函數(shù)極值求法論文.doc

分類號(hào) o174 編 號(hào) 2012010152 畢業(yè)論文題 目 函數(shù)極值求法及其在應(yīng)用問題 學(xué) 院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 姓 名 馬富榮 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 號(hào) 281010152 研究類型 研究綜述 指導(dǎo)教師 楊鐘玄 提交日期 2012年5月 原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明:本人所呈交的論文是在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的成果.學(xué)位論文中凡是引用他人已經(jīng)發(fā)表或未經(jīng)發(fā)表的成果、數(shù)據(jù)、觀點(diǎn)等均已明確注明出處.除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外,不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的科研成果.本聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān).論文作者簽名: 年 月 日 論文指導(dǎo)教師簽名:函數(shù)極值求法及其應(yīng)用馬富榮（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 甘肅 天水 741000）摘 要:函數(shù)極值是函數(shù)性態(tài)的一個(gè)重要內(nèi)容,在許多數(shù)學(xué)問題中都有應(yīng)用.為此,本文不僅論述了一元函數(shù)和多元函數(shù)極值的求法及其應(yīng)用,而且對(duì)泛函極值的求法做了簡單的探討,并給出了相關(guān)的應(yīng)用.關(guān)鍵詞: 函數(shù)極值; 條件極值; 泛函極值; 應(yīng)用the function extreme value method and its applicationma furong(school of mathematics and statistics tianshui normal university,tianshui 741001,china)abstract: the function extreme value function nature form is an important content of the state, in many math problems have applications. for this reason, this paper not only discusses the function and multiple function the extreme value of the method and its application, and the method of functional extreme value to a simple discussion, and give the relevant application. key words: the function extreme value, conditional extreme, functional extreme ,application目 錄引言11.一元函數(shù)的極值1 1.1一元函數(shù)的極值第一充分條件1 1.2一元函數(shù)的極值第二充分條件2 1.3一元函數(shù)的極值第三充分條件22.多元函數(shù)的極值3 2.1.二元函數(shù)極值3 2.1.1二元函數(shù)取極值的充分條件4 2.2 元函數(shù)極值5 2.2.1.利用二次型求多元函數(shù)極值5 2.2.2.利用梯度及內(nèi)積計(jì)算多元函數(shù)的極值6 2.2.3利用方向?qū)?shù)判斷多元函數(shù)的極值7 2.3函數(shù)極值的應(yīng)用(用極值的方法證明不等式)83.條件極值9 3.1條件極值的解法93.2利用條件極值證明不等式124.泛函極值及其應(yīng)用13 4.1泛函的定義13 4.2相對(duì)極值13 4.2.1絕對(duì)極值與相對(duì)極值的定義13 4.2.2相對(duì)極值的必要條件13 4.3 泛函極值的應(yīng)用15 4.3.1 最小旋轉(zhuǎn)面問題15 4.3.2最速降線問題 16結(jié)束語17參考文獻(xiàn)18致謝19數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2012屆畢業(yè)論文函數(shù)極值求法及其應(yīng)用馬富榮（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 甘肅 天水 741000）摘 要:函數(shù)極值是函數(shù)性態(tài)的一個(gè)重要內(nèi)容,在許多數(shù)學(xué)問題中都有應(yīng)用.為此,本文不僅論述了一元函數(shù)和多元函數(shù)極值的求法及其應(yīng)用問題,而且對(duì)泛函極值的求法做了簡單的探討,并給出了相關(guān)的應(yīng)用.關(guān)鍵詞: 函數(shù)極值; 條件極值; 泛函極值; 應(yīng)用引言 函數(shù)的極值問題是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容.在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中起著橋梁的作用,也是研究函數(shù)變化形態(tài)的紐帶,在微積分學(xué)中占有很重要的地位.在各類大型考試中,極值也是重要的考點(diǎn),常以該知識(shí)點(diǎn)的證明及應(yīng)用出現(xiàn).