九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 圖形的相似小結(jié)復(fù)習(xí) 滬科版

1 圖形的相似小結(jié)復(fù)習(xí)圖形的相似小結(jié)復(fù)習(xí) 知識(shí)梳理 1 兩個(gè)相似三角形 的比值叫做相似比 若 ABC A B C 它們的相似比為 k 則 A B C 與 ABC 的相似比為 當(dāng)相似比為 時(shí) 這兩個(gè)三角形全等 全等三角形是 三角形 在用 連接兩個(gè)相似三角形時(shí) 應(yīng)把 放在 的位置上 2 識(shí)別 判斷 兩個(gè)三角形相似可以利用 1 2 如果兩個(gè)三角形中有兩個(gè) 這兩個(gè)三角形相似 3 如果兩個(gè)三角形中有 且 這兩個(gè)三角形相似 4 當(dāng)兩個(gè)三角形中有 這兩個(gè)三角形相似 3 相似三角形的基本性質(zhì)是 除此之外 相似三角形的對(duì)應(yīng) 對(duì)應(yīng) 對(duì)應(yīng) 都等于相似比 對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比等于 面積的比等于 4 三角形的中位線平行于第三邊 并且等于這邊的一半 梯形的中位線平行于兩底 并且等于兩底和的 一半 5 利用相似可以把一個(gè)圖形 或 保持形狀不變 如果兩個(gè)圖形不僅相似 而且 的 連線都 像這樣的相似叫做位似 位似是由 和 所決定的 6 兩個(gè)位似圖形的特點(diǎn)是 1 對(duì)應(yīng)邊 2 對(duì)應(yīng)頂點(diǎn) 3 兩個(gè)圖形是 這三點(diǎn)也是識(shí)別位似的依據(jù) 7 畫位似圖形的步驟 1 確定 2 把位似中心與 連線 或延長(zhǎng) 3 根據(jù) 在所連直線上截取相應(yīng)線段 4 把所截各點(diǎn)用實(shí)線連接 8 平面內(nèi)一點(diǎn)的位置可由一對(duì) 來(lái)準(zhǔn)確描述它的位置 但由于所確定的 不同 該點(diǎn)的坐 標(biāo)不同 選擇的單位長(zhǎng)度不同 不同 我們還可以利用 確定點(diǎn)的位置 利用方位角 時(shí) 不能只指明方位 同時(shí)必須指出 與測(cè)量點(diǎn)的距離 9 一個(gè)圖形沿 x 軸 或平行于 x 軸的直線 平移 m 個(gè)單位 圖形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn) 坐標(biāo)不變 若向 平移 其 坐標(biāo)加 m 若向 平移 其 坐標(biāo)減 m 一個(gè)圖形沿 y 軸 或平行于 y 軸的直線 平移 m 個(gè)單位 圖形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn) 坐標(biāo)不變 若向 平移 其 坐標(biāo) 減 m 若向 平移 其 坐標(biāo)加 m 10 關(guān)于 x 軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是 關(guān)于 y 軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐 標(biāo)特點(diǎn)是 如果一個(gè)圖形繞原點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn) 180 得到新圖形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)與原圖形對(duì)應(yīng) 頂點(diǎn)的橫坐標(biāo) 縱坐標(biāo) 典型例題 例 1 如圖所示 D E 兩點(diǎn)分別在 ABC 兩條邊上 且 DE 與 BC 不平行 請(qǐng)?zhí)钌弦粋€(gè)你認(rèn)為適合的條件 使得 ADE ABC 2 分析 熟練掌握相似三角形的判定方法 進(jìn)行嘗試選擇 解 結(jié)合判定方法補(bǔ)充條件為 1 B 或 2 C 或 ADAE ABAC 例 2 如圖 已知 ABC 中 AB 8 BC 7 AC 6 點(diǎn) D E 分別在 AB AC 上 如果以 A D E 為頂點(diǎn) 的三角形和 ABC 相似 且相似比為 試求 AD AE 的長(zhǎng) 1 4 分析 不要忘了分類 注意本題中 AD 可以和 