高等代數(shù) 第八章 3第三節(jié) 不變因子.ppt

1、第三節(jié) 不變因子,返回,現(xiàn)在來證明， -矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的.,定義5 設(shè)-矩陣A()的秩為r，對于正整數(shù)k， 1kr，A()中必有非零的k級子式. A()中全部k級子式的首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式Dk()稱為A()的k級行列式因子.,由定義可知，對于秩為r的-矩陣，行列式因子一共有r個(gè). 行列式因子的意義就在于，它在初等變換下是不變的.,返回,定理3 等價(jià)的-矩陣具有相同的秩與相同的各級行列式因子.,證明 我們只需證明，-矩陣經(jīng)過一次初等變換，秩與行列式因子是不變的.,設(shè)-矩陣A()經(jīng)過一次初等行變換變成B()， f()與g()分別是A()與B()的k級行列式因子. 我們證明f()=g().

2、下面分三種情形討論：,1) . 這時(shí)，B()的每個(gè)k級子式或者等于A()的某個(gè)k級子式，或者與A()的某一個(gè)k級子式反號，因此f()是B()的k級子式的公因式，從而f()|g().,返回,2) . 這時(shí)，B()的每個(gè)k級子式或者等于A()的某一個(gè)k級子式，或者等于A()的某一個(gè)k級子式的c倍，因此f()是B()的k級子式的公因式，從而f()|g().,3) . 這時(shí)，B()中那些包含i行與j行的k級子式和那些不包含i行的k級子式都等于A()中對應(yīng)的k級子式； B()中那些包含i行但不包含j行的k級子式，按i行分成兩部分，而等于A()的一個(gè)k級子式與另一個(gè)k級子式的()倍的和，也就是的A()中兩

3、個(gè)k級子式的組合. 因此f()是B()的k級子式的公因式，從而f()|g().,返回,對于初等列變換，可以完全一樣地討論. 總之，如果A()經(jīng)過一次初等變換變成B()，那么f()|g(). 但由初等變換的可逆性，B()也可以經(jīng)過一次初等變換變成A(). 由上面的討論，同樣應(yīng)有g(shù)()|f()，于是f()=g().,當(dāng)A()的全部k級子式為零時(shí)，B()的全部k級子式也就等于零；反之亦然. 因此，A()與B()既有相同的各級行列式，又有相同的秩.,證畢.,返回,現(xiàn)在來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的行列式因子. 設(shè)標(biāo)準(zhǔn)形為,(1),返回,其中d1(), d2(), , dr()是首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式，且di()|

4、di+1(), (i=1,2, ,r-1). 不難證明，在這種形式的矩陣中，如果一個(gè)k級子式包含的行與列的標(biāo)號不完全相同，那么這個(gè)k級子式一定為零(自證).因此，為了計(jì)算k級行列式因子，只要看由矩陣的i1,i2,ik行與i1,i2,ik列(1i1i2ikr)組成的k級子式就行了，而這個(gè)k級子式等于,顯然，這種k級子式的最大公因式就是,d1()d2()dk(),返回,定理4 -矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的.,證明 設(shè)(1)是A()的標(biāo)準(zhǔn)形. 由于A()與(1)等價(jià)，它們有相同的秩與相同的行列式因子，因此，矩陣A()的秩就是標(biāo)準(zhǔn)形的主對角線上非零元素的個(gè)數(shù)r；A()的k級行列式因子就是,Dk()=d1()

5、d2()dk(), (k=1,2, ,r) (2),于是,(3),這說明A()的標(biāo)準(zhǔn)形(1)的主對角線上的非零元素是被A()的行列式因子所唯一決定的，所以A()的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的. 證畢.,返回,定義6 矩陣A()的標(biāo)準(zhǔn)形的主對角線上非零元素d1(),d2(),dr()稱為-矩陣A()的不變因子.,定理5 兩個(gè)-矩陣等價(jià)的是它們有相同的行列式因子，或者，它們有相同的不變因子.,證明 等式(2)與(3)給出了-矩陣的行列式因子與不變因子之間的關(guān)系. 這個(gè)關(guān)系式說明，行列式因子與不變因子是相互確定的. 因此，說兩個(gè)矩陣有相同的各級行列式因子，就等于說它們有相同的各級不變因子.,()已由定理3證明.,

6、返回,由(3)可以看出，在-矩陣的行列式因子之間，有關(guān)系式,Dk()| Dk+1(), (k=1,2, ,r-1) (4),在計(jì)算-矩陣的行列式因子時(shí)，常常是先計(jì)算最高級的行列式因子. 這樣，由(4)就大致有了低級行列式因子的范圍了.,()是明顯的. 事實(shí)上，若-矩陣A()與B()有相同的不變因子. 則A()與B()和同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形等價(jià)，因而A()與B()等價(jià). 證畢.,作為一個(gè)例子，我們來看可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形.,返回,例如，設(shè)A()為一個(gè)nn可逆矩陣，由定理1知,|A()|=d ,其中d是一非零常數(shù)，這就是說,Dn()=1,于是由(4)可知，Dk()=1 (k=1,2, ,n) ，從而,dk()=1, (k=1,2, ,n) .,因此，可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是單位矩陣E. 反過來，與單位矩陣等價(jià)的矩陣一定是可逆矩陣，因?yàn)樗男辛惺绞且粋€(gè)非零的數(shù). 這就是說，,結(jié)論 矩陣是可逆的它與單位矩陣等價(jià).,返回,又矩陣A()與B()等價(jià)的是有一系列初等矩陣P1,P2,Pl，Q1,Q2,Qt ，使,A()=P1P2PlB()Q1Q2Qt .,特別是，當(dāng)B()=E時(shí)，就得到,定理6 矩陣