2012高考數(shù)學(xué)必考題型解答策略：立體幾何（ 2013高考） .doc

立體幾何解答策略命題趨勢(shì)立體幾何在數(shù)學(xué)高考中占有重要的地位，近幾年高考對(duì)立體幾何考察的重點(diǎn)與難點(diǎn)穩(wěn)定（也是考生的基本得分點(diǎn)）：高考始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行的判斷與性質(zhì)、垂直的判斷與性質(zhì)作為考察的重點(diǎn)。新課標(biāo)教材對(duì)立體幾何要求雖有所降低，但考察的重點(diǎn)一直沒(méi)有變，常?？疾炀€線、線面、面面的平行與垂直的位置關(guān)系和空間角與距離的計(jì)算。（1）從考題的數(shù)量看，一般為2-3題，其中一大一小的設(shè)置更符合課時(shí)比例；從所占分值來(lái)看，同一省份不同年份差異不大，不同省份略有差異。（2）文理科差異較大，文科以三視圖、面積與體積、平行與垂直關(guān)系的判斷與證明為主要的考查對(duì)象，三視圖幾乎每年必考（其實(shí)，三視圖是考察學(xué)生空間想象能力的良好素材，大部分省份的情況是文、理同題，位置調(diào)整難度）。（3）理科在文科的基礎(chǔ)上重點(diǎn)考查空間角的計(jì)算，由此可見(jiàn)“空間角的計(jì)算”受到的關(guān)注程度最高，與考綱要求吻合。解答題的命制特點(diǎn)是“一題兩法”，各地標(biāo)準(zhǔn)答案都給出了向量解法。（4）在“空間角”的考查中，主要考查的是“二面角”，高于教材要求，但對(duì)線面角的考查也有加大的趨勢(shì)。預(yù)測(cè)2012年高考的可能情況是： (1)以選擇題或者填空題的形式考查空間幾何體的三視圖以及表面積和體積的計(jì)算對(duì)空間幾何體的三視圖的考查有難度加大的趨勢(shì)，通過(guò)這個(gè)試題考查考生的空間想象能力；空間幾何體的表面積和體積計(jì)算以三視圖為基本載體，交匯考查三視圖的知識(shí)和面積、體積計(jì)算，試題難度中等 (2)以解答題的方式考查空間線面位置關(guān)系的證明，在解答題中的一部分考查使用空間向量方法求解空間的角和距離，以求解空間角為主，特別是二面角備考建議(1)空間幾何體：該部分要牢牢抓住各種空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)對(duì)各種空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的了解，認(rèn)識(shí)各種空間幾何體的三視圖和直觀圖，通過(guò)三視圖和直觀圖判斷空間幾何體的結(jié)構(gòu)，在此基礎(chǔ)上掌握好空間幾何體的表面積和體積的計(jì)算方法 (2)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系：該部分的基礎(chǔ)是平面的性質(zhì)、空間直線與直線的位置關(guān)系，重點(diǎn)是空間線面平行和垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)，面面平行和垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)在復(fù)習(xí)中要牢牢掌握四個(gè)公理和八個(gè)定理及其應(yīng)用，重點(diǎn)掌握好平行關(guān)系和垂直關(guān)系的證明方法(3)空間向量與立體幾何：由于有平面向量的基礎(chǔ)，空間向量部分重點(diǎn)掌握好空間向量基本定理和共面向量定理，在此基礎(chǔ)上把復(fù)習(xí)的重心放在如何把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量問(wèn)題的方法，并注重運(yùn)算能力的訓(xùn)練解答策略立體幾何解題過(guò)程中，常有明顯的規(guī)律性 ，所以復(fù)習(xí)中必需對(duì)概念、定理、題型、方法進(jìn)行總結(jié)、歸類，進(jìn)而建立知識(shí)框架和網(wǎng)絡(luò)，弄清各概念之間的包含關(guān)系，理清定理的來(lái)龍去脈和相互轉(zhuǎn)化的過(guò)程，從內(nèi)涵和外延上區(qū)分容易混淆的各個(gè)概念、從條件、結(jié)論和使用范圍上去區(qū)分容易混淆的各個(gè)定理。