AB 對(duì)應(yīng) 也可以和 AC 對(duì)應(yīng) 解 1 當(dāng) ADE ABC 時(shí) 1 4 ADAE ABAC AB 8 AC 6 AD 2 AE 3 2 2 當(dāng) ADE ACB 時(shí) 1 4 ADAE ACAB AB 8 AC 6 AD AE 2 3 2 例 3 2006 年蘇州 如圖 梯形 ABCD 中 AB CD 且 AB 2CD E F 分別是 AB BC 的中點(diǎn) EF 與 BD 相交于點(diǎn) M 1 求證 EDM FBM 2 若 DB 9 求 BM 分析 由條件易證得四邊形 CBED 是平行四邊形 利用對(duì)應(yīng)邊互相平行可證得三角形相似 再根據(jù)對(duì)應(yīng)邊 的比相等進(jìn)行計(jì)算 證明 1 E 是 AB 的中點(diǎn) AB 2EB AB 2CD CD EB 又 AB CD 四邊形 CBED 是平行四邊形 CB ED EDB DBF DEM BFM 3 DEM BFM 2 DEM BFM DMDE BMBF F 是 BC 的中點(diǎn) DE 2BF DM 2BM BM DB 9 3 1 3 1 3 例 4 某社區(qū)擬籌資金 2000 元 計(jì)劃在一塊上 下底分別是 10 米 20 米的梯形空地上種植花木 如圖 所示 他們想在地帶種植單價(jià)為 10 元 米 2的太陽(yáng)花 當(dāng) 地帶種滿花后 已經(jīng)BMCAMD 和AMD 花了 500 元 請(qǐng)你預(yù)算一下 若繼續(xù)在地帶種植同樣的太陽(yáng)花 資金是否夠用 并說(shuō)明理由 BMC 分析 可以通過(guò)面積大小的對(duì)比計(jì)算一下 若繼續(xù)在地帶種同種太陽(yáng)花所需資金是否超過(guò) 2000BMC 元即可 解 梯形 ABCD 中 AD BC AMD BMD AD 10 BC 20 4 1 20 10 2 BMC AMD S S 22 200 5010500mSmS BMCAMD 還需要資金 200 10 2000 元 而剩余資金為 2000 500 1500 2000 所以資金不夠用 例 5 兩個(gè)全等的含 角的三角板和三角板如圖所示放置 三點(diǎn)在一條30 60 ADEABCEAC 直線上 連結(jié) 取的中點(diǎn) 連結(jié) 試判斷的形狀 并說(shuō)明理由 BDBDMMEMCEMC 分析 當(dāng)梯形中有腰的中點(diǎn)時(shí) 常常考慮再取另一腰的中點(diǎn)構(gòu)造梯形中位線去解決問(wèn)題 4 解 的形狀是等腰直角三角形 EMC 理由 取 CE 的中點(diǎn) N 連結(jié) MN M 是 BD 的中點(diǎn) MN DE MN DE BC 1 2 DEA 90O MN EC ME MC DE AC AE BC MN AC AE EC 1 2 1 2 是直角三角形 EMC 即的形狀是等腰直角三角形 EMC 例 6 一般的室外放映的電影膠片上每一個(gè)圖片的規(guī)格為 3 5cm 3 5cm 放映的熒屏的規(guī)格為 2m 2m 若放映機(jī)的光源距膠片 20cm 時(shí) 問(wèn)熒屏應(yīng)拉在離鏡頭多遠(yuǎn)的地方 放映的圖象剛好布滿整個(gè)熒 屏 解析 膠片上的圖象和熒屏上的圖象是位似的 鏡頭就相當(dāng)于位似中心 因此本題可以轉(zhuǎn)化為位似問(wèn)題 解答 位似圖形是特殊位置上的相似圖形 因此位似圖形具有相似圖形的所有性質(zhì) 設(shè)熒屏距鏡頭為 xcm 由題意可得 解得 cm 即 m 203 5 200 x 8000 7 x 80 7 x 答 熒屏應(yīng)拉在離鏡頭m 的地方 放映的圖象剛好布滿整個(gè)熒屏 80 7 例 7 下列說(shuō)法中不正確的是 A 位似圖形一定是相似圖形 B 相似圖形不一定是位似圖形 C 位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比 D 位似圖形中每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線必相互平行 分析 本題考查了位似圖形的性質(zhì)及相似圖形與位似圖形的關(guān)系 A B C 正確 因?yàn)橐粚?duì)位似對(duì)應(yīng)點(diǎn) 與位似中心共線 所以 D 錯(cuò)誤 例 8 在 AB 30m AD 20m 的矩形 ABCD 