自動控制原理第三章時域分析法

1、第三章 時域分析法,3-1 控制系統(tǒng)的時域指標 3-2 一階系統(tǒng)的時間響應 3-3 二階系統(tǒng)分析 3-4 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)判據 3-5 穩(wěn)態(tài)誤差的分析和計算,3-1 控制系統(tǒng)的時域指標,所謂時域分析法，就是在時間域內研究控制系統(tǒng)性能的方法，它是通過拉氏變換直接求解系統(tǒng)的微分方程，得到系統(tǒng)的時間響應，然后根據響應表達式和響應曲線分析系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。,動態(tài)和穩(wěn)態(tài)過程,3、動態(tài)過程（過渡過程或瞬態(tài)過程）：系統(tǒng)在典型信號作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的過程。,4、穩(wěn)態(tài)過程：系統(tǒng)在典型信號作用下，當時間t趨向無窮時，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)形式。,1、典型輸入信號：單位階躍、單位斜坡、單

2、位脈沖、單位加速度、正弦等,2、系統(tǒng)的時間響應，由動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成,與此對應，性能指標分為動態(tài)性能指標和穩(wěn)態(tài)性能指標,控制系統(tǒng)的時域性能指標，是根據系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的時間響應單位階躍響應確定的，通常以h（t）表示。 實際應用的控制系統(tǒng)，多數(shù)具有阻尼振蕩的階躍響應，如圖3-1所示：,B,動態(tài)性能指標定義1,上升時間tr,調節(jié)時間 ts,動態(tài)性能指標定義2,一.上升時間tr (Rising time) 響應曲線從零首次上升到穩(wěn)態(tài)值h()所需的時間，稱為上升時間。對于響應曲線無振蕩的系統(tǒng)，tr是響應曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90 %所需的時間。 延遲時間td(Delay time

3、):響應曲線第一次到達終值一半所需的時間。 二.峰值時間tp (Time of peak value ) 響應曲線超過穩(wěn)態(tài)值h()達到第一個峰值所需的時間。 三.調節(jié)時間ts 在穩(wěn)態(tài)值h()附近取一誤差帶，通常取,響應曲線開始進入并保持在誤差帶內所需的最小時間，稱為調節(jié)時間。 ts越小，說明系統(tǒng)從一個平衡狀態(tài)過渡到另一個平衡狀態(tài)所需的時間越短。 四.超調量% 響應曲線超出穩(wěn)態(tài)值的最大偏差與穩(wěn)態(tài)值之比。即,超調量表示系統(tǒng)響應過沖的程度，超調量大，不僅使系統(tǒng)中的各個元件處于惡劣的工作條件下，而且使調節(jié)時間加長。 五.振蕩次數(shù)N 在調節(jié)時間以內，響應曲線穿越其穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半。 tr,tp和ts表示

4、控制系統(tǒng)反映輸入信號的快速性，而%和N反映系統(tǒng)動態(tài)過程的平穩(wěn)性。即系統(tǒng)的阻尼程度。其中ts和%是最重要的兩個動態(tài)性能的指標。,3-2 一階系統(tǒng)的時間響應,一.一階系統(tǒng)的數(shù)學模型,結構圖和閉環(huán)極點分布圖為： T表征系統(tǒng)慣性大小的重要參數(shù)。 二.一階系統(tǒng)的單位階躍響應,特點： （1）初始斜率為1/T； （2）無超調 （3）穩(wěn)態(tài)誤差ess=0 。,性能指標： （1）延遲時間：td=0.69T （2） 上升時間：tr=2.20T （3）調節(jié)時間：ts=3T (=0.05),曲線,例1.一階系統(tǒng)的結構圖如圖所示，若kt=0.1,試求系統(tǒng)的調節(jié)時間ts。如果要求ts 0.1秒。試求反饋系數(shù)應取多大？,-,

