2010-2018全國卷分類匯編(函數(shù)解答題)

1、2010-2018新課標全國卷分類匯編（函數(shù)解答題）（2018課標全國 21）（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調性；（2）若存在兩個極值點，證明：解：（1）由已知，得令， 當，即時，則函數(shù)在上單調遞增. 當，即時，令，（i）當時，則當時，則函數(shù)在上單調遞增.（ii）當時，則當時，則，單調遞減；當時，則，單調遞增.綜上所述，當時，函數(shù)在上單調遞增；當時，函數(shù)在，上單調遞減，在上單調遞增.（2）法一：由（1）知，存在兩個極值點當且僅當?shù)膬蓚€極值點，滿足，不妨設，則令由（1）知，在上單調遞減，即原命題得證，即.法二：由（1）知，存在兩個極值點當且僅當?shù)膬蓚€極值點，滿足，不妨設，則令，則令則在上單調遞

2、減，則.原命題得證，即.（2018課標全國理21）（12分）已知函數(shù)（1）若，證明：當時，；（2）若在只有一個零點，求21解：（1）當時，等價于設函數(shù)，則當時，所以在單調遞減而，故當時，即（2）設函數(shù)在只有一個零點當且僅當在只有一個零點（i）當時，沒有零點；（ii）當時，當時，；當時，所以在單調遞減，在單調遞增故是在的最小值若，即，在沒有零點；若，即，在只有一個零點；若，即，由于，所以在有一個零點，由（1）知，當時，所以故在有一個零點，因此在有兩個零點綜上，在只有一個零點時，（2018課標全國理21）（12分）已知函數(shù)（1）若，證明：當時，；當時，；（2）若是的極大值點，求解：（1）當時，設函

3、數(shù)，則當時，；當時，故當時，且僅當時，從而，且僅當時，所以在單調遞增 又，故當時，；當時，（2）（i）若，由（1）知，當時，這與是的極大值點矛盾（ii）若，設函數(shù)由于當時，故與符號相同又，故是的極大值點當且僅當是的極大值點如果，則當，且時，故不是的極大值點如果，則存在根，故當，且時，所以不是的極大值點如果，則則當時，；當時，所以是的極大值點，從而是的極大值點綜上，（2017課標全國21）（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍【解析】 （1）由于故當時，從而恒成立在上單調遞減當時，令，從而，得單調減極小值單調增 綜上，當時，在上單調遞減； 當時，在上單調遞減，在上

4、單調遞增（2）由（1）知，當時，在上單調減，故在上至多一個零點，不滿足條件當時，令令，則從而在上單調增，而故當時，當時當時若，則，故恒成立，從而無零點，不滿足條件若，則，故僅有一個實根，不滿足條件若，則，注意到故在上有一個實根，而又且故在上有一個實根又在上單調減，在單調增，故在上至多兩個實根又在及上均至少有一個實數(shù)根，故在上恰有兩個實根綜上，（2017課標全國理21）（12分）已知函數(shù)，且（1）求；（2）證明：存在唯一的極大值點，且【答案】（1）；（2）證明見解析（2）由（1）知 ，設，則當 時， ；當 時，所以在上單調遞減，在上單調遞增又，所以在有唯一零點，在有唯一零點1，且當時，；當時，當

5、時，因為，所以是的唯一極大值點由得，故由得因為是在（0，1）的最大值點，由，得所以【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、利用導數(shù)研究函數(shù)的極值【名師點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數(shù)的應用的考查都非常突出導數(shù)專題在高考中的命題方向及命題角度：從高考來看，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；（2）利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性求參數(shù)；（3）利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題；（4）考查數(shù)形結合思想的應用（2017課標全國理21）

6、（12分）已知函數(shù)（1）若，求的值；（2）設為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)，求的最小值【解析】 ，則，且當時，在上單調增，所以時，不滿足題意；當時，當時，則在上單調遞減；當時，則在上單調遞增若，在上單調遞增當時矛盾若，在上單調遞減當時矛盾若，在上單調遞減，在上單調遞增滿足題意綜上所述 當時即則有當且僅當時等號成立，一方面：，即另一方面：當時，的最小值為（2016課標全國，理21）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)有兩個零點（）求的取值范圍；（）設是的兩個零點，證明：【解析】：由已知得：若，那么，只有唯一的零點，不合題意；若，那么，所以當時，單調遞增;當時，單調遞減;即：極小值故在上至多一個零點，在上至多

7、一個零點由于，則，根據零點存在性定理，在上有且僅有一個零點而當時，故則的兩根， ，因為，故當或時，因此，當且時，又，根據零點存在性定理，在有且只有一個零點此時，在上有且只有兩個零點，滿足題意若，則，當時，即，單調遞增；當時，即，單調遞減；當時，即，單調遞增即：+0-0+極大值極小值而極大值故當時，在處取到最大值，那么恒成立，即無解而當時，單調遞增，至多一個零點此時在上至多一個零點，不合題意若，那么當時，即，單調遞增當時，即，單調遞增又在處有意義，故在上單調遞增，此時至多一個零點，不合題意若，則當時，即，單調遞增當時，即，單調遞減當時，即，單調遞增即：+0-0+極大值極小值故當時，在處取到最大值