比如說(shuō)，“中點(diǎn)”這個(gè)條件在題目中出現(xiàn)的頻率相當(dāng)高，這個(gè)現(xiàn)象背后肯定有規(guī)律！道理很簡(jiǎn)單，因?yàn)橹悬c(diǎn)如果連到另一個(gè)中點(diǎn)，就會(huì)出現(xiàn)中位線，然后自然會(huì)出現(xiàn)平行關(guān)系了，如果出現(xiàn)在等腰（或等邊）三角形的底邊上，那就是出垂直了。所以中點(diǎn)聯(lián)系到了平行和垂直兩大位置關(guān)系，能夠利用這些規(guī)律去解決問(wèn)題，會(huì)使我們思路更加明確而避免走彎路。1位置關(guān)系：（1）兩條異面直線相互垂直 證明方法：證明兩條異面直線所成角為90；證明線面垂直，得到線線垂直；證明兩條異面直線的方向量相互垂直。（2）直線和平面相互平行 證明方法：證明直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線相互平行；證明這條直線的方向量和這個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)向量相互平行；證明這條直線的方向量和這個(gè)平面的法向量相互垂直。（3）直線和平面垂直 證明方法：證明直線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，證明直線的方向量與這個(gè)平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量都垂直；證明直線的方向量與這個(gè)平面的法向量相互平行。（4）平面和平面相互垂直 證明方法：證明這兩個(gè)平面所成二面角的平面角為90；證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直于另外一個(gè)平面；證明兩個(gè)平面的法向量相互垂直。2求距離：求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面的距離，直線到平面的距離和兩個(gè)平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離，一個(gè)點(diǎn)到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。（1）兩條異面直線的距離 求法：利用公式法。（2）點(diǎn)到平面的距離 求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來(lái)。等體積法。向量法。 3求角 （1）兩條異面直線所成的角 求法：先通過(guò)其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過(guò)解三角形去求得；通過(guò)兩條異面直線的方向量所成的角來(lái)求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是，向量所成的角范圍是，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。（2）直線和平面所成的角 求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來(lái)。向量法，先求直線的方向量于平面的法向量所成的角，那么所要求的角為或。（3）平面與平面所成的角 求法：“一找二證三求”，找出這個(gè)二面角的平面角，然后再來(lái)證明我們找出來(lái)的這個(gè)角是我們要求的二面角的平面角，最后就通過(guò)解三角形來(lái)求。向量法，先求兩個(gè)平面的法向量所成的角為，那么這兩個(gè)平面所成的二面角的平面角為或。典型例題考點(diǎn)一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖、直觀圖例1：已知四棱錐的三視圖如下圖所示，其中主視圖、側(cè)視圖是直角三角形，俯視圖是有一條對(duì)角線的正方形.是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)（）求證：（）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值； （）若五點(diǎn)在同一球面上，求該球的體積. (1)證明：由已知2分,又因?yàn)椋?4分(2)連ac交bd于點(diǎn)o，連po，由(1)知?jiǎng)t，為與平面所成的角. 