5、解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù),一階系統(tǒng)單位脈沖響應,三.一階系統(tǒng)的單位斜坡響應,單位斜坡響應曲線如圖所示： 引入誤差的概念： 當時間t趨于無窮時，系統(tǒng)單位階躍響應的實 際穩(wěn)態(tài)值與給定值之差。即：,一階系統(tǒng)單位斜坡響應存在穩(wěn)態(tài)誤差 ess=t-(t-T)=T 從曲線上可知，一階系統(tǒng)單位斜坡響應達到 穩(wěn)態(tài)時具有和輸入相同的斜率，只要在時間 上滯后T,這就存在著ess=T的穩(wěn)態(tài)誤差。,一階系統(tǒng)能跟蹤斜坡輸入信號,但存在穩(wěn)態(tài)誤差。,上式表明，跟蹤誤差隨時間推移而增大，直至無限大。因此，一階系統(tǒng)不能實現(xiàn)對加速度輸入函數(shù)的跟蹤。,一階系統(tǒng)單位加速度響應,表3-1一階系統(tǒng)對典型輸入信號的響應,微 分 ,微 分 ,

6、等價關系：系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)的響應，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的導數(shù)； 系統(tǒng)對輸入信號積分的響應，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的積分；積分常數(shù)由零初始條件確定。,典型二階系統(tǒng)的結構圖如圖3-5所示。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 其中K為系統(tǒng)的開環(huán)放 大系數(shù)，T為時間常數(shù)。,3-3 二階系統(tǒng)分析 由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。在控制工程實踐中，二階系統(tǒng)應用極為廣泛，此外，許多高階系統(tǒng)在一定的條件下可以近似為二階系統(tǒng)來研究，因此，詳細討論和分析二階系統(tǒng)的特征具有極為重要的實際意義。,（35）,與式（3-5）相對應的微分方程為 可見，該系統(tǒng)是一個二階系統(tǒng)。為了分析方便，將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)改寫成如下形式

7、式中 ，稱為無阻尼自然振蕩角頻率，（簡稱為無阻尼自振頻率）， 稱為阻尼系數(shù)（或阻尼比）。,(3-6),閉環(huán)特征方程為： 其特征根即為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點為 1.當0 1時，此時系統(tǒng)特征方程具有一對負實部的共軛復根 系統(tǒng)的單位階躍響應具有衰減振蕩特性，稱為欠阻尼狀態(tài)。(如圖a),2.當=1時，特征方程具有兩個相等的負實根，稱為臨界阻尼狀態(tài)。（如圖b） 3.當1時，特征方程具有兩個不相等的負實根，稱為過阻尼狀態(tài)。（如圖c） 4.當=0時，系統(tǒng)有一對共軛純虛根，系統(tǒng)單位階躍響應作等幅振蕩，稱為無阻尼或零阻尼狀態(tài)。（如圖d） 下面，分過阻尼（包括臨界阻尼）和欠阻尼（包括零阻尼）兩種情況，來研究二階系統(tǒng)的

8、單位階躍響應。,二.二階系統(tǒng)的單位階躍響應 1.欠阻尼情況 當0 1,二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征根為 Wn無阻尼振蕩頻率或固有頻率，也叫自然振蕩頻率。,當系統(tǒng)輸入為單位階躍信號時，系統(tǒng)的輸出量為,曲線：,欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線是按指數(shù)規(guī)律衰減到穩(wěn)定值的，衰減速度取決于特征值實部-wn的大小，而衰減振蕩的頻率，取決于特征根虛部wd的大小。,角的定義, 越小，超調量越大，平穩(wěn)性越差，調節(jié)時間ts長； 過大時，系統(tǒng)響應遲鈍，調節(jié)時間ts也長，快速性差； =0.7，調節(jié)時間最短，快速性最好，而超調量%5%，平穩(wěn)性也好，故稱=0.7為最佳阻尼比。,注：系統(tǒng)對于超調量的要求,對一般系統(tǒng)，總希望超調量較小