的花壇四周修筑小路 1 如果四周的小路的寬均相等 如圖 1 那么小路四周所圍成的矩形 A B C D 和矩形 ABCD 相 似嗎 請(qǐng)說(shuō)明理由 2 如果相對(duì)著的兩條小路的寬均相等 如圖 2 試問(wèn)小路的寬 x 與 y 的比值為多少時(shí) 能使小路四 周所圍成的矩形 A B C D 和矩形 ABCD 相似 請(qǐng)說(shuō)明理由 5 分析 因?yàn)榫匦蚊總€(gè)角都為 90 所以判斷矩形 A B C D 和矩形 ABCD 是否相似關(guān)鍵在它們的長(zhǎng)和 寬之比是否相等 解 當(dāng) x 0 時(shí) 30302 20202 xA BA D xABAD 故矩形 A B C D 和矩形 ABCD 不相似 當(dāng)時(shí) 是矩形 A B C D 和矩形 ABCD 相似 A BA D ABAD 所以 解得 30302 20202 y x x y 2 3 例 9 2006 年德州市 如圖所示 在 ABC 中 AB AC 1 點(diǎn) D E 在直線 BC 上運(yùn)動(dòng) 設(shè) BD x CE y 1 如果 BAC 30 DAE 105 試確定 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式 2 如果 BAC 的度數(shù)為 DAE 的度數(shù)為 當(dāng) 滿足怎樣的關(guān)系式時(shí) 1 中 y 與 x 之間 的函數(shù)關(guān)系式還成立 試說(shuō)明理由 分析 確定兩線段間的函數(shù)關(guān)系 可利用線段成比例 找相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系 解 在 ABC 中 AB AC 1 BAC 30 ABC ACB 75 ABD ACE 105 又 DAE 105 DAB CAE 75 又 DAB ADB ABC 75 CAE ADB ADB EAC y 1 1 ABBDx ECACy 即 1 x 當(dāng) 滿足 90 y 仍成立 2 1 x 此時(shí) DAB CAE DAB ADB CAE ADB 又 ABD ACE ADB EAC y 1 x 例 10 閱讀下面的短文并回答下列問(wèn)題 6 我們把相似形的概念推廣到空間 如果兩個(gè)幾何體大小不一定相等 但形狀完全相同 就把它們叫做相 似體 如圖 甲 乙是兩個(gè)不同的正方體 正方體都是相似體 它們的一切對(duì)應(yīng)線段之比都等于相似比 a b 設(shè) S甲 S乙 分別表示這兩個(gè)立方體的表面積 則 又設(shè) V甲 V乙 分別表 2 2 2 6 6 b a b a S S 乙 甲 示這兩個(gè)立方體的體積 則 3 3 3 b a b a V V 乙 甲 1 下列幾何體中 一定屬于相似體的是 A 兩個(gè)球體B 兩個(gè)圓錐體C 兩個(gè)圓柱體D 兩個(gè)長(zhǎng)方體 2 請(qǐng)歸納出相似體的三條主要性質(zhì) 相似體的一切對(duì)應(yīng)線段 或弧 長(zhǎng)度的比等于 相似體表面積的比等于 相似體體積的比等于 3 假定在完全正常發(fā)育的條件下 不同時(shí)期的同一個(gè)人的人體是相似體 一個(gè)小朋友上幼兒園時(shí)身高 為 1 1 米 體重為 18 千克 到了初三時(shí) 身高為 1 65 米 問(wèn)他的體重是多少 不考慮不同時(shí)期人體平均 密度的變化 分析 1 球面上任一點(diǎn)到球心的距離都等于半徑 球的表面積與半徑的平方成正比 球的體積與半徑 的立方成正比 且球的三視圖是全等的圓 故球體一定是相似體 2 從題目的內(nèi)容看 兩個(gè)相似體的 相似比為 a b 則表面積的比是相似比的平方 體積比是相似比的立方 3 人體的體重與體積和密度 有關(guān) 不考慮密度的情況下 體重與體積成正比 體積的比等于相似比 人體身高的比 的立方 解 1 A 2 相似比 相似比的平方 相似比的立方 3 設(shè)他的體重是 xkg 則根據(jù)題意得 得 x 60 75 kg 3 1 65 181 1 x 賞析 將 相似 的概念從平面擴(kuò)展到空間后 情況會(huì)發(fā)生什么變化呢 實(shí)際上這也不是個(gè)很復(fù)雜的問(wèn)題 因?yàn)殚喿x材料中明確地告訴我們 相似體的 一切對(duì)應(yīng)線段之比都等于相似比 重要的信息它就明擺在 那兒 就看你能否收集到它 