8、，那么恒成立，即無解當時，單調遞增，至多一個零點,此時在上至多一個零點，不合題意綜上所述，當且僅當時符合題意，即的取值范圍為由已知得：，不難發(fā)現(xiàn)，故可整理得：, ，則，當時，單調遞減；當時，單調遞增設，構造代數(shù)式：設，,則，故單調遞增，有因此，對于任意的，由可知、不可能在的同一個單調區(qū)間上，不妨設，則必有令，則有而，在上單調遞增，因此：整理得：（2016課標全國，理21）（本小題滿分12分）()討論函數(shù)的單調性，并證明當時，；()證明：當時，函數(shù)有最小值.設的最小值為，求函數(shù)的值域【解析】試題分析：（）先求定義域，用導數(shù)法求函數(shù)的單調性，當時，證明結論；（）用導數(shù)法求函數(shù)的最值，在構造新函數(shù)，

9、又用導數(shù)法求解.試題解析：（）的定義域為.且僅當時，所以在單調遞增，因此當時，所以（II）由（I）知，單調遞增，對任意因此，存在唯一使得即，當時，單調遞減；當時，單調遞增.因此在處取得最小值，最小值為于是，由單調遞增所以，由得因為單調遞增，對任意存在唯一的使得所以的值域是綜上，當時，有，的值域是考點： 函數(shù)的單調性、極值與最值.（2016課標全國，理21)（本小題滿分12分）設函數(shù)，其中，記的最大值為（）求；（）求；（）證明試題解析：（）（）當時，因此， 4分當時，將變形為令，則是在上的最大值，且當時，取得極小值，極小值為令，解得（舍去），（）當時，在內無極值點，所以（）由（）得.當時，.當時

10、，所以.當時，所以.考點：1、三角恒等變換；2、導數(shù)的計算；3、三角函數(shù)的有界性【歸納總結】求三角函數(shù)的最值通常分為兩步：（1）利用兩角和與差的三角公式、二倍角公式、誘導公式將解析式化為形如的形式；（2）結合自變量的取值范圍，結合正弦曲線與余弦曲線進行求解(2015課標全國，理21)（本小題滿分12分）已知函數(shù)f（x）= ()當a為何值時，x軸為曲線 的切線；（）用 表示m,n中的最小值，設函數(shù) ，討論h（x）零點的個數(shù)試題解析：（）設曲線與軸相切于點，則，即，解得.因此，當時，軸是曲線的切線. 5分（）當時，從而， 在（1，+）無零點. 當=1時，若，則，,故=1是的零點；若，則，,故=1不

11、是的零點.當時，所以只需考慮在（0,1）的零點個數(shù).()若或，則在（0,1）無零點，故在（0,1）單調，而，所以當時，在（0，1）有一個零點；當0時，在（0，1）無零點. ()若，則在（0，）單調遞減，在（，1）單調遞增，故當=時，取的最小值，最小值為=.學優(yōu)高考網 若0，即0，在（0,1）無零點. 若=0，即，則在（0,1）有唯一零點； 若0，即，由于，所以當時，在（0,1）有兩個零點；當時，在（0,1）有一個零點.10分綜上，當或時，由一個零點；當或時，有兩個零點；當時，有三個零點. 12分(2015課標全國，理21)設函數(shù)f(x)emx+x2mx.(1)證明：f(x)在(，0)單調遞減，

12、在(0，+)單調遞增;(2)若對于任意x1，x21，1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范圍.解：(1)f(x)m(emx1)+2x.若m0，則當x(，0)時，emx10，f(x)0;當x(0，+)時，emx10，f(x)0.若m0，則當x(，0)時，emx10，f(x)0;當x(0，+)時，emx10，f(x)0.所以，f(x)在(，0)單調遞減，在(0，+)單調遞增.(2)由(1)知，對任意的m，f(x)在1，0單調遞減，在0，1單調遞增，故f(x)在x0處取得最小值.所以對于任意x1，x21，1，|f(x1)f(x2)|e1的充要條件是f(1)-f(0)e-1，f(-1)-f

13、(0)e-1，即em-me-1，e-m+me-1.設函數(shù)g(t)ette+1，則g(t)et1.當t0時，g(t)0;當t0時，g(t)0.故g(t)在(，0)單調遞減，在(0，+)單調遞增.又g(1)0，g(1)e1+2e0，故當t1，1時，g(t)0.當m1，1時，g(m)0，g(m)0，即式成立;當m1時，由g(t)的單調性，g(m)0，即emme1;當m1時，g(m)0，即em+me1.綜上，m的取值范圍是1，1.(2014課標全國，理21)設函數(shù)，曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為ye(x1)2.(1)求a，b；(2)證明：f(x)1.分析：(1)由已知可得f(1)e(1