9、。但常常希望系統(tǒng)有一點超調，以增加系統(tǒng)的快速性。例如，在電動機調速系統(tǒng)中，電動機速度有一點超調是容許的，這時電動機速度跟蹤特性較好。,對不可逆系統(tǒng)，系統(tǒng)不能出現(xiàn)超調，例如，在水泥攪拌控制系統(tǒng)中，含水量不能過量，因為控制系統(tǒng)只能加水，而不能排水。 機床刀架系統(tǒng)。,上圖繪出了不同值下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線。直觀地看，越大，超調量%越小，響應的振蕩性越弱，平穩(wěn)性越好；反之，越小，振蕩性越強，平穩(wěn)性越差。當0時，系統(tǒng)的零阻尼響應為： 等幅振蕩曲線，振蕩頻率為wn wn稱為無阻尼振蕩頻率。 另外，若過大，如 ，系統(tǒng)響應遲緩，調節(jié)時間ts長，快速性差；若過小，雖然響應的起始速度較快，tr和tp小，但

10、振蕩強烈，響應曲線衰減緩慢，調節(jié)時間ts亦長。,下面具體討論欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能指標。 1.上升時間tr 由定義知：tr為輸出響應第一次到達穩(wěn)態(tài)值所需時間，所以應取n=1。,當wn一定時，越小，tr越??； 當一定時，wn越大，tr越小。 2.峰值時間tp,對式兩邊求導，并令其=0，得：,代入 得：,tp為輸出響應達到第一個峰值所對應的時間 所以應取n=1。 于是 當wn一定時，越小，tp越?。?當一定時，wn越大，tp越小。 3.超調量%,所以超調量是阻尼比的函數(shù)，與無阻尼振 蕩頻率wn的大小無關。,%與的關系曲線,增大，%減小，通常為了獲得良好的平穩(wěn)性和快速性，阻尼比取在0.4-0.8之間

11、,相應的超調量25%-2.5%。 4.調節(jié)時間ts 根據定義： 不易求出ts，但可得出wnts與的關系曲線：,調節(jié)時間不連續(xù)的示意圖,值的微小變化可引起調節(jié)時間ts顯著的變化。,當=0.68（5%誤差帶）或=0.76（2%誤差帶），調節(jié)時間ts最短。所以通常的控制系統(tǒng)都設計成欠阻尼的。 曲線的不連續(xù)性，是由于值的微小變化可引起調節(jié)時間顯著變化而造成的。 近似計算時，常用阻尼正弦振蕩的包絡線衰減到誤差帶之內所需時間來確定ts。 當=0.8時,常把 這一項 去掉。寫成 即,在設計系統(tǒng)時, 通常由要求的最大超調量決定,而調節(jié)時間則由無阻尼振蕩頻率wn來決定。,可近似表示為：,兩邊取對數(shù),得：,5.振

12、蕩次數(shù)N N的定義:在調節(jié)時間內,響應曲線穿越其穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半。 Td為阻尼振蕩的周期。,2.過阻尼情況。 當1時，二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程有兩個不相等的負實根，這時閉環(huán)傳遞函數(shù)可寫為,式中： 過阻尼二階系統(tǒng)可以看作兩個時間常數(shù)不同 的一階系統(tǒng)的串聯(lián)。 當系統(tǒng)的輸入信號為單位階躍函數(shù)時，,則系統(tǒng)的輸出量為 拉氏反變換得：,響應曲線如圖： 起始速度小，然后上升速度逐漸加大，到達某一值后又減小，響應曲線不同于一階系統(tǒng)。過阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標主要是調節(jié)時間ts，根據公式求ts的表達式很困難，一般用計算機計算出的曲線確定ts。,過阻尼二階系統(tǒng)調節(jié)時間特性,從曲線可以看出，當 , (臨界阻尼）時，

13、 ,當 ， 時， 當 ， 時， 由此可見， 當 時， 二階系統(tǒng)可近似等效為一階系統(tǒng)，調節(jié)時間可用3T1 來估算。 當 時，臨界阻尼二階系統(tǒng) ，則 則臨界阻尼二 階系統(tǒng)的單位階躍響應為 過阻尼二階系統(tǒng)的響應較緩慢，實際應用的控制系統(tǒng)一般不采用過阻尼系統(tǒng)。,例1:已知單位反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 設系統(tǒng)的輸入量為單位階躍函數(shù),試計算放大器增益KA=200時,系統(tǒng)輸出響應的動態(tài)性能指標。當KA增大到1500時或減小到KA =13.5,這時系統(tǒng)的動態(tài)性能指標如何?,解:系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:,則根據欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能指標的計算公式,可以求得:,由此可見,KA越大, 越小,wn越大,tp越小,%越大,而

