一元二次方程試題及答案.doc

shuaitai2010一元二次方程根與系數的關系一、選擇題1. （2011南通）若3是關于方程x25xc0的一個根，則這個方程的另一個根是（）A、2B、2 C、5D、5分析：由根與系數的關系，即3加另一個根等于5，計算得解答：解：由根與系數的關系，設另一個根為x，則3+x=5，即x=2故選B點評：本題考查了根與系數的關系，從兩根之和出發(fā)計算得2. （2011南昌，9，3分）已知x=1是方程x2+bx2=0的一個根，則方程的另一個根是（ ）A.1 B.2 C.2 D.1分析：根據根與系數的關系得出x1x2=2，即可得出另一根的值解答：解：x=1是方程x2+bx2=0的一個根，x1x2=2，1x2=2，則方程的另一個根是：2，故選C點評：此題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，得出兩根之積求出另一根是解決問題的關鍵3. （2011湖北荊州，9，3分）關于x的方程ax2（3a+1）x+2（a+1）=0有兩個不相等的實根x1、x2，且有x1x1x2+x2=1a，則a的值是（）A、1 B、1 C、1或1 D、2分析：根據根與系數的關系得出x1+x2= ba，x1x2= ca，整理原式即可得出關于a的方程求出即可解答：解：依題意0，即（3a+1）28a（a+1）0，即a22a+10，（a1）20，a1，關于x的方程ax2（3a+1）x+2（a+1）=0有兩個不相等的實根x1、x2，且有x1x1x2+x2=1a，x1x1x2+x2=1a，x1+x2x1x2=1a， 3a+1a 2a+2a=1a，解得：a=1，又a1，a=1故選：B點評：此題主要考查了根與系數的關系，由x1x1x2+x2=1a，得出x1+x2x1x2=1a是解決問題的關鍵4. （2011湖北咸寧，6，3分）若關于x的方程x22x+m=0的一個根為1，則另一個根為（）A、3B、1C、1D、3分析：設方程另一個根為x1，根據一元二次方程根與系數的關系得到x1+（1）=2，解此方程即可解答：解：設方程另一個根為x1，x1+（1）=2，解得x1=3故選D點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根與系數的關系：若方程的兩根分別為x1，x2，則x1+x2=，x1x2=5. （2011貴港）若關于x的一元二次方程x2mx2=0的一個根為1，則另一個根為（）A、1B、1C、2D、2分析：根據一元二次方程的根與系數的關系x1x2=來求方程的另一個根解答：解：設x1、x2是關于x的一元二次方程x2mx2=0的兩個根，由韋達定理，得x1x2=2，即x2=2，解得，x2=2即方程的另一個根是2故選C點評：此題主要考查了根與系數的關系在利用根與系數的關系x1+x2=、x1x2=時，要注意等式中的a、b、c所表示的含義6. （2011年四川省綿陽市，12，3分）若x1，x2（x1x2）是方程（xa）（xb）=1（ab）的兩個根，則實數x1，x2，a，b的大小關系為（）A、x1x2ab B、x1ax2b C、x1abx2 D、ax1bx2分析：因為x1和x2為方程的兩根，所以滿足方程（xa）（xb）=1，再有已知條件x1x2、ab可得到x1，x2，a，b的大小關系解答：解：x1和x2為方程的兩根，（x1a）（x1b）=1且（x2a）（x2b）=1，（x1a）和（x1b）同號且（x2a）和（x2b）同號；x1x2，（x1a）和（x1b）同為負號而（x2a）和（x2b）同為正號，可得：x1a0且x1b0，x1a且x1b，x1a，x2a0且x2b0，x2a且x2b，x2b，綜上可知a，b，x1，x2的大小關系為：x1abx2故選C點評：本題考查了一元二次方程根的情況，若x1和x2為方程的兩根則代入一定滿足方程，對于此題要掌握同號兩數相乘為正；異號兩數相乘為負7 （2011年江西省，5，3分）已知x=1是方程x2+bx2=0的一個根，則方程的另一個根是（）A.1 B.2 C.2 D.1分析：根據根與系數的關系得出x1x2=2，即可得出另一根的值解答：解：x=1是方程x2+bx2=0的一個根，x1x2=2，1x2=2，則方程的另一個根是：2，故選C點評：此題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，得出兩根之積求出另一根是解決問題的關鍵8.