函數(shù)極值問題也是培養(yǎng)發(fā)散思維與創(chuàng)新性思維的重要手段之一,能有效提高解題和應(yīng)用能力.鑒于其解法較為靈活、綜合性強(qiáng)、能力要求高.故在解決這類問題時(shí),要求掌握很多數(shù)學(xué)知識(shí),綜合應(yīng)用各種數(shù)學(xué)技能,靈活選擇合理的解題方法.1一元函數(shù)的極值定義 設(shè)函數(shù)在的某領(lǐng)域u（）內(nèi)有定義.如果對(duì)于取心鄰域u（）內(nèi)的任,有或.那么就稱是函數(shù)的一個(gè)極大值或極小值.(將改為,則稱為嚴(yán)格極大值或嚴(yán)格極小值).1.1一元函數(shù)的極值第一充分條件設(shè)函數(shù)在處連續(xù)且在的某去心鄰域u（）內(nèi)可導(dǎo).（1）若(, )時(shí), 0,而(,)時(shí), 0,則在處極大.（2）若x(,)時(shí), 0,則在處極小.（3）若u(,)時(shí),符號(hào)保持不變,則在處沒有極值.例1 求=的極值.解 先求導(dǎo)數(shù) 再求出駐點(diǎn):當(dāng)時(shí),.判斷函數(shù)的極值如下表所示:x+00+0+極大極小無所以在x=-2時(shí)取極大值,在時(shí)取極小值.1.2一元函數(shù)的極值第二充分條件設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有二階導(dǎo)數(shù),且=0,0.則:（1）當(dāng)0,函數(shù)在點(diǎn)取極小值.（3）當(dāng)=0,其情形不一定.例2. 求函數(shù)的極值.解 由得的駐點(diǎn)為.=,所以在處取得極小值,在處由第二充分條件無法判定,由第一充分條件得:在處都沒有極值.1.3一元函數(shù)的極值第三充分條件設(shè)任意函數(shù)在有階導(dǎo)數(shù),且直到導(dǎo)數(shù)都為零,而階導(dǎo)數(shù)不為零.（1）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)在取極值,當(dāng) ()0時(shí)取極小值. （2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)在點(diǎn)不取得極值.上面給出了求函數(shù)極值的3種充分條件,第1充分條件適合于所有的連續(xù)函數(shù),第3充分條件也就是第2充分條件的特殊情況,每種求極值的充分條件的方法和步驟都是一樣的.結(jié)論 一元函數(shù)求極值的方法步驟（1）求可疑點(diǎn),可以點(diǎn)包括:（）穩(wěn)定點(diǎn)（亦稱為駐點(diǎn)或逗留點(diǎn),皆指一階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)）;（）導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn);（）區(qū)間端點(diǎn).（2）對(duì)可疑點(diǎn)進(jìn)行判斷,其方法是:（）直接利用定義判斷;（）利用實(shí)際背景來判斷;（）查看一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào),當(dāng)從左向右穿越可疑點(diǎn)時(shí),若的符號(hào):a.由“正”變?yōu)椤柏?fù)”,則為嚴(yán)格極大值;b.由“負(fù)”變?yōu)椤罢?則為嚴(yán)格極小值;c.不變號(hào),則不是極值. ()若=0, （）若為偶數(shù),則為極值:若為奇數(shù),則不是極值.2.多元函數(shù)的極值2.1 二元函數(shù)極值在現(xiàn)實(shí)的社會(huì)研究中,關(guān)系到二元函數(shù)極值的問題更為廣泛,他與踐聯(lián)系的更緊密,所以研究二元函數(shù)的極值意義是重大的.定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義,對(duì)于該領(lǐng)域內(nèi)異于的點(diǎn);如果適合不等式,則稱函數(shù)在點(diǎn)有極大值;如果都適合不等式 0,則在點(diǎn)取得極大值; （）若0,則在點(diǎn)取得極大值; （）若0)于是求的條件極值轉(zhuǎn)化為求在方程組（4）及題設(shè)條件下的極值.由條件故方程組（4）關(guān)于有非零解,可得其系數(shù)行列式為零,即有展開化簡可得 (5)是方程(7)的零解,由于 (0),故應(yīng)舍去,由此可得即滿足二次方程 此方程有兩個(gè)正根, 設(shè)可得. 3.2利用條件極值證明不等式若求得在條件之下的最大值為,那么我們就獲得了不等式.例12. 求時(shí),函數(shù)+2+3在球面上的極大值,證明為整實(shí)數(shù)時(shí),.證明 設(shè)令解得因?yàn)樵谇蛎嫖挥诘谝回韵薜牟糠稚线B續(xù),在這部分的邊界線上, 分別為零. +2+3為負(fù)無窮大,故的最大值只能在這部分內(nèi)達(dá)到,而是唯一的可疑點(diǎn),所以的最大值為 于是,故兩邊同時(shí)平方,并用代入得: 4.泛函極值及其應(yīng)用4.1泛函的定義 設(shè)是給定的某一類函數(shù),如果對(duì)這類函數(shù)中每一個(gè)函數(shù)都有一個(gè)函數(shù)值與之相對(duì)應(yīng),則稱是這類函數(shù)的泛函.4.2 相對(duì)極值4.2.1相對(duì)極值的定義 設(shè)屬于某個(gè)可取函數(shù)類,是類中任意函數(shù), 如果某個(gè)函數(shù)限于的某一領(lǐng)域,且使得泛函(或),這種極值稱為相對(duì)極小值(或相對(duì)極小值).使泛函取得極值或穩(wěn)定值的函數(shù)或曲線叫做極端函數(shù).4.2.2相對(duì)極值的必要條件定理4 若果泛函在上實(shí)現(xiàn)相對(duì)極值,則泛函在上的變分(這里可以是單變量,也可以是多變量).