正弦定理和余弦定理詳解.doc

高考風(fēng)向1.考查正弦定理、余弦定理的推導(dǎo)；2.利用正、余弦定理判斷三角形的形狀和解三角形；3.在解答題中對(duì)正弦定理、余弦定理、面積公式以及三角函數(shù)中恒等變換、誘導(dǎo)公式等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查學(xué)習(xí)要領(lǐng)1.理解正弦定理、余弦定理的意義和作用；2.通過(guò)正弦、余弦定理實(shí)現(xiàn)三角形中的邊角轉(zhuǎn)換，和三角函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合基礎(chǔ)知識(shí)梳理1 正弦定理：2R，其中R是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形：(1)abcsin_Asin_Bsin_C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，解決不同的三角形問(wèn)題2 余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以變形：cos A，cos B，cos C.3 SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R、r.4 在ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Absin Aab解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1在三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在ABC中，ABabsin Asin B；tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；在銳角三角形中，cosAsinB,cosAsinC2 根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換例1已知在中，解三角形.思路點(diǎn)撥:先將已知條件表示在示意圖形上（如圖），可以確定先用正弦定理求出邊，然后用三角形內(nèi)角和求出角，最后用正弦定理求出邊.解析：， ， ，又，總結(jié)升華：1. 正弦定理可以用于解決已知兩角和一邊求另兩邊和一角的問(wèn)題；2. 數(shù)形結(jié)合將已知條件表示在示意圖形上，可以清楚地看出已知與求之間的關(guān)系，從而恰當(dāng)?shù)剡x擇解答方式.舉一反三：【變式1】在中，已知，解三角形。【答案】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，；根據(jù)正弦定理，；根據(jù)正弦定理，【變式2】在中，已知，求、.【答案】，根據(jù)正弦定理，.【變式3】在中，已知，求 【答案】根據(jù)正弦定理，得.例2在，求：和，思路點(diǎn)撥: 先將已知條件表示在示意圖形上（如圖），可以確定先用正弦定理求出角，然后用三角形內(nèi)角和求出角，最后用正弦定理求出邊.解析：由正弦定理得：，（方法一）， 或，當(dāng)時(shí)，（舍去）；當(dāng)時(shí)，（方法二）， ， 即為銳角， ，總結(jié)升華：1. 正弦定理也可用于解決已知兩邊及一邊的對(duì)角，求其他邊和角的問(wèn)題。2. 在利用正弦定理求角時(shí)，因?yàn)椋砸罁?jù)題意準(zhǔn)確確定角的范圍，再求出角.3.一般依據(jù)大邊對(duì)大角或三角形內(nèi)角和進(jìn)行角的取舍.類(lèi)型二：余弦定理的應(yīng)用：例3已知中，、，求中的最大角。思路點(diǎn)撥: 首先依據(jù)大邊對(duì)大角確定要求的角，然后用余弦定理求解.解析：三邊中最大，其所對(duì)角最大，根據(jù)余弦定理：， ， 故中的最大角是.總結(jié)升華： 1.中，若知道三邊的長(zhǎng)度或三邊的關(guān)系式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理時(shí)，要注意公式中的邊角位置關(guān)系.舉一反三：【變式1】已知中, , , 求角.【答案】根據(jù)余弦定理：， 【變式2】在中，角所對(duì)的三邊長(zhǎng)分別為，若，求的各角的大小【答案】設(shè)，根據(jù)余弦定理得：，；同理可得；【變式3】在中，若，求角.【答案】， ， 類(lèi)型三：正、余弦定理的綜合應(yīng)用例4在中，已知，求及.思路點(diǎn)撥: 畫(huà)出示意圖，由其中的邊角位置關(guān)系可以先用余弦定理求邊，然后繼續(xù)用余弦定理或正弦定理求角.解析：由余弦定理得：=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：（法一：余弦定理） ，（法二：正弦定理） 又，即總結(jié)升華：畫(huà)出示意圖，數(shù)形結(jié)合，正確選用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.舉一反三：【變式1】在中，已知, , .求和.【答案】由余弦定理得：， 由正弦定理得：，因?yàn)闉殁g角，則為銳角， . .【變式2】在中，已知角所對(duì)的三邊長(zhǎng)分別為，若，求角和【答案】根據(jù)余弦定理可得： ， ； 由正弦定理得：.其他應(yīng)用題詳解一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20，燈塔B在觀察站C的南偏東40，則燈塔A與燈塔B的距離為()Aa km B.a kmC.a km D2a km解析利用余弦定理解ABC.易知ACB120，在ACB中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos1202a22a23a2，ABa.答案B2張曉華同學(xué)騎電動(dòng)自行車(chē)以24 km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點(diǎn)A處望見(jiàn)電視塔S在電動(dòng)車(chē)的北偏東30方向上，15 min后到點(diǎn)B處望見(jiàn)電視塔在電動(dòng)車(chē)的北偏東75方向上，則電動(dòng)車(chē)在點(diǎn)B時(shí)與電視塔S的距離是()A2 km B3 kmC3 km D2 km解析如圖，由條件知AB246，在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075105，所以ASB45.