8分,則 10分 (3)解：以正方形為底面，為高補(bǔ)成長(zhǎng)方體，此時(shí)對(duì)角線的長(zhǎng)為球的直徑，,. 【名師點(diǎn)睛】了解柱、錐、臺(tái)、球體及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中的簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)。能畫出簡(jiǎn)單空間幾何體的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖。能用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡(jiǎn)單空間幾何體的三視圖與直觀圖。了解空間幾何體的不同表示形式。會(huì)畫某建筑物的視圖與直觀圖?？臻g幾何體的結(jié)構(gòu)與視圖主要培養(yǎng)觀察能力、歸納能力和空間想象能力，能通過(guò)觀察幾何體的模型和實(shí)物，總結(jié)出柱、錐、臺(tái)、球等幾何體的結(jié)構(gòu)特征；能識(shí)別三視圖所表示的空間幾何體，會(huì)用材料制作模型，培養(yǎng)動(dòng)手能力?？键c(diǎn)二、空間幾何體的表面積和體積例2：如題（20）圖，在四面體中，平面abc平面， （）求四面體abcd的體積； （）求二面角c-ab-d的平面角的正切值。解法一：（i）如答（20）圖1，過(guò)d作dfac垂足為f，故由平面abc平面acd，知df平面abc，即df是四面體abcd的面abc上的高，設(shè)g為邊cd的中點(diǎn)，則由ac=ad，知agcd，從而由故四面體abcd的體積 （ii）如答（20）圖1，過(guò)f作feab，垂足為e，連接de。由（i）知df平面abc。由三垂線定理知deab，故def為二面角cabd的平面角。 在 在中，ef/bc，從而ef：bc=af：ac，所以 在rtdef中， 解法二：（i）如答（20）圖2，設(shè)o是ac的中點(diǎn)，過(guò)o作ohac，交ab于h，過(guò)o作omac，交ad于m，由平面abc平面acd，知ohom。因此以o為原點(diǎn)，以射線oh，oc，om分別為x軸，y軸，z軸的正半軸，可建立空間坐標(biāo)系oxyz.已知ac=2，故點(diǎn)a，c的坐標(biāo)分別為a（0，1，0），c（0，1，0）。 設(shè)點(diǎn)b的坐標(biāo)為，有 即點(diǎn)b的坐標(biāo)為 又設(shè)點(diǎn)d的坐標(biāo)為有 即點(diǎn)d的坐標(biāo)為從而acd邊ac上的高為 又 故四面體abcd的體積 （ii）由（i）知 設(shè)非零向量是平面abd的法向量，則由有 （1）由，有 （2） 取，由（1），（2），可得 顯然向量是平面abc的法向量，從而 即二面角cabd的平面角的正切值為【名師點(diǎn)睛】理解柱、錐、臺(tái)的側(cè)面積、表面積、體積的計(jì)算方法，了解它們的側(cè)面展開(kāi)圖，及其對(duì)計(jì)算側(cè)面積的作用，會(huì)根據(jù)條件計(jì)算表面積和體積。理解球的表面積和體積的計(jì)算方法。把握平面圖形與立體圖形間的相互轉(zhuǎn)化方法，并能綜合運(yùn)用立體幾何中所學(xué)知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題?？键c(diǎn)三、點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系例3：如圖1，在空間四邊形abcd中，點(diǎn)e、h分別是邊ab、ad的中點(diǎn)，f、g分別是邊bc、cd上的點(diǎn)，且，則（）（a）ef與gh互相平行（b）ef與gh異面（c）ef與gh的交點(diǎn)m可能在直線ac上，也可能不在直線ac上（d）ef與gh的交點(diǎn)m一定在直線ac上解：依題意，可得ehbd，fgbd，故ehfg，由公理2可知，e、f、g、h共面，因?yàn)閑hbd，故ehfg，所以，efgh是梯形，ef與gh必相交，設(shè)交點(diǎn)為m，因?yàn)辄c(diǎn)m在ef上，故點(diǎn)m在平面acb上，同理，點(diǎn)m在平面acd上，即點(diǎn)m是平面acb與平面acd的交點(diǎn)，而ac是這兩個(gè)平面的交線，由公理3可知，點(diǎn)m一定在 平面acb與平面acd的交線ac上。選（d）?！