14、調節(jié)時間ts無多大變化。 系統(tǒng)工作在過阻尼狀態(tài),峰值時間,超調量和振 蕩次數(shù)不存在,而調節(jié)時間可將二階系統(tǒng)近似,為大時間常數(shù)T的一階系統(tǒng)來估計,即: 調節(jié)時間比前兩種KA大得多,雖然響應無超調,但過渡過程緩慢,曲線如下：,KA增大， tp減小， tr減小，可以提高響應的快速性，但超調量也隨之增加，僅靠調節(jié)放大器的增益，即比例調節(jié)，難以兼顧系統(tǒng)的快速性和平穩(wěn)性，為了改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，可采用比例微分控制或速度反饋控制，即對系統(tǒng)加入校正環(huán)節(jié)。,例2.下圖表示引入了一個比例微分控制的二階系統(tǒng),系統(tǒng)輸出量同時受偏差信號 和偏差信號微分 的雙重控制。試分析比例微分校正對系統(tǒng)性能的影響。,系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

15、,閉環(huán)傳遞函數(shù):,等效阻尼比：,增大了系統(tǒng)的阻尼比,可以使系統(tǒng)動態(tài)過程的超調量下降,調節(jié)時間縮短,然而開環(huán)增益k保持不變,它的引入并不影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度,同時也不改變系統(tǒng)的無阻尼振蕩頻率wn。而且,比例微分控制使系統(tǒng)增加了一個閉環(huán)零點s=-1/Td,前面給出的計算動態(tài)性能指標的公式不再適用。由于穩(wěn)態(tài)誤差與開環(huán)增益成反比,因此適當選擇開環(huán)增益和微分器的時間常數(shù)Td, 即可減小穩(wěn)態(tài)誤差,又可獲得良好的動態(tài)性能。,例3.圖: 是采用了速度反饋控制的二階系統(tǒng)。試分析速度反饋校正對系統(tǒng)性能的影響。 解:系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,式中kt為速度反饋系數(shù). 為系統(tǒng)的開環(huán)增益。 (不引入速度反饋開環(huán)增益 ) k有

16、所減小,增大了穩(wěn)態(tài)誤差,因此降低了系統(tǒng)的精度。,閉環(huán)傳遞函數(shù) 顯然 ，所以速度反饋同樣可以增大系統(tǒng)的阻尼比,而不改變無阻尼振蕩頻率wn,因此,速度反饋可以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。,等效阻尼比：,在應用速度反饋校正時,應適當增大原系統(tǒng)的開環(huán)增益,以補償速度反饋引起的開環(huán)增益減小,同時適當選擇速度反饋系數(shù)kt,使阻尼比t增至適當數(shù)值,以減小系統(tǒng)的超調量,提高系統(tǒng)的響應速度,使系統(tǒng)滿足各項性能指標的要求。,高階系統(tǒng)的暫態(tài)性能近似分析,高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)一般表示為： 設系統(tǒng)閉環(huán)極點均為單極點（實際系統(tǒng)大都如此）， 單位階躍響應的拉氏變換式為：,對于上式求拉氏反變換得到高階系統(tǒng)的單位階躍響應為： 閉環(huán)極

17、點離虛軸越遠，表達式中對應的暫態(tài)分量衰減越 快，在系統(tǒng)的單位階躍響應達到最大值和穩(wěn)態(tài)值時幾乎 衰減完畢，因此對上升時間、超調量影響不大；反之， 那些離虛軸近的極點，對應分量衰減緩慢，系統(tǒng)的動態(tài) 性能指標主要取決于這些極點所對應的分量。 因此，一般可將相對遠離虛軸的極點所引起的分量忽略 不計，而保留那些離虛軸較近的極點所引起的分量。,例 ：,例 ：,例 ：,結論：,1）若某極點遠離虛軸與其它零、極點，則該極點對應的響 應分量較小。 2）若某極點鄰近有一個零點，則可忽略該極點引起的暫態(tài) 分量。 忽略上述兩類極點所引起的暫態(tài)分量后，一般剩下為數(shù)不多的幾個極點所對應的暫態(tài)分量。這些分量對系統(tǒng)的動態(tài)特性