（2011湖北武漢，5，3分）若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3=0的兩個根，則x1x2的值是（）A4B3C4D3分析：根據一元二次方程的根與系數的關系x1x2=解答并作出選擇解答：解：一元二次方程x2+4x+3=0的二次項系數a=1，常數項c=3，x1x2=3故選B點評：此題主要考查了根與系數的關系解答此題時，注意，一元二次方程的根與系數的關系x1x2=中的a與c的意義二、填空題1. （2011江蘇蘇州，15，3分）巳知a、b是一元二次方程x22x1=0的兩個實數根，則代數式（ab）（a+b2）+ab的值等于_考點：根與系數的關系專題：計算題分析：欲求（ab）（a+b2）+ab的值，先把此代數式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數值計算即可解答：解：a、b是一元二次方程x22x1=0的兩個實數根，ab=1，a+b=2，（ab）（a+b2）+ab=（ab）（22）+ab=0+ab=1，故答案為：1點評：此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法2. （2011江蘇鎮(zhèn)江常州，12，3分）已知關于x的方程x2+mx6=0的一個根為2，則m=1，另一個根是3分析：根據一元二次方程的解定義，將x=2代入關于x的方程x2+mx6=0，然后解關于m的一元一次方程；再根據根與系數的關系x1+x2=解出方程的另一個根解答：解：根據題意，得4+2m6=0，即2m2=0，解得，m=1；由韋達定理，知x1+x2=m；2+x2=1，解得，x2=3故答案是：13點評：本題主要考查了一元二次方程的解根與系數的關系在利用根與系數的關系x1+x2=x1x2=來計算時，要弄清楚abc的意義3. （2011山東日照，14，4分）如圖，在以AB為直徑的半圓中，有一個邊長為1的內接正方形CDEF，則以AC和BC的長為兩根的一元二次方程是如：x2x+1=0分析：連接AD，BD，OD，由AB為直徑與四邊形DCFE是正方形，即可證得ACDDCB，則可求得ACBC=DC2=1，又由勾股定理求得AB的值，即可得AC+BC=AB，根據根與系數的關系即可求得答案注意此題答案不唯一解答：解：連接AD，BD，OD，AB為直徑，ADB=90，四邊形DCFE是正方形，DCAB，ACD=DCB=90，ADC+CDB=A+ADC=90，A=CDB，ACDDCB，又正方形CDEF的邊長為1，ACBC=DC2=1，AC+BC=AB，在RtOCD中，OC2+CD2=OD2，OD=，AC+BC=AB=，以AC和BC的長為兩根的一元二次方程是x2x+1=0故答案為：此題答案不唯一，如：x2x+1=0點評：此題考查了正方形的性質，相似三角形的判定與性質以及根與系數的關系此題屬于開放題，注意數形結合與方程思想的應用4. （2011德州，14，4分）若x1，x2是方程x2+x1=0的兩個根，則x12+x22= 分析：先根據根與系數的關系求出x1+x2和x1x2的值，再利用完全平方公式對所求代數式變形，然后把x1+x2和x1x2的值整體代入計算即可解答：解：x1，x2是方程x2+x1=0的兩個根，x1+x2=1，x1x2=1，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=（1）22（1）=1+2=3故答案是：3點評：本題考查了根與系數的關系、完全平方公式解題的關鍵是先求出x1+x2和x1x2的值5. （2011四川眉山，17，3分）已知一元二次方程y23y+1=0的兩個實數根分別為y1、y2，則（y11）（y21）的值為1分析：先根據一元二次方程y23y+1=0的兩個實數根分別為y1、y2，求出y1+y2及y1y2的值，再代入（y11）（y21）進行計算即可解答：解：一元二次方程y23y+1=0的兩個實數根分別為y1y2，y1+y2=3，y1y2=1，（y11）（y21），=y1y2y1y2+1，=y1y2（y1+y2）+1，=13+1，=1故答案為：1點評：本題考查的是一元二次方程根與系數的關系及代數式求值，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根時，x1+x2=，x1x2=6. （2011四川瀘州，16，3分）已知關于x的方程x2+（2k+1）x+k22=0的兩實根的平方和等于11，則k的值為 