久麕燑c(diǎn)睛】理解空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，了解四個(gè)公理及其推論；空間兩直線的三種位置關(guān)系及其判定；異面直線的定義及其所成角的求法。通過(guò)大量圖形的觀察、實(shí)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)平面圖形到立體圖形的飛躍，培養(yǎng)空間想象能力。會(huì)用平面的基本性質(zhì)證明共點(diǎn)、共線、共面的問(wèn)題?？键c(diǎn)四、直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)例4：如圖，在直四棱柱abcd-abcd中，底面abcd為等腰梯形，ab/cd，ab=4, bc=cd=2, aa=2, e、e分別是棱ad、aa的中點(diǎn). w.w.w.c.o.m （1） 設(shè)f是棱ab的中點(diǎn),證明：直線ee/平面fcc；（2） 證明:平面d1ac平面bb1c1c.證明:（1）在直四棱柱abcd-abcd中，取a1b1的中點(diǎn)f1，連接a1d，c1f1，cf1，因?yàn)閍b=4, cd=2,且ab/cd，所以cda1f1，a1f1cd為平行四邊形，所以cf1/a1d，又因?yàn)閑、e分別是棱ad、aa的中點(diǎn)，所以ee1/a1d，e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d 所以cf1/ee1，又因?yàn)槠矫鎓cc，平面fcc，所以直線ee/平面fcc.（2）連接ac,在直棱柱中，cc1平面abcd,ac平面abcd,所以cc1ac,因?yàn)榈酌鎍bcd為等腰梯形，ab=4, bc=2, f是棱ab的中點(diǎn),所以cf=cb=bf，bcf為正三角形，,acf為等腰三角形，且所以acbc, 又因?yàn)閎c與cc1都在平面bb1c1c內(nèi)且交于點(diǎn)c,所以ac平面bb1c1c,而平面d1ac,所以平面d1ac平面bb1c1c.【名師點(diǎn)睛】掌握直線與平面平行、平面與平面平行的判定與性質(zhì)定理，能用判定定理證明線面平行、面面平行，會(huì)用性質(zhì)定理解決線面平行、面面平行的問(wèn)題。通過(guò)線面平行、面面平行的證明，培養(yǎng)學(xué)生空間觀念及及觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、探索、合情推理的能力?？键c(diǎn)五、直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例5：如圖，在四棱錐中，平面pad平面abcd，ab=ad，bad=60，e、f分別是ap、ad的中點(diǎn)求證：（1）直線ef平面pcd；（2）平面bef平面pad解析：（1）因?yàn)閑、f分別是ap、ad的中點(diǎn)，又直線ef平面pcd（2） f是ad的中點(diǎn)，又平面pad平面abcd，所以，平面bef平面pad。 【名師點(diǎn)睛】掌握直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)定理，能用判定定理證明線線垂直、線面垂直、面面垂直，會(huì)用性質(zhì)定理解決線面垂直、面面垂直的問(wèn)題。通過(guò)線面垂直、面面垂直的證明，培養(yǎng)學(xué)生空間觀念及及觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、探索、合情推理的能力?？键c(diǎn)六、空間中的夾角與距離例6：如圖，已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，點(diǎn)e在側(cè)棱上，點(diǎn)f在側(cè)棱上，且.()求證：()求二面角的大小.解析：（1）由已知可得于是有所以又所以平面cef.由cef，故cf（2）在cef中，由（1）可得于是有所以cfef.又由（1）知，且，所以cf平面c1ef.又平面c1ef，故cfc1f.于是efc1即為二面角e-cf-c1的平面角.由（1）知cef是等腰直角三角形，所以efc1=450，即所求二面角e-cf-c1的大小為450.【名師點(diǎn)睛】空間中的各種角包括異面直線所成的角，直線與平面所成的角和二面角，要理解各種角的概念定義和取值范圍，其范圍依次為0，90、0，90和0，180。