控制工程課件 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1、第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,本章主要講怎樣建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型微分方程,廣義上是指表達(dá)自然界或社會(huì)現(xiàn)象某些本質(zhì)特征的數(shù)學(xué)表達(dá)式或稱為數(shù)學(xué)方程。 比較寬泛,數(shù)學(xué)模型,具體一點(diǎn)，數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)方法描述的抽象的理論模型，用來表達(dá)系統(tǒng)內(nèi)部各部分之間或系統(tǒng)與其外部環(huán)境之間的關(guān)系,定義：控制系統(tǒng)在工作狀態(tài)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程稱為數(shù)學(xué)模型。它反映輸出量與輸入量之間的關(guān)系系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。揭示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)與其動(dòng)態(tài)特性之間的關(guān)系。 格式: 輸出量的表達(dá)式 = 輸入量的表達(dá)式,本課程中，數(shù)學(xué)模型的定義、格式及其表達(dá),表達(dá)式通常有微分方程、傳遞函數(shù)、傳遞函數(shù)方框圖、頻率特性、差分方程、狀態(tài)方程等。本課程只講前三種。,建立控制系

2、統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法有 ：,分析法對(duì)系統(tǒng)各部分的運(yùn)動(dòng)機(jī)理進(jìn)行分析，物理規(guī)律、化學(xué)規(guī)律。 實(shí)驗(yàn)法人為施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄基本輸出響應(yīng)。,分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的幾個(gè)步驟：,(1) 建立物理模型。 (2) 列寫原始方程。利用適當(dāng)?shù)奈锢矶扇缗ｎD定律、基爾霍夫電流和電壓定律、能量守恒定律等）,物理模型 任何元件或系統(tǒng)實(shí)際上都是很復(fù)雜的，難以對(duì)它作出精確、全面的描述，必須進(jìn)行簡(jiǎn)化或理想化。簡(jiǎn)化后的元件或系統(tǒng)為該元件或系統(tǒng)的物理模型。簡(jiǎn)化是有條件的，要根據(jù)問題的性質(zhì)和求解的精確要求，來確定出合理的物理模型。 電子放大器 看成 理想的線性放大環(huán)節(jié)。 通訊衛(wèi)星 看成 質(zhì)點(diǎn) 。,(3) 選定系統(tǒng)的輸入量、輸出量

3、及狀態(tài)變量（僅在建立狀態(tài)模型時(shí)要求），消去中間變量，建立適當(dāng)?shù)妮斎胼敵瞿Ｐ突驙顟B(tài)空間模型。,實(shí)驗(yàn)法基于系統(tǒng)辨識(shí)的建模方法,已知知識(shí)和辨識(shí)目的 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)-選擇實(shí)驗(yàn)條件 模型階次-適合于應(yīng)用的適當(dāng)?shù)碾A次 參數(shù)估計(jì)-最小二乘法 模型驗(yàn)證將實(shí)際輸出與模型的計(jì)算輸出進(jìn)行比較，系統(tǒng)模型需保證兩個(gè)輸出之間在選定意義上的接近,例:下圖為平面銑削示意圖. 分析動(dòng)力滑臺(tái)水平運(yùn)動(dòng)情況,建立數(shù)學(xué)模型的步驟1. 根據(jù)系統(tǒng)的工作原理得到物理模型2. 確定輸出量和輸入量3. 以已知的物理、化學(xué)、機(jī)械等定律或統(tǒng)計(jì)規(guī)律，列出盡可能存在的方程式。 4. 消除中間變量。最后整理成：輸出量的表達(dá)式=輸入量的表達(dá)式,根據(jù)達(dá)朗貝爾原理建

4、模,M為輸入量,轉(zhuǎn)角為輸出量,利用基爾霍夫定律建模,解（a）題：依基爾霍夫電壓定律得電路方程,同學(xué)練習(xí)解（b）,其中,解（b）題，依照基爾霍夫定律得,電路相同，輸入或者輸出不同，微分方程不同,求圖示電子網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)1的電流動(dòng)態(tài)方程式,輸入電壓,輸出電壓,對(duì)節(jié)點(diǎn)1的電流有：,其中：,所以節(jié)點(diǎn)1的電流動(dòng)態(tài)方程為,系統(tǒng)元件間的負(fù)載效應(yīng),外反饋 內(nèi)反饋,內(nèi)反饋：,（1-1）,（1-2）,兩自由度機(jī)械系統(tǒng),信息傳遞關(guān)系,許多機(jī)械系統(tǒng)或過程中，往往存在內(nèi)在的相互耦合作用構(gòu)成非人為的內(nèi)在反饋，從而形成一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)。,系統(tǒng)元件間的負(fù)載效應(yīng),再看下面的例子: 圖示為由兩個(gè)質(zhì)量為m1、m2和彈簧k1、k2串聯(lián)起來的系

5、統(tǒng),設(shè)輸入量為外力f (t),輸出量為位移y1(t), y2(t).試求系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,對(duì) m1,對(duì) m2,(1),負(fù)載效應(yīng)由多個(gè)元件組成的系統(tǒng)，若后一個(gè)元件的存在會(huì)影響到前一個(gè)元件的輸出，就認(rèn)為后者給前者增加了負(fù)載。這種現(xiàn)象稱為負(fù)載效應(yīng)。,注意，當(dāng)存在負(fù)載效應(yīng)時(shí)，絕不能孤立地分別列出前后兩個(gè)元件的微分方程式，而應(yīng)該把前后兩個(gè)元件作為一個(gè)整體分析,如果不考慮m2對(duì)m1的影響，則會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果,解方程（1），消除y2得,下圖表示一臺(tái)機(jī)器放在隔振墊上。將機(jī)器簡(jiǎn)化為一剛性質(zhì)塊，質(zhì)量為m，在垂直方向的位移為x(t)，從靜態(tài)平衡位置開始計(jì)算質(zhì)塊的位移。,解,記,此即為動(dòng)態(tài)模型。如系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)很慢即,靜態(tài)模型,此模型是以作用在機(jī)器上的力F(t)為激勵(lì)，機(jī)器的振動(dòng)位移小x(t)作為響應(yīng)。,試分析地基振動(dòng)對(duì)機(jī)器運(yùn)動(dòng)的影響,即y(t)為激勵(lì)，x(t)為響應(yīng),解,參數(shù)的歸一化,見書P19例4,此外，注意