并加以分析處理 從而用以解決問(wèn)題 模擬試題 答題時(shí)間 30 分鐘 1 如圖所示 在梯形 ABCD 中 AB CD 中位線 EF 交對(duì)角線 AC BD 于 M N 兩點(diǎn) 若 EF 18cm MN 8cm 則 AB 的長(zhǎng)是 A 10cm B 13cm C 20cm D 26cm 2 如圖所示 AB CD AE FD AE FD 分別交 BC 于點(diǎn) G H 則圖中共有相似三角形 7 A 4 對(duì) B 5 對(duì)C 6 對(duì)D 7 對(duì) 3 如圖 電燈 P 在橫桿 AB 的正上方 AB 在燈光下的影長(zhǎng)為 CD AB CD AB 2m CD 5m 點(diǎn) P 到 CD 的距離是 3m 則點(diǎn) P 到 AB 的距離是 A 56610 6753 mBmCmDm 4 如圖 把 PQR 沿著 PQ 的方向平移到 P Q R 的位置 它們重疊部分的面積是 PQR 面積的一半 若 PQ 則此三角形移動(dòng)的距離 PP 是 2 A B C 1 D 1 1 2 2 2 2 5 如圖 小明想用皮尺測(cè)量池塘 A B 之間的距離 但現(xiàn)在利用皮尺無(wú)法直接測(cè)量到這一距離 學(xué)習(xí)了數(shù) 學(xué)的有關(guān)知識(shí)后 他想出了一個(gè)主意 先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá) A B 兩點(diǎn)的點(diǎn) O 連接 OA OB 分 別在 OA OB 上取中點(diǎn) C D 連接 CD 并測(cè)得 CD a 由此他就知道了 AB 間的距離是 A a 1 2 B 2a C aD 3a 6 如圖 已知 ABC DBE AB 6 DB 8 則 S ABC S DBE 7 由三角形三條中位線所圍成的三角形的面積是原三角形面積的 8 如圖 ABC 中 BAC 120 AB AC BC 4 請(qǐng)你建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系 并寫出 A B C 各點(diǎn) 的坐標(biāo) 8 9 某市有 A B C D 四個(gè)大型超市 分別位于一條東西走向的平安大路兩側(cè) 請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)闹?角坐標(biāo) 系并寫出四個(gè)超市相應(yīng)的坐標(biāo) 10 方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為 1 的正方形 我們把以格點(diǎn)間連線為邊的三角形稱為 格點(diǎn)三角 形 圖中的 ABC 是格點(diǎn)三角形 在建立平面直角坐標(biāo)系后 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 1 1 1 把 ABC 向左平移 8 格后得到 A1B1C1 畫出 A1B1C1的圖形并寫出點(diǎn) B1的坐標(biāo) 2 把 ABC 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 后得到 A2B2C 畫出 A2B2C 的圖形并寫出點(diǎn) B2的坐標(biāo) 3 把 ABC 以點(diǎn) A 為位似中心放大 使放大前后對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的比為 1 2 畫出 AB3C3的圖形 11 如圖 李華晚上在路燈下散步 已知李華的身高 AB h 燈柱的高 OP O P L 兩燈柱之間的 距離 OO m 1 若李華距燈柱 OP 的水平距離 OA a 求他的影子 AC 的長(zhǎng) 2 若李華在兩路燈之間行走 則他前后的兩個(gè)影子的長(zhǎng)度之和 DA AC 是否是定值 請(qǐng)說(shuō)明理由 9 試題答案 1 D 點(diǎn)撥 AB 2MF MF MN NF 則 NF EF MN 2 5cm MF 13cm AB 26cm 2 C 點(diǎn)撥 本題考查對(duì)相似三角形的判定和識(shí)圖能力 由已知 BFH BAG BFH CDH BFH CEG BAG CEG BAG CDH GCE HCD 共 6 對(duì) 3 C 4 D 點(diǎn)撥 本題涉及平移與相似三角形的性質(zhì) 平移后重疊三角形與 PQR