（1）兩條異面直線所成的角求法：先通過(guò)其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過(guò)解三角形去求得；通過(guò)兩條異面直線的方向量所成的角來(lái)求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是，向量所成的角范圍是，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角（2）直線和平面所成的角求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來(lái)。除特殊位置外，主要是指平面的斜線與平面所成的角，根據(jù)定義采用“射影轉(zhuǎn)化法”（3）二面角的度量是通過(guò)其平面角來(lái)實(shí)現(xiàn)的解決二面角的問(wèn)題往往是從作出其平面角的圖形入手，所以作二面角的平面角就成為解題的關(guān)鍵。通常的作法有：（）定義法；（）利用三垂線定理或逆定理；（）自空間一點(diǎn)作棱垂直的垂面，截二面角得兩條射線所成的角，俗稱垂面法此外，當(dāng)作二面角的平面角有困難時(shí)，可用射影面積法解之，cos q ，其中s 為斜面面積，s為射影面積，q 為斜面與射影面所成的二面角空間中的距離是立體幾何的重要內(nèi)容，其內(nèi)容主要包括：點(diǎn)點(diǎn)距，點(diǎn)線距，點(diǎn)面距，線線距，線面距，面面距。其中重點(diǎn)是點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距以及兩異面直線間的距離因此，掌握點(diǎn)、線、面之間距離的概念，理解距離的垂直性和最近性，理解距離都指相應(yīng)線段的長(zhǎng)度，懂得幾種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，所有這些都是十分重要的求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面的距離，直線到平面的距離和兩個(gè)平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離，一個(gè)點(diǎn)到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來(lái)。等體積法。突破訓(xùn)練1、如圖，四棱錐p-abcd中，底面abcd為平行四邊形，（1）證明：;(2) 設(shè)求棱d-pbc錐的高.解：(1)證明：在三角形abd中，因?yàn)樵撊切螢橹苯侨切危?（2）如圖，作，又，由題設(shè)知而,即所求高為2、如圖3，在圓錐中，已知的直徑的中點(diǎn)（i）證明：（ii）求直線和平面所成角的正弦值解析：（i）因?yàn)橛謨?nèi)的兩條相交直線，所以（ii）由（i）知，又所以平面在平面中，過(guò)作則連結(jié)，則是上的射影，所以是直線和平面所成的角在，在3、如圖，四邊形abcd為正方形，qa平面abcd，pdqa，qa=ab=pd。（i）證明：pq平面dcq；（ii）求棱錐q-abcd的體積與棱錐p-dcq的體積的比值。解析：（i）由條件知，pdaq是直角梯形，因?yàn)閍q平面abcd,所以平面pdaq平面abcd,交線是ad。又四邊形abcd是正方形，dcad,所以dc平面pdaq，可得pqdc。在直角梯形pdaq中可得dq=pq=pd，則pqqd.所以pq平面pcq.（ii）設(shè)ab=a。由題設(shè)知aq為棱錐q-abcd的高，所以棱錐q-abcd的體積。由（i）知pq為棱錐p-qcd的高，而pq=a，dcq的面積為a2，所以棱錐p-dcq的體積，故棱錐q-abcd的體積和棱錐p-dcq的體積的比值為1.4、如圖,在四棱錐p-abcd中,底面abcd為平行四邊形,ad=ac=1,o為ac的中點(diǎn),po平面abcd,po=2,為pd的中點(diǎn).()證明pb平面;()證明ad平面pac;()求直線與平面abcd所成角的正切值.【解析】()證明:連接bd,mo.在平行四邊形abcd中,因?yàn)閛為ac的中點(diǎn),所以o為bd的中點(diǎn),又m為pd的中點(diǎn),所以pbmo,因?yàn)閜b平面,平面,所以pb平面.()證明:因?yàn)?ad=ac=1,所以adac,又po平面abcd,ad平面abcd,所以poad,而,所以ad平面pac.