因為平面ACEF平面ABCD， 且平面ACEF平面ABCDAC， 所以BD平面ACEF. 所以CFBD. 又BDEGG，所以CF平面BDE.,第40講 要點探究,例2 2010課標(biāo)全國卷 如圖405所示，已知四棱錐PABCD的底面為等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足為H，PH是四棱錐的高 (1)求證：平面PAC平面PBD； (2)若AB ，APBADB60，求四棱錐PABCD的體積,圖405,第40講 要點探究,第40講 要點探究,2010山東卷 在如圖406所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E、G、F分別為

49、MB、PB、PC的中點，且ADPD2MA. (1)求證：平面EFG平面PDC； (2)求三棱錐PMAB與四棱錐PABCD的體積之比,變式題,圖406,第40講 要點探究,思路 (1)利用線面垂直，得BCPD，從而把證明平面EFG平面PDC，轉(zhuǎn)化為證明BC平面PDC即可(2)通過APPD2MA和正方形ABCD的性質(zhì)找出題中線段之間關(guān)系并分別求出三棱錐PMAB與四棱錐PABCD的體積，最后求比值,第40講 要點探究,變式題,第40講 要點探究,探究點二垂直關(guān)系的性質(zhì),例3 2010江蘇卷 如圖407所示，四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，PDDCBC1，AB2，ABDC，BCD90. (1)求

50、證：PCBC； (2)求點A到平面PBC的距離,圖407,第40講 要點探究,第40講 要點探究,2009福建卷 如圖408所示，平行四邊形ABCD中，DAB60，AB2，AD4，將CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EDB平面ABD. (1)求證：ABDE； (2)求三棱錐EABD的側(cè)面積,變式題,圖408,第40講 要點探究,第40講 要點探究,變式題,第40講 要點探究,探究點三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用,例4 2010陜西卷如圖409所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2 ，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點 (1)求證：PC平面BEF； (2)求平面

51、BEF與平面BAP夾角的大小,圖409,第40講 要點探究,第40講 要點探究,2010溫州模擬 如圖4010所示，直角BCD所在的平面垂直于正三角形ABC所在的平面，PA平面ABC，DCBC2PA，E、F分別為DB、CB的中點 (1)求證：AEBC； (2)求直線PF與平面BCD所成的角,變式題,圖4010,第40講 要點探究,第40講 要點探究,變式題,第40講 要點探究,第40講 規(guī)律總結(jié),1兩直線垂直包括相交垂直和異面垂直兩種情況，而后者常被人忽略；線面垂直是線面相交的一種特殊情形，面面垂直是面面相交的一種特殊情形，而這兩類垂直常被誤以為是線面(或面面)位置關(guān)系中的一種 2線面垂直判定

52、定理可以簡單地記為“線線垂直線面垂直”，是證明線面垂直的常用方法，證明線面垂直的方法有：線面垂直的定義；線面垂直的判定定理；兩條互相平行的直線的性質(zhì),第40講 規(guī)律總結(jié),3證明兩個平面垂直，首先要考慮直線與平面的垂直，也可簡單地記為“證面面垂直，找線面垂直”，是化歸思想的體現(xiàn)，這種思想方法，與空間中的平行關(guān)系的證明非常類似，這種轉(zhuǎn)化方法是本講內(nèi)容的顯著特征，掌握化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法是解決這類問題的關(guān)鍵 4空間垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化這也是立體幾何中證明垂直關(guān)系常用的思路，三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化可結(jié)合下圖記憶,第41講 空間向量及運算,第41講空間向量及運算,第41講 知識梳理,兩兩垂直,1空間直角坐標(biāo)系

53、及有關(guān)概念 (1)如圖411, OABCD1A1B1C1是單位正方體，以O(shè)為原點，分別以O(shè)A，OC，OD1的長為單位長度，建立三條_的數(shù)軸：x軸，y軸，z軸，則稱建立了空間直角坐標(biāo)系Oxyz，其中點O叫做_，x軸，y軸，z軸叫做_，通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做_,坐標(biāo)原點,坐標(biāo)軸,坐標(biāo)平面,(2)空間一點M在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)表示，記作M(x，y，z)，其中x叫做點M的_，y叫做點M的_，z叫做點M的_,橫坐標(biāo),縱坐標(biāo),豎坐標(biāo),第41講 知識梳理,2空間向量的概念及運算 空間向量的概念及運算同平面向量基本相同加減運算遵循_，數(shù)乘運算和數(shù)量積運算與平面向量的數(shù)乘運

54、算和數(shù)量積運算相同；坐標(biāo)運算與平面向量的坐標(biāo)運算類似，僅多出了一個豎坐標(biāo) 3空間向量的數(shù)量積及運算律 (1)定義 已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作a，b，則AOB叫做向量a，b的夾角，記作_ 已知兩個非零向量a，b，則|a|b|cosa，b叫做a，b的_，記作ab.即_|a|b|cosa，b,三角形法則或平行四邊形法則,數(shù)量積,ab,第41講 知識梳理,p=xa+yb+zc,基底,基向量,第41講 知識梳理,(2)空間向量的正交分解 如果i，j，k是空間三個兩兩垂直的向量，那么，對空間任一向量p，存在一個有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得pxiyjzk.我們稱xi，yj，zk為向量p在i，

55、j，k上的_ (3)空間向量的坐標(biāo) 設(shè)e1，e2，e3為有公共起點O的三個兩兩垂直的單位向量(我們稱它們?yōu)閱挝徽换?，對于空間任一向量p，存在有序數(shù)組x，y，z，使得pxe1ye2ze3.我們把x，y，z稱作向量p在單位正交基底e1，e2，e3下的坐標(biāo)，記作_此時向量p的坐標(biāo)恰是點P在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)_,分向量,p=(x,y,z),(x,y,z),第41講 知識梳理,5空間向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用 (1)空間向量運算的坐標(biāo)表示 設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)， 則ab(a1b1，a2b2，a3b3)， ab(a1b1，a2b2，a3b3)， a(a1，a2，a3

56、)， aba1b1a2b2a3b3. (2)重要結(jié)論 ababa1b1，a2b2，a3b3(R，b0)；,第41講 知識梳理,第41講 知識梳理,探究點一空間向量的線性運算,第41講 要點探究,圖412,第41講 要點探究,第41講 要點探究,點評 本題要解決的是空間問題，但所用的則是平面向量的知識，將空間問題分解為幾個平面問題，并在各個平面內(nèi)分別使用平面向量知識，綜合起來達到解決問題的目的，這是用向量知識解決空間問題的基本思路之一另外，注意到用一組基向量表示空間向量的唯一性，可利用其確定未知參數(shù)，如下面的變式題：,第41講 要點探究,變式題,第41講 要點探究,圖413,第41講 要點探究,第41講 要點探究,變式題,第41講 要點探究,探究點二空間直角坐標(biāo)系的建立,例2 已知直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA12，M為BC1的中點，N為A1B1的中點，求|MN|.,第41講 要點探究,第41講