18、將起主導作用，這些極點通常稱為主導極點。,3-4 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)判據,一.穩(wěn)定性的定義 如小球平衡位置b點,受外界擾動作用,從b點到 點，外力作用去掉后,小球圍繞b點作幾次反復振蕩,最后又回到b點,這時小球的運動是穩(wěn)定的。,如小球的位置在a或c點,在微小擾動下,一旦偏離平衡位置,則無論怎樣,小球再也回不到原來位置,則是不穩(wěn)定的。 定義:若系統(tǒng)在初始偏差作用下,其過渡過程隨時間的推移,逐漸衰減并趨于零,具有恢復平衡狀態(tài)的性能,則稱該系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定,簡稱穩(wěn)定。反之為不穩(wěn)定。 我們把擾動消失時,系統(tǒng)與平衡位置的偏差看作是系統(tǒng)的初始偏差。 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)本身的結構參數(shù),而與外作用

19、及初始條件無關,是系統(tǒng)的固有特性。,二.穩(wěn)定的充要條件 設系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:,由于系統(tǒng)的初始條件為零,當輸入一個理想的單位脈沖(t)時,則系統(tǒng)的輸出便是單位脈沖過渡函數(shù)k(t),如果 ,則系統(tǒng)穩(wěn)定。 若 是線性系統(tǒng)特征方程 的根,且互不相等,則上式可分解為,式中 則通過拉式變換,求出系統(tǒng)的單位脈沖過渡函數(shù)為 欲滿足 ,則必須各個分量都趨于零。式中 為常數(shù),即只有當系統(tǒng)的全部特征根 都具有負實部才滿足。,穩(wěn)定的充要條件是:系統(tǒng)特征方程的全部根都具有負實部,或者閉環(huán)傳遞函數(shù)的全部極點均在s平面的虛軸之左。 特征方程有重根時,上述充要條件完全適用。,三.勞思穩(wěn)定判據 不必求解特征方程的根,而是直

20、接根據特征方程的系數(shù),判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,回避求解高次方程的困難。 1.系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件:特征方程中所有項的系數(shù)均大于0.只要有一項等于或小于0,則為不穩(wěn)定系統(tǒng)。 充分條件:Routh表第一列元素均大于0。,2.Routh表的列寫方法 特征方程為 則Routh表為(在下頁中),則系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件:勞思表中第一列元素全部大于0。若出現(xiàn)小于0的元素,則系統(tǒng)不穩(wěn)定。且第一列元素符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)正實部根的個數(shù)。 例:,則系統(tǒng)不穩(wěn)定,且有兩個正實部根。（即有2個根在S的右半平面。 一次方程: a1,a0同號則系統(tǒng)穩(wěn)定。 二次方程: a1,a2,a0同號則系統(tǒng)穩(wěn)定。 三次方程: a0,a1,a2,

21、a3均大于0,且a1a2a3a0,則系統(tǒng)穩(wěn)定。,3.兩種特殊情況 情況1:勞思表中某一行的第一個元素為0,其它各元素不全為0,這時可以用任意小的正數(shù)代替某一行第一個為0的元素。然后繼續(xù)勞思表計算并判斷。 例:,當很小時, 則系統(tǒng)不穩(wěn)定，并有兩個正實部根。 情況2:勞思表中第k行元素全為0,這說明系統(tǒng)的特征根或存在兩個符號相異,絕對值相同的實根,或存在一對共軛純虛根,或存在實部符號相異,虛部數(shù)值相同的共軛復根，或上述類型的根兼而有之。,此時系統(tǒng)必然是不穩(wěn)定的。在這種情況下,可作如下處理。 (1).用k-1行元素構成輔助方程. (2).將輔助方程為s求導,其系數(shù)作為全零行的元素,繼續(xù)完成勞思表。