()取do點(diǎn)n,連接mn,an,因?yàn)閙為pd的中點(diǎn),所以mnpo,且mn=po=1,由po平面abcd,得mn平面abcd,所以是直線am與平面abcd所成的角.在中,ad=1,ao=,所以,從而.在中, ,即直線與平面abcd所成角的正切值為.5、如圖，四棱錐的底面是正方形，點(diǎn)e在棱pb上（）求證：平面 （）當(dāng)且e為pb的中點(diǎn)時(shí)，求ae與平面pdb所成的角的大小.【解1】（）四邊形abcd是正方形，acbd，pdac，ac平面pdb，平面.（）設(shè)acbd=o，連接oe， 由（）知ac平面pdb于o，aeo為ae與平面pdb所的角， o，e分別為db、pb的中點(diǎn)，oe/pd，又， oe底面abcd，oeao， 在rtaoe中， ，即ae與平面pdb所成的角的大小為.【解法2】如圖，以d為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)則，（），acdp，acdb，ac平面pdb，平面.（）當(dāng)且e為pb的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)acbd=o，連接oe， 由（）知ac平面pdb于o， aeo為ae與平面pdb所的角，即ae與平面pdb所成的角的大小為.6、如圖，在四棱錐中，平面，平分，為的中點(diǎn)，（1）證明：平面（2）證明：平面（3）求直線與平面所成角的正切值【解析】 證明：設(shè)，連結(jié)eh，在中，因?yàn)閍d=cd，且db平分，所以h為ac的中點(diǎn)，又有題設(shè)，e為pc的中點(diǎn)，故,又,所以（2）證明：因?yàn)?，所以由?）知，,故(3)解：由可知，bh為bc在平面pbd內(nèi)的射影，所以為直線與平面pbd所成的角。由,在中，,所以直線bc與平面pbd所成的角的正切值為。7、如圖5，在椎體中，是邊長(zhǎng)為1的棱形，且,分別是的中點(diǎn)，（1） 證明：（2）求二面角的余弦值。【解析】8、如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，平面，垂足落在線段上.（）證明：；（）已知，.求二面角的大小.【解析】：（） （）在平面內(nèi)作得平面，所以，在中，得在中，在中，所以得，在中，得又從而故同理，因?yàn)樗约炊娼堑拇笮?、如圖，平面，分別為的中點(diǎn)（i）證明：平面；（ii）求與平面所成角的正弦值（）證明：連接， 在中，分別是的中點(diǎn)，所以， 又，所以，又平面acd ，dc平面acd， 所以平面acd（）在中，所以 而dc平面abc，所以平面abc 而平面abe， 所以平面abe平面abc， 所以平面abe由（）知四邊形dcqp是平行四邊形，所以 所以平面abe， 所以直線ad在平面abe內(nèi)的射影是ap， 所以直線ad與平面abe所成角是 在中， ，所以10、如圖，正方形abcd所在平面與平面四邊形abef所在平面互相垂直，abe是等腰直角三角形，ab=ae,fa=fe,aef=45.m（）求證：ef平面bce；（）設(shè)線段cd、ae的中點(diǎn)分別為p、m，求證：pm平面bce；（）求二面角f-bd-a的大小.解法一：（）因?yàn)槠矫嫠砸驗(yàn)闉榈妊苯侨切危?所以即因?yàn)? ,所以()取be的中點(diǎn)n，連結(jié)所以為平行四邊形，所以因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，不在平面內(nèi)，所以()由作交的延長(zhǎng)線與則，作因此為二面角的平面角因此所以設(shè) 在rtbgh中g(shù)bh=,bg=ab+ag=1+=。在rtfgh中，故二面角f-bd-a的大小為.12分解法二：（）因?yàn)閍be為等腰直角三角形，ab=ae，所以aeab,又因?yàn)槠矫鎍bef平面abcd，ae平面abef平面abef 平面abcd= ab所以ae平面abcd所以aead因此，ad，ab，ae兩兩垂直，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)ab=1，則ae=1，b（0，1，0），d（1，0，0），e（0，0，1），c（1，1，0）因?yàn)閒a=fe，aef=,所以aef=.從而，f（0，）.所以efbe，efbc.因?yàn)閎e平面bce，bc平面bce，bcbe=b，所以ef平面bce4分（）m（0，0，）.p（1, ,0）.從而=（，）.