分析：由題意設方程x2+（2k+1）x+k22=0兩根為x1，x2，得x1+x2=（2k+1），x1x2=k22，然后再根據兩實根的平方和等于11，從而解出k值解答：解：設方程方程x2+（2k+1）x+k22=0設其兩根為x1，x2，得x1+x2=（2k+1），x1x2=k22，=（2k+1）24（k22）=4k+90，k，x12+x22=11，（x1+x2）22 x1x2=11，（2k+1）22（k22）=11，解得k=1或3；k，故答案為k=1點評：此題應用一元二次方程根與系數的關系解題，利用兩根的和與兩根的積表示兩根的平方和，把求未知系數的問題轉化為解方程的問題7. （2011四川遂寧，12，4分）若x1、x2是方程x22x5=0的兩根，則x12+x1x2+x22=分析：由于方程x22x5=0的兩個實數根為x1，x2，所以直接利用根與系數的關系即可得到兩根之和和兩根之積，然后利用完全平方公式就可以求出x12+x1x2+x22的值解答：解：x1、x2是方程x22x5=0的兩根，x1+x2=2，x1x2=5， x12+x1x2+x22=（x1+x2）2x1x2=4+5=9故答案為9點評：此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法8. （2011四川省宜賓市，12，3分）已知一元二次方程x26x5=0兩根為a、b，則 + 的值是 分析：根據根與系數的關系，得到a+b=6，ab=5，把a+b和ab的值代入化簡后的代數式，求出代數式的值答案：解：a，b是一元二次方程的兩根，a+b=6，ab=5，+ = = = 故答案是： 解：a，b是一元二次方程的兩根，a+b=6，ab=5，+ = = = 故答案是： 點評：本題考查的是一元二次方程根與系數的關系，利用根與系數的關系求出代數式的值9.（2011杭州，15，4分）已知分式，當x=2時，分式無意義，則a= ；當a6時，使分式無意義的x的值共有 個分析：根據分式無意義的條件：分母等于零求解解答：解：由題意，知當x=2時，分式無意義，分母=x25x+a=2252+a=6+a=0，a=6；當x25x+a=0時，=524a=254a，a6，0，方程x25x+a=0有兩個不相等的實數根，即x有兩個不同的值使分式無意義故當a6時，使分式無意義的x的值共有2個故答案為6，2點評：本題主要考查了分式無意義的條件及一元二次方程根與系數的關系（2）中要求當a6時，使分式無意義的x的值的個數，就是判別當a6時，一元二次方程x25x+a=0的根的情況10. （2011廣西來賓，17，3分）已知一元二次方程的兩個實數根分別是。則= 分析：根據一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根與系數的關系：設方程的兩根分別為x1，x2，則x1+x2=，x1x2=即可得到答案解答：解：一元二次方程x2+mx2=0的兩個實數根分別為x1，x2，x1x2=2故答案為2點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根與系數的關系：設方程的兩根分別為x1，x2，則x1+x2=，x1x2=三、解答題1. （2011湖北潛江，17，6分）若關于x的一元二次方程x24xk30的兩個實數根為x1、x2，且滿足x13x2，試求出方程的兩個實數根及k的值分析：根據根與系數的關系（x1x2，x1x2）列出等式，再由已知條件“x13x2”聯(lián)立組成三元一次方程組，然后解方程組即可解答：解：由根與系數的關系，得x1x24 ，x1x2k3 （2分）又x13x2 ，聯(lián)立、，解方程組得（4分）kx1x233136（5分）答：方程兩根為x13，x21；k6（6分）點評：此題主要考查了根與系數的關系：x1x2，x1x2解答此題時，一定要弄清楚韋達定理中的a、b、c的意義2. （2011南充，18，8分）關于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的實數解是x1和x2（1）求k的取值范圍；（2）如果x1+x2x1x21且k為整數，求k的值分析：（1）方程有兩個實數根，必須滿足=b24ac0，從而求出實數k的取值范圍；（2）先由一元二次方程根與系數的關系，得x1+x2=2，x1x2=k+1再代入不等式x1+x2x1x21，即可求得k的取值范圍，然后根據k為整數，求出k的值解答：解：（1）方程有實數根，=224（k+1）0， 解得k0故K的取值范圍是k0（2）根據一元二次方程根與系數的關系，得x1+x2=2，x1x2=k+1x1+x2x1x2=2（k+1）由已知，得2（k+1）1，解得k2又由（1）k0，2k0k為整數，k的值為1和0 點評：本題綜合考查了根的判別式和根與系數的關系在運用一元二次方程根與系數的關系解題時，一定要注意其前提是此方程的判別式03. （2011湖南張家界，23，8）閱讀材料：如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根，那么， ，這就是著名的韋達定理現(xiàn)在我們利用韋達定理解決問題：已知m與n是方程2x26x+3=0的兩根（1）填空：m+n= ，mn= ；（2）計算的值分析：（1）直接根據韋達定理計算即可得到m+n和mn；（2）先把變形，用m+n和mn表示，然后把（1）的值整體代入進行計算即可解答：解：（1）答案為3，（2）=2點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根與系數的關系：若方程的兩根分別為x1，x2，則，4. （2011湖北孝感，22，10分）已知關于x的方程x22（k1）x+k2=0有兩個實數根x1，x2（1）求k的取值范圍；（2）若|x1+x2|=x1x21，求k的值分析：（1）方程有兩個實數根，可得=b24ac0，代入可解出k的取值范圍；（2）結合（1）中k的取值范圍，由題意可知，x1+x2=2（k1）0，去絕對值號結合等式關系，可得出k的值解答：解：（1）由方程有兩個實數根，可得=b24ac=4（k1）24k20，解得，k；（2）依據題意可得，x1+x2=2（k1），由（1）可知k，2（k1）0，2（k1）=k21，解得k1=1（舍去），k2=3，k的值是3答：（1）k的取值范圍是k；（2）k的值是3點評：本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式相結合解題是一種經常使用的解題方法；注意k的取值范圍是正確解答的關鍵5. （2011玉林，20，6分）已知：x1、x2是一元二次方程x24x+1的兩個實數根求：（x1+x2）2（）的值分析：先根據一元二次方程根與系數的關系確定出x1與x2的兩根之積與兩根之和的值，再根據=即可解答解答：解：一元二次方程x24x+1=0的兩個實數根是x1、x2，x1+x2=4，x1x2=1，（x1+x2）2（）=42=424=4點評：本題考查的是一元二次方程根與系數的關系，是一道基礎題型6. （2011貴州遵義，24，10分）有四張卡片（背面完全相同），分別寫有數字1、2、1、2，把它們背面朝上洗勻后，甲同學抽取一張記下這個數字后放回洗勻，乙同學再從中抽出一張，記下這個數字，用字母b、c分別表示甲、乙兩同學抽出的數字。（1）用列表法求關于的方程有實數解的概率；（2）求（1）中方程有兩個相等實數解的概率。【考點】列表法與樹狀圖法；根的判別式【分析】（1）根據題意列表，然后根據表格求得所有等可能的結果與關于x的方程x2+bx+c=0有實數解的情況數，根據即可概率公式求解；（2）首先求得（1）中方程有兩個相等實數解的情況，然后即可根據概率公式求解【解答】解：（1）列表得： （1，2）（2，2）（1，2）（2，2）（1，1）（2，1）（1，1）（2，1