證明 根據(jù)泛函極值的定義,如果在上實(shí)現(xiàn)相對(duì)極值,則存在的一個(gè)領(lǐng)域,對(duì)于該領(lǐng)域內(nèi)的任一函數(shù),必然使得泛函增量不變號(hào).又由于當(dāng)充分光滑時(shí),上式可展成 =,式中,.如果令,式中是任意選定的函數(shù),是一個(gè)實(shí)參數(shù)(一般取很小的值,例如可設(shè)).則由于和是確定的了,所以實(shí)際是數(shù)值變量的普通函數(shù),將按展開得:其中,如果,則可把取得充分小,使的符號(hào)與的相同,然后改變的正負(fù)號(hào).這樣一來,就不可能在上取的相對(duì)極值了,與已知矛盾,故必須,即.定理5 如果泛函的定義域中每一元素都是一條光滑曲線,且滿足邊界條件:在曲線達(dá)到極值,則必為微分方程的解.例13. 求泛函的極值曲線.解 因?yàn)樗臍W拉方程為,于是有 如果令,則有又因,所以積分之,則得.這就是說,泛函的極值曲線是一簇中心在縱坐標(biāo)軸上的圓.4.3泛函極值的應(yīng)用4.3.1最小旋轉(zhuǎn)面問題例14. 在以點(diǎn),點(diǎn)(設(shè))為端點(diǎn)的所有光滑曲線中,求一曲線使它繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí)所的旋轉(zhuǎn)曲面的面積最小.以表示任一可取曲線,于是繞軸所得旋轉(zhuǎn)面面積 .因中不顯含,其歐拉方程降階后如下化減后,得到現(xiàn)在令,則,因?yàn)?所以從而 于是所求的極值曲線的參數(shù)方程為 消去參數(shù),得這是一條懸鏈線,式中的常數(shù)、由端點(diǎn)條件確定.4.3.2最速降線問題在豎直平面上將給定兩點(diǎn)和用一條光滑的金屬線相連,一質(zhì)量為質(zhì)點(diǎn)以初速度由點(diǎn)沿金屬線滑動(dòng),問金屬線為何種形狀時(shí),質(zhì)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)所需的時(shí)間最少？ 解 現(xiàn)在建立這個(gè)數(shù)學(xué)模型,取為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),軸置與水平位置,軸正向朝下.顯然,最速降限應(yīng)在這個(gè)平面內(nèi).于是點(diǎn)的坐標(biāo)就是.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.取連接和的曲線方程為 它在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)滿足條件 則有能量守恒定理得 設(shè)為曲線的運(yùn)動(dòng)方程,指點(diǎn)沿著該曲線有點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn),指點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度表示為 由式消去并積分,得質(zhì)點(diǎn)由運(yùn)動(dòng)到所需的時(shí)間為顯然, 是依賴于函數(shù)的函數(shù), 取不同的函數(shù), 也就有不同的值與之對(duì)應(yīng).這樣,最速降線問題在數(shù)學(xué)上就歸結(jié)為在滿足條件的所有函數(shù)中,求使得積分公式取最小值的函數(shù).上述問題實(shí)際是求泛函滿足邊界條件的極值曲線,因?yàn)椴缓?所以歐拉方程首次積分為令,將上式化簡,得 令,則方程化為又因積分,得 由邊界條件,得.令則得到最速降限問題的解為上述方程是擺線(也稱旋輪線)的參數(shù)方程,其中是由邊界條件來確定的.因此曲線是以半徑為的圓沿軸滾動(dòng)時(shí)圓周上的一點(diǎn)所描述的曲線中的一段.結(jié)束語本文不僅給出了一元、多元函數(shù)極值及條件極值的求法和在不等式證明中的應(yīng)用.此外還給出了泛函極值的定義及在求最小旋轉(zhuǎn)曲面和最速降限問題中的應(yīng)用.本文有利于初學(xué)者對(duì)函數(shù)極值的研究學(xué)習(xí).泛函極值的應(yīng)用非常廣泛,但判斷是否有解的條件相對(duì)復(fù)雜,本文沒有涉及.參考文獻(xiàn)1 楊守廉.數(shù)學(xué)分析m.北京師范學(xué)院出版社.1987年.108165.2 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第2版)m.北京:高等教育出版社,2002.3 錢偉長.變分法及有限元（上冊(cè)）m .科學(xué)出版社,1980.4 寧榮健.談條件極值問題的充分條件j.高等數(shù)學(xué)研究,2005,8(2):40-43.5 汪元倫.兩類多元函數(shù)條件極值的簡捷求法j.綿陽師范學(xué)院學(xué)報(bào),2008,27(2):14-15.6 唐軍強(qiáng).用方向?qū)?shù)法求解多元函數(shù)極值j.科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào),2008,(15):246-247.致謝 經(jīng)過半年的忙碌和工作,本次畢業(yè)論文設(shè)計(jì)已經(jīng)接近尾聲,作為一名本科生,由于經(jīng)驗(yàn)的匱乏,難免有許多考慮不周全的地方,如果沒有指導(dǎo)師的督促指導(dǎo),以及一起學(xué)習(xí)的 同學(xué)們的支持,想要完成這篇論文是難以想象的. 在論文寫作過程中,得到了楊老師的親切關(guān)懷和耐心的指導(dǎo).他嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度,嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神,精益求精的工作作風(fēng),深深地感染和激勵(lì)著我.從課題的選擇到項(xiàng)目的最終完成,楊老師都始終給予我細(xì)心的指導(dǎo)和不