化大為小找規(guī)律.doc

2 化大為小找規(guī)律我們先來看一個(gè)大數(shù)目的計(jì)算問題：計(jì)算自然數(shù)中小于10000的所有奇數(shù)的和。本題實(shí)際上就是計(jì)算下式的結(jié)果：1+3+5+9995+9997+9999由于1至10000這10000個(gè)自然數(shù)中，奇數(shù)與偶數(shù)各占一半，所以上式中共有5000個(gè)加數(shù)。5000個(gè)數(shù)太多，逐個(gè)相加太麻煩。多的不會(huì)，想少的，觀察下列特殊情況：1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52從上面這組算式不難發(fā)現(xiàn)這樣一條規(guī)律：從1開始連續(xù)n個(gè)奇數(shù)的和，恰好等于n2。這樣，我們只要知道小于10000的奇數(shù)共有多少個(gè)，就可以直接寫出得數(shù)了。我們知道，從1開始的連續(xù)偶數(shù)個(gè)自然數(shù)中，奇數(shù)、偶數(shù)各占一半，所以，小于10000的自然數(shù)中，奇數(shù)共有5000個(gè)。因此1+3+5+7+9995+9997+9999=50002=25000000在解決上面這個(gè)問題時(shí)，我們體會(huì)到：對(duì)于一些較復(fù)雜或數(shù)目較大的問題，如果一時(shí)感到無從下手，我們不妨把問題盡量簡(jiǎn)單化，在不改變問題性質(zhì)的前提下，考慮問題最簡(jiǎn)單的情況（化大為小），從中分析探尋出問題的規(guī)律，以獲得問題的答案。這就是解數(shù)學(xué)題常用的一種方法，叫做歸納，我們也可以叫做“化大為小找規(guī)律”?！痉治雠c解】 我們可以先來計(jì)算 1199、 111999、11119999，看看它們的積各是多少，它們積里各有多少個(gè)數(shù)字是偶數(shù)。1199=1089（有2個(gè)數(shù)字是偶數(shù)。）111999=110889（有3個(gè)數(shù)字是偶數(shù)。）11119999=11108889（有4個(gè)數(shù)字是偶數(shù)。）是偶數(shù)。通過計(jì)算，可知是偶數(shù)。從上面4個(gè)算式的結(jié)果中，我們可以找到一個(gè)規(guī)律：幾個(gè)1乘以相同個(gè)數(shù)的9，它的乘積，中間有1個(gè)0；在0的前面是若干個(gè)1，個(gè)數(shù)比被乘數(shù)1的個(gè)數(shù)少1；在0的后面是若干個(gè)8，個(gè)數(shù)與積中1的個(gè)數(shù)同樣多；積的最末位是9。積里的偶數(shù)（包含1個(gè)0和若干個(gè)8）的個(gè)數(shù)和被乘數(shù)1或乘數(shù)9的個(gè)數(shù)同樣多。根據(jù)這一規(guī)律，我們可以推想：這個(gè)積里有1個(gè)0及19個(gè)8，有20個(gè)數(shù)字是偶數(shù)?！纠?】數(shù)一數(shù)，圖 2-1中共有多少個(gè)正方形？【分析與解】 我們把圖2-1先放在一邊，來看圖2-2和圖2-3、圖2-4中的正方形分別有多少個(gè)。在圖2-2中，邊長(zhǎng)為1的正方形有4個(gè)，邊長(zhǎng)為2的正方形有1個(gè)，一共是：1+4=5（個(gè)）在圖2-3中，邊長(zhǎng)為1的正方形有9個(gè)，邊長(zhǎng)為2的正方形有4個(gè)，邊長(zhǎng)為3的正方形有1個(gè)，一共是：1+4+9=14（個(gè)）在圖2-4中，邊長(zhǎng)為1、2、3、4的正方形分別有16個(gè)、9個(gè)、4個(gè)、1個(gè)，一共是：1+4+9+16=30（個(gè)）現(xiàn)在，我們發(fā)現(xiàn)了規(guī)律：當(dāng)正方形中相鄰兩個(gè)邊被分為n等份，以每個(gè)等分點(diǎn)為端點(diǎn)，作與它相鄰的另一條邊的平行線。由這些平行線所組成的正方形（包括原來那個(gè)最大的正方形）的總個(gè)數(shù)是：12+22+32+n2根據(jù)這條規(guī)律，可算出圖2-1中正方形總個(gè)數(shù)是：1+4+9+16+25+36+49+64+81+100=385（個(gè)）【例3】 計(jì)算【分析與解】 上面的加法算式中共有99個(gè)加數(shù)，而且這些分?jǐn)?shù)的分母越來越大，通分顯然不是好辦法。還是用“化大為小”的方法試試吧。寫到這里，規(guī)律已經(jīng)出現(xiàn)了：如果算式中的加數(shù)共有n個(gè)，那么，計(jì)算結(jié)果（一個(gè)分?jǐn)?shù)）的分子就是n，分母就是n+1。