22、例:系統(tǒng)的特征方程為：,列勞思表: 列輔助方程,第一列符號改變一次,有一個正實部根,系統(tǒng)不穩(wěn)定。,解輔助方程 得： 解得符號相異，絕對值相同的兩個實根 和一對純虛根 可見其中有一個正 實根。,4.勞思判據的推廣及應用 (1).勞思表不但可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,而且能判斷特征根的位置分布情況。 (2).可以選擇使系統(tǒng)穩(wěn)定的調節(jié)器參數(shù)的數(shù)值。 例:,閉環(huán)傳遞函數(shù):,則特征方程 整理得: 必要條件: 充分條件:,則系統(tǒng)才是穩(wěn)定的,求得k的取值范圍。 (3).確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的特征參數(shù)的取值區(qū)間。 例:已知系統(tǒng)的特征為: 試判斷使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍,如果要求特征值均位于s=-1垂線之左。問k值應如何調整?,

23、解:特征方程化為: 列勞思表:,所以使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍是 若要求全部特征根在s=-1之左,則虛軸向左平移一個單位，令s=s1-1代入原特征方程,得: 整理得:,列勞思表: 第一列元素均大于0,則得:,3.6 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定誤差計算,3.6.1 誤差與穩(wěn)態(tài)誤差,3.6.2 系統(tǒng)類型,3.6.3 靜態(tài)誤差系數(shù),3.6.5 擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差,3.6.4 動態(tài)誤差系數(shù),前提：系統(tǒng)穩(wěn)定 。,穩(wěn)態(tài)性能,控制系統(tǒng)的性能,動態(tài)性能,無差系統(tǒng)：在階躍函數(shù)作用下沒有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱之無差系統(tǒng)。,有差系統(tǒng)：在階躍函數(shù)作用下具有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱之有差系統(tǒng)。,3.6.1 誤差與穩(wěn)態(tài)誤差,第一種定義

24、：誤差在實際系統(tǒng)中是可以量測的。 第二種定義：輸出的真值有時很難得到，誤差往往難以測量。,誤差的兩種定義,誤差傳遞函數(shù),誤差,上式表明：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，不僅與開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的結構有關，還與輸入R(s)形式密切相關 。,終值定理，求穩(wěn)態(tài)誤差。,公式條件： sE(S)的極點均位于S左半平面（包括坐標原點）。,問? R(t)=sint時，能否用終值定理求ess?,對于一個給定的穩(wěn)定系統(tǒng)，當輸入信號形式一定時，系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差就取決于開環(huán)傳遞函數(shù)所描述的系統(tǒng)結構。因此，按照控制系統(tǒng)跟蹤不同輸入信號的能力來進行系統(tǒng)分類是必要的。,3.6.2 系統(tǒng)類型,開環(huán)傳遞函數(shù),系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算通式

25、則可表示為,為便于討論，令,因為實際輸入多為階躍函數(shù)，斜坡函數(shù)和加速度函數(shù)或者其組合，因此分別討論。,3.6.3 各種輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)誤差系數(shù),一、階躍輸入,令,G(s),H(s)G(s),G(s),如果要求對于階躍作用下不存在穩(wěn)態(tài)誤差，則必須選用型及型以上的系統(tǒng)。習慣上，階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差稱為靜差。！,令,二、斜坡輸入,2020/10/23,第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法,114,指系統(tǒng)在速度(斜坡)輸入作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之間存在的誤差,稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù),R0,型及型以上系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)時能準確跟蹤斜坡輸入信號，不存在位置誤差。,0型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時不能跟蹤斜坡輸入,型系統(tǒng)能