由正弦定理知，所以BSsin303.答案B3輪船A和輪船B在中午12時(shí)離開(kāi)海港C，兩艘輪船航行方向的夾角為120，輪船A的航行速度是25海里/小時(shí)，輪船B的航行速度是15海里/小時(shí)，下午2時(shí)兩船之間的距離是()A35海里 B35海里C35海里 D70海里解析設(shè)輪船A、B航行到下午2時(shí)時(shí)所在的位置分別是E，F(xiàn)，則依題意有CE25250，CF15230，且ECF120，EF70.答案D4(2014濟(jì)南調(diào)研)為測(cè)量某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20 m的樓的樓頂處測(cè)得塔頂A的仰角為30，測(cè)得塔基B的俯角為45，那么塔AB的高度是()A20 m B20 mC20(1) m D30 m解析如圖所示，由已知可知，四邊形CBMD為正方形，CB20 m，所以BM20 m又在RtAMD中，DM20 m，ADM30，AMDMtan30(m)ABAMMB2020(m)答案A5(2013天津卷)在ABC中，ABC，AB，BC3，則sinBAC()A. B.C. D.解析由余弦定理AC2AB2BC22ABBCcosABC()232235，所以AC，再由正弦定理：sinBACBC.答案C6(2014滁州調(diào)研)線(xiàn)段AB外有一點(diǎn)C，ABC60，AB200 km，汽車(chē)以80 km/h的速度由A向B行駛，同時(shí)摩托車(chē)以50 km/h的速度由B向C行駛，則運(yùn)動(dòng)開(kāi)始多少h后，兩車(chē)的距離最小()A. B1C. D2解析如圖所示，設(shè)t h后，汽車(chē)由A行駛到D，摩托車(chē)由B行駛到E，則AD80t，BE50t.因?yàn)锳B200，所以BD20080t，問(wèn)題就是求DE最小時(shí)t的值由余弦定理，得DE2BD2BE22BDBEcos60(20080t)22 500t2(20080t)50t12 900t242 000t40 000.當(dāng)t時(shí)，DE最小答案C二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7已知A，B兩地的距離為10 km，B，C兩地的距離為20 km，現(xiàn)測(cè)得ABC120，則A、C兩地的距離為_(kāi)km.解析如右圖所示，由余弦定理可得：AC210040021020cos120700，AC10(km)答案108如下圖，一艘船上午9：30在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75處，且與它相距8n mile.此船的航速是_n mile/h.解析設(shè)航速為v n mile/h在ABS中，ABv，BS8，BSA45，由正弦定理得：，v32(n mile/h)答案329如圖，為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60，再由點(diǎn)C沿北偏東15方向走10米到位置D，測(cè)得BDC45，則塔AB的高是_米解析在BCD中 ，CD10，BDC45，BCD1590105，DBC30，BC10(米)在RtABC中，tan60，ABBCtan6010(米)答案10三、解答題(本大題共3小題，每小題10分，共30分)10(2014臺(tái)州模擬)某校運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處于坡度15的看臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為60和30，第一排和最后一排的距離為10米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上若國(guó)歌長(zhǎng)度約為50秒，升旗手應(yīng)以多大的速度勻速升旗？解在BCD中，BDC45，CBD30，CD10，由正弦定理，得BC20.在RtABC中，ABBCsin602030(米)，所以升旗速度v0.6(米/秒)11.如圖，A、B是海面上位于東西方向相距5(3)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45，B點(diǎn)北偏西60的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？解由題意，知AB5(3)海里，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB中，由正弦定理，得，于是DB10(海里)又DBCDBAABC30(9060)60，BC20(海里)，在DBC中，由余弦定理，得CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001 20021020900.得CD30(海里)，故需要的時(shí)間t1(小時(shí))，即救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí)12.(2013江蘇卷)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑一種是從A沿直線(xiàn)步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車(chē)到B，然后從B沿直線(xiàn)步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車(chē)到B，在B處停留1 min后，再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車(chē)勻速直線(xiàn)運(yùn)行的速度為130 m/min，山路AC長(zhǎng)為1 260 m，經(jīng)測(cè)量，cosA，cosC.(1)求索道AB的長(zhǎng)；(2)問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車(chē)上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？解(1)在ABC中，因?yàn)閏osA，cosC，所以sinA，sinC.從而sinBsin(AC)sin(AC)sinAcosCcosAsinC.由正弦定理，得ABsinC1 040(m)所以索道AB的長(zhǎng)為1 040 m.(2)假設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時(shí)，甲行走了(10050t)m，乙距離A處130t m，所以由余弦定