由此，可直接寫出本題的答案不過，要提醒同學(xué)們注意的是：當(dāng)你找到了規(guī)律之后，不要急于馬上就去套用，還得先檢驗(yàn)一下，看這個(gè)規(guī)律是不是“靈”。如果不靈，那就要多舉幾個(gè)例子，并對(duì)已經(jīng)總結(jié)的結(jié)論加以修正。【例4】 將自然數(shù)1，2，3，4，像圖2-5那樣按順序排列起來。在最上面一行中，從左到右第100個(gè)數(shù)是_；在最左邊一列中，從上到下第100個(gè)數(shù)是_。【分析與解】 先仔細(xì)觀察最上面一行靠最左邊的幾個(gè)數(shù)，看它們的排列有什么規(guī)律。第1列是a1=1=1第2列是a2=3=1+2第3列是a3=6=1+2+3第4列是a4=10=1+2+3+4現(xiàn)在可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律了。第100列是a100=1+2+3+4+5+99+100=（1+100）1002=50505050就是最上面一行中從左到右的第100個(gè)數(shù)。再來看最左邊一列數(shù)從上到下的排列規(guī)律。第2行是b2=2=1+1=a1+1第3行是b3=4=3+1=a2+1第4行是b4=7=6+1=a3+1第5行是b5=11=10+1=a4+1現(xiàn)在，可以得出最左邊一列的各個(gè)數(shù)與最上面一行數(shù)之間有一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，那就是：bn=an-1+1知道an-1是多少，也就知道bn是多少。要求最左邊一列的第100個(gè)數(shù)b100，應(yīng)先算出a99。a99=a100-100=5050-100=4950所以，b100=a99+1=4950+1=4951【例5】 有甲乙兩個(gè)水杯，甲杯有水1千克，乙杯是空的。第一次將甲樣來回倒下去，一直倒了1995次之后，甲杯里的水還剩（ ）千克?！痉治雠c解】 我們先不考慮倒1995次后甲杯中有多少水，還是先看前幾次的情況（列出一個(gè)表更容易看出規(guī)律）。續(xù)上表規(guī)律出現(xiàn)了：第奇數(shù)次倒過之后，甲杯中的水與乙杯相等。1995是個(gè)奇數(shù)，所以倒了第1995次后，甲杯中的水仍為500克。再舉一個(gè)大家很熟悉的例子?！纠?】10條直線最多可把一個(gè)長(zhǎng)方形分成多少塊？【分析與解】 先不考慮10條直線，而是先看1條、2條、3條直線能把一個(gè)長(zhǎng)方形分成幾塊？如圖2-6，一條直線最多可把長(zhǎng)方形分成兩塊。也就是a1=2；再添一條直線，即2條直線（如圖2-7）可把長(zhǎng)方形分成幾塊呢？要注意“最多”二字，它要求這條添上去的直線必須同前一條直線相交，而不能平行。這樣，兩條直線最多可把長(zhǎng)方形分成2+2=4（塊）也就是a2=4=2+2。在圖2-7再添一條直線，這條直線既不能經(jīng)過已有的兩條直線的交點(diǎn)，也不能與其中一條平行（如圖2-8），它使圖2-7中的3塊再一分為二（增加了3塊）。這樣，三條直線最多可把長(zhǎng)方形分成4+3=7（塊）也就是：a3=7=4+3現(xiàn)在，我們發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律：an=an-1+n因此，a10=a9+10=a8+9+10=a7+8+9+10=a1+（2+3+4+5+6+7+8+9+10）=2+54=56（塊）這就是說，10條直線可把長(zhǎng)方形分為56塊?！舅伎碱}】1.求13+23+33+43+103的值。提示：寫出下列各式13+23=1+8=9=（1+2）213+23+33=9+27=36=（1+2+3）213+23+33+43=36+64=100=（1+2+3+4）2從這組等式中發(fā)現(xiàn)：13+23+33+n3=（1+2+3+n）2。2.有一個(gè)1000位的數(shù)，它的各位數(shù)字都是2，這個(gè)數(shù)除以6的余數(shù)是幾？提示：從最簡(jiǎn)單的情況算起：（1位數(shù)）26=02（2位數(shù)）226=34（3位數(shù)）2226=37（4位數(shù)）22226=3702（5位數(shù)）222226=37034（6位數(shù)）2222226=37037算到這里，規(guī)律已經(jīng)很明顯了當(dāng)位數(shù)是3的倍數(shù)時(shí)，余數(shù)為0；當(dāng)位數(shù)是3的倍數(shù)多1時(shí)，余數(shù)為2；當(dāng)位數(shù)是3的倍數(shù)多2時(shí)，余數(shù)為4。3.求圖2-9