于是所以pmfe，又ef平面bce，直線pm不在平面bce內(nèi)，故pm平面bce.8分（）設(shè)平面bdf的一個(gè)法向量為，并設(shè)=（x，y，z）=(1，1，0)， 即去y=1，則x=1，z=3，從=（0，0，3）取平面abd的一個(gè)法向量為=（0，0，1）故二面角f-bd-a的大小為.12分11、如題（19）圖，在四棱錐s-abcd中，adbc且adcd；平面csd平面abcd，cs ds，cs=2ad=2；e為bs的中點(diǎn)，ce=，as=求：（）點(diǎn)a到平面bcs的距離；（）二面角e-cd-a的大小。解：（）因?yàn)閍dbc，且bc平面bcs，所以ad平面bcs，從而a點(diǎn)到平面bcs的距離等于d點(diǎn)到平面bcs的距離。因?yàn)槠矫鎐sd平面abcd，adcd，故ad平面csd，從而adds，由adbc，得bcds，又由csds，又由csds知ds平面bcs，從而ds為點(diǎn)a到平面bcs的距離。因此，在rtads中，（）如答（19）圖1，過(guò)e點(diǎn)作egcd，交cd于點(diǎn)g，又過(guò)g點(diǎn)作ghcd，交ab于h，故egh為二面角e-cd-a的平面角，記為，過(guò)e點(diǎn)作efbc，交cs于點(diǎn)f，連結(jié)gf，因平面abcd平面csd，ghcd，易知ghgf，故由于e為bs邊中點(diǎn)，故cf=中，fgcd，從而又可得cgfcsd，因此，而在csd中，cd=故 在，故所求二面角的大小為解法一：（）因?yàn)閍d/bc,且所以從而a點(diǎn)到平面的距離等于d點(diǎn)到平面的距離。因?yàn)槠矫婀?從而，由ad/bc，得,又由知，從而為點(diǎn)a到平面的距離，因此在中 ()如答（19）圖1，過(guò)e電作交于點(diǎn)g，又過(guò)g點(diǎn)作,交ab于h，故為二面角的平面角，記為，過(guò)e點(diǎn)作ef/bc,交于點(diǎn)f,連結(jié)gf,因平面,故.由于e為bs邊中點(diǎn)，故,在中，,因，又故由三垂線定理的逆定理得,從而又可得因此而在中，在中，可得，故所求二面角的大小為解法二：（）如答（19）圖2，以s(o)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線od,oc分別為x軸，y軸正向，建立空間坐標(biāo)系，設(shè)，因平面即點(diǎn)a在xoz平面上，因此又因ad/bc，故bc平面csd，即bcs與平面yox重合，從而點(diǎn)a到平面bcs的距離為.()易知c(0,2,0)，d(,0,0). 因e為bs的中點(diǎn).bcs為直角三角形 ,知 設(shè)b(0,2, )，0，則2，故b（0，2，2），所以e（0，1，1） .在cd上取點(diǎn)g，設(shè)g（），使gecd .由故 又點(diǎn)g在直線cd上，即，由=（），則有聯(lián)立、，解得g,故=.又由adcd，所以二面角ecda的平面角為向量與向量所成的角，記此角為 .因?yàn)?，,所以 故所求的二面角的大小為 .12、如圖，在五面體abcdef中，fa 平面abcd, ad/bc/fe，abad，m為ec的中點(diǎn)，af=ab=bc=fe=ad (i) 求異面直線bf與de所成的角的大?。?ii) 證明平面amd平面cde；（iii）求二面角a-cd-e的余弦值【解析】 方法一（1）解：有題設(shè)知，,所以（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角.設(shè)p為ad的中點(diǎn)，連結(jié)ep,pc,因?yàn)閒e/ap, fe=ap,同理ab/pc,ab=pc,又，所以，而pc,ad，都在平面abcd內(nèi)，故,由設(shè)fa=a，則ep=pc=pd=a，cd=de=ec=，故=，所以異面直線bf與de所成的角為。（2）證明：因?yàn)閐c=de，且m為ce的中點(diǎn)，所以，連結(jié)mp，則又因?yàn)閙pdm=m,故,而，所以平面(3)解：設(shè)q為cd的中點(diǎn)，連結(jié)pq,eq，因?yàn)閏e=de,所以,因?yàn)閜c=pd，所以，故為二面角a-cd-e的平面角。由（1）可得，于是在中， ,所以二面角a-cd-e的余弦值為。13、如圖，四棱錐s-abcd 的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，p為側(cè)棱sd上的點(diǎn)。 （）求證：acsd；（）若sd平面pac，求二