26、跟蹤斜坡輸入，但存在一個穩(wěn)態(tài)位置誤差,R0,三、加速度輸入,H(s)G(s),稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù),如果 系統(tǒng) 的輸入信號是多種典型函數(shù)的線性組合 ：如,根據線性疊加的原理，可將每一種輸入分量單獨作用于系統(tǒng)，再將各誤差分量疊加起來,這時至少應選型系統(tǒng)否則穩(wěn)態(tài)誤差將無窮大。,例3-10 一單位反饋控制系統(tǒng)，若要求： 跟蹤單位斜坡輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為2。 設該系統(tǒng)為三階，其中一對復數(shù)閉環(huán)極點為,求滿足上述要求的開環(huán)傳遞函數(shù)。,解：根據和的要求，可知系統(tǒng)是型三階系統(tǒng)，,因而令其開環(huán)傳遞函數(shù)為,而,所求開環(huán)傳遞函數(shù)為,相應閉環(huán)傳遞函數(shù),同一系統(tǒng)在不同形式的輸入信號的作用下具有不同的穩(wěn)態(tài)誤差。,例31

27、3 具有測速發(fā)電機內反饋的位置隨動系統(tǒng)，求r(t)分別為1(t)，t,t2/2時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，并對系統(tǒng)在不同輸入形式下具有不同穩(wěn)態(tài)誤差的現(xiàn)象進行物理說明。,系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),其靜態(tài)誤差系數(shù),型系統(tǒng),r(t)分別為1(t)，t,t2/2時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0，1，,3.6.4：動態(tài)誤差系數(shù),用終值定理計算穩(wěn)態(tài)誤差(終值誤差)時,對輸入信號有限制(虛軸及右半S平面解析-無奇異點)。 穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)計算穩(wěn)態(tài)誤差不能反映穩(wěn)態(tài)誤差隨時間變化的規(guī)律。 動態(tài)誤差系數(shù)法可研究輸入信號為任意時間函數(shù)時的穩(wěn)態(tài)誤差變化。,用級數(shù)展開法求動態(tài)誤差系數(shù)的計算量較大；可將誤差傳遞函數(shù)的分母多項式和分子多項式按升冪排列

28、，做長除計算可得動態(tài)誤差系數(shù)。,3.6.5：擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差,擾動穩(wěn)態(tài)誤差的大小反映了系統(tǒng)抗干擾能力的強弱。,以上討論了系統(tǒng)在參考輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差,事實上，控制系統(tǒng)除了受到參考輸入的作用外，還會受到來自系統(tǒng)內部和外部各種擾動的影響。例如負載力矩的變化、放大器的零點漂移、電網電壓波動和環(huán)境溫度的變化等，這些都會引起穩(wěn)態(tài)誤差。,擾動穩(wěn)態(tài)誤差,但是，由于參考輸入和擾動輸入作用于系統(tǒng)的不同位置，因而系統(tǒng)就有可能會產生在某種形式的參考輸入下，其穩(wěn)態(tài)誤差為零；而在同一形式的擾動作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差未必為零。因此，就有必要研究由擾動作用引起的穩(wěn)態(tài)誤差和系統(tǒng)結構的關系。,對于擾動穩(wěn)態(tài)誤差的計算，可以

29、采用上述對參考輸入的方法。,擾動穩(wěn)態(tài)誤差的計算：,擾動穩(wěn)態(tài)誤差的計算：,輸出對擾動的傳遞函數(shù),擾動輸入時的輸出,系統(tǒng)的理想輸出為零，故該非單位反饋系統(tǒng)響應擾動的輸出端誤差信號為 ：,根據終值定理,系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為,設,下面討論,時系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差。,1：0型系統(tǒng),當擾動為一階躍信號，即,2：I型系統(tǒng),對參考輸入，都是I型系統(tǒng)，產生的穩(wěn)態(tài)誤差也完全相同，但抗擾動的能力是完全不同,(1),階躍信號,斜坡信號,(2),加速度信號,擾動穩(wěn)態(tài)誤差只與作用點前的G1(s)有關。 G1(s)中的1=1時，相應系統(tǒng)的階躍擾動穩(wěn)態(tài)誤差為零；斜坡穩(wěn)態(tài)誤差只與G1(s)中的增益K1成反比。至于擾動作用點后的G2(s)，其增益K2的大小和是否有積分環(huán)節(jié)，它們均對減小或消除擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差沒有什么作用。,結論：,3、II型系統(tǒng),三種可能的組合,結論,第一種組合的系統(tǒng)具有II型系統(tǒng)的功能，