14、1)22，切線斜率kef(1)，由此可求出a，b.(2)由(1)可求f(x)，結合不等式的特點將之轉化為g(x)h(x)的形式，通過比較g(x)的最小值與h(x)的最大值進行證明解：(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，.由題意可得f(1)2，f(1)e.故a1，b2.(2)由(1)知，從而f(x)1等價于.設函數(shù)g(x)xln x，則g(x)1ln x.所以當時，g(x)0；當時，g(x)0.故g(x)在單調遞減，在單調遞增，從而g(x)在(0，)的最小值為.設函數(shù)，則h(x)ex(1x)所以當x(0,1)時，h(x)0；當x(1，)時，h(x)0.故h(x)在(0,1)單調遞增，在(1，)

15、單調遞減，從而h(x)在(0，)的最大值為.綜上，當x0時，g(x)h(x)，即f(x)1.(2014課標全國，理21)已知函數(shù)f(x)exex2x.(1)討論f(x)的單調性；(2)設g(x)f(2x)4bf(x)，當x0時，g(x)0，求b的最大值；(3)已知1.414 21.414 3，估計ln 2的近似值(精確到0.001)分析：在第(1)問中，利用求導公式求出函數(shù)f(x)的導數(shù)，然后利用導數(shù)可討論函數(shù)f(x)的單調性；在第(2)問中，先根據條件求出g(x)表達式，然后對其求導，其次利用分類討論的思想討論b，進而求出b的最大值；在第(3)問中，由第(2)問可求出的表達式，再通過特殊值法

16、，取b的兩個值使與，由此確定出表達式中l(wèi)n 2的范圍上限與下限，最后求得ln 2的近似值解：(1)f(x)exex20，等號僅當x0時成立，所以f(x)在(，)單調遞增(2)g(x)f(2x)4bf(x)e2xe2x4b(exex)(8b4)x，g(x)2e2xe2x2b(exex)(4b2)2(exex2)(exex2b2)當b2時，g(x)0，等號僅當x0時成立，所以g(x)在(，)單調遞增而g(0)0，所以對任意x0，g(x)0；當b2時，若x滿足2exex2b2，即0xln(b1)時，g(x)0.而g(0)0，因此當0xln(b1)時，g(x)0.綜上，b的最大值為2.(3)由(2)知

17、，.當b2時，；當時，.所以ln 2的近似值為0.693.(2013課標全國，理21)(本小題滿分12分)設函數(shù)f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)若曲線yf(x)和曲線yg(x)都過點P(0,2)，且在點P處有相同的切線y4x2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x2時，f(x)kg(x)，求k的取值范圍解：(1)由已知得f(0)2，g(0)2，f(0)4，g(0)4.而f(x)2xa，g(x)ex(cxdc)，故b2，d2，a4，dc4.從而a4，b2，c2，d2.(2)由(1)知，f(x)x24x2，g(x)2ex(x1)設函數(shù)F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2

18、，則F(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1)由題設可得F(0)0，即k1.令F(x)0得x1ln k，x22.若1ke2，則2x10.從而當x(2，x1)時，F(xiàn)(x)0；當x(x1，)時，F(xiàn)(x)0.即F(x)在(2，x1)單調遞減，在(x1，)單調遞增故F(x)在2，)的最小值為F(x1)而F(x1)2x124x12x1(x12)0.故當x2時，F(xiàn)(x)0，即f(x)kg(x)恒成立若ke2，則F(x)2e2(x2)(exe2)從而當x2時，F(xiàn)(x)0，即F(x)在(2，)單調遞增而F(2)0，故當x2時，F(xiàn)(x)0，即f(x)kg(x)恒成立若ke2，則F(2)2ke222e2

19、(ke2)0.從而當x2時，f(x)kg(x)不可能恒成立綜上，k的取值范圍是1，e2(2013課標全國，理21)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)exln(xm)(1)設x0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調性；(2)當m2時，證明f(x)0.解：(1)f(x).由x0是f(x)的極值點得f(0)0，所以m1.于是f(x)exln(x1)，定義域為(1，)，f(x).函數(shù)f(x)在(1，)單調遞增，且f(0)0.因此當x(1,0)時，f(x)0；當x(0，)時，f(x)0.所以f(x)在(1,0)單調遞減，在(0，)單調遞增(2)當m2，x(m，)時，ln(xm)ln(x2)，故只需證明當m2時，f(x)0.當m2時，函數(shù)f(x)在(2，)單調遞增又f(1)0，f(0)0，故f(x)0在(2，)有唯一實根x0，且x0(1,0)當x(2，x0)時，f(x)0；當x(x0，)時，f(x)0，從而當xx0時，f(x)取得最小值由f(x0)0得，ln(x02)x0，故f(x)f(x0)x00.綜上，當m2時，f(x)0.(2012課標全國，理21)已知函數(shù).() 求的解析式及單調區(qū)間；() 若，求的最大值解: () ,令得,再由,令得.所以的解析式為.,易知是上的增函數(shù),且.