解析幾何-存在性問題(含答案)

1 9 解析幾何解析幾何 存在性問題存在性問題 1 已知橢圓 1 C 22 22 1 0 xy ab ab 的離心率為 6 3 e 過 1 C 的左焦點 1 F 的直線 20l xy 被 圓 222 2 3 3 0 Cxyrr 截得的弦長為2 2 求橢圓 1 C 的方程 設(shè) 1 C 的右焦點為 2 F 在圓 2 C 上是否存在點P 滿足 2 12 2 a PFPF b 若存在 指出有幾個這樣的點 不必求出點的坐標 若不存在 說明理由 解解 1 因為直線l的方程為 20l xy 令 0y 得 2x 即 1 2 0 F 1 分 2c 又 6 3 c e a 2 6a 222 2bac 橢圓 1 C 的方程為 22 1 1 62 xy C 分 2 存在點 P 滿足 2 12 2 a PFPF b 圓心 2 3 3 C 到直線 20l xy 的距離為 332 2 2 d 又直線 20l xy 被圓 22 2 66310Cxyxym 截得的弦長為2 2 由垂徑定理得 22 222 2 l rd 故圓 2 C 的方程為 22 2 3 3 4Cxy 分 設(shè)圓 2 C 上存在點 P x y 滿足 2 12 2 a PFPF b 即 12 3PFPF 且 12 F F 的坐標為 12 2 0 2 0 FF 則 2222 2 3 2 xyxy 整理得 22 59 24 xy 它表示圓心在 5 0 2 C 半徑是 3 2的圓 22 2 537 3 30 22 CC 分 故有 2 33 22 22 CC 即圓C與圓 2 C 相交 有兩個公共點 圓 2 C 上存在兩個不同點P 滿足 2 12 2 a PFPF b 分 2 9 2 平面直角坐標系xOy中 橢圓 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 的離心率為 3 6 焦點為 1 F 2 F 直線 l 02 yx經(jīng)過焦點 2 F 并與 相交于A B兩點 求 的方程 在 上是否存在C D兩點 滿足ABCD DFCF 11 若存在 求直線CD的方程 若不存在 說明理由 解 依題意 0 2 2 F 2 c 2 分 由 3 6 a c e得6 a 3 分 2 22 cab 橢圓 的方程為1 26 22 yx 4 分 方法一 方法一 若存在滿足條件的直線CD ABCD 1 ABCD kk 設(shè)直線CD的方程為 mxy 5 分 由 mxy yx 1 26 22 6 分 得06 3 22 mxx 7 分 0 63 64 22 mmxx 01296 63 44 6 222 mmm 設(shè) 11 yxC 22 yxD 則 2 3 21 m xx 4 63 2 21 m xx 9 分 由已知DFCF 11 若線段CD的中點為E 則CDEF 1 1 1 1 CD EF k k 10 分 0 2 1 F 2 2 2121 yyxx E 即 4 4 3 mm E 由1 2 4 3 4 1 m m k EF 解得4 m 13 分 4 m時 0961296 2 m 與 矛盾 不存在滿足條件的直線CD 14 分 方法二 方法二 假設(shè)存在 11 yxC 22 yxD 線段CD的中點為 00 yxE 則 2 y y 2 21 0 21 0 yxx x 1 21 21 xx yy 5 分 由 1 26 1 26 2 2 2 2 2 1 2 1 yx yx 兩式相減得 0 2 1 6 1 21212121 yyyyxxxx 7 分 代入 化簡得 0 3 1 00 yx 由已知DFCF 11 則CDEF 1 1 1 1 CD EF k k 9 分 由1 2 0 0 1 x y k EF 得 2 00 xy 由 解得1 3 00 yx 即 1 3 E 11 分 直線 CD 的方程為 4 xy 聯(lián)立 4 1 26 22 xy yx 得 042244 2 xx 13 分 0964244242 方程 組 無解 不存在滿足條件的直線CD 14 分 3 9 3 在平面直角坐標系中 O 為坐標原點 已知兩點 若點 C 滿足 1 5 3 1 NM 點 C 的軌跡與拋物線 交于 A B 兩點 1 RtONtOMtOC xy4 2 1 求證 OBOA 2 在 x 軸上是否存在一點使得過點 P 直線交拋物線于 D E 兩點 并以該弦 DE 為直徑的圓都 0 mP 過原點 若存在 請求出 m 的值及圓心的軌跡方程 若不存在 請說明理由 解 1 由知點 C 的軌跡是 M N 兩點所在的直線 1 RtONtOMtOC 故點 C 的軌跡方程是 即 1 4 3 1 3 xy4 xy 由 xy xy 4 4 2 016124 4 22 xxxx16 21 xx12 21 xx 故 6 分1616 4 4 4 212121 xxxxxxyy0 2121 yyxx OBOA 2 法一 存在點 滿足條件 0 4 P 證明如下 由題意知 弦所在的直線的斜率不為零 設(shè)弦所在的直線方程為 代入得4 kyxxy 2 0164 2 kyy kyy4 21 16 21 yy OBOA kk1 16 1616 44 21 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 yyy y y y x y x y 故以 AB 為直徑的圓都過原點 10 分OBOA 法二 若存在這樣的點 P 滿足條件 設(shè) 2211 yxEyxD 則有得又 0 2121 yyxx 16 21 yy 11 ymxPD 22 ymxPE 由 D P E 三點共線可得0 4 21122211 yymyymxyymx 當時 此時 可驗證當且時也符合條件 21 y y 4 m 0 4 P 0 4 P 21 yy 所以存在點滿足條件 設(shè)弦 AB 的中點為 0 4 P yxM 則 2 1 21 xxx 2 1 21 yyy 848 4 8 44 2 212121 kkkyykkykyxx 弦 AB 的中點 M 的軌跡方程為 消去 k 得 ky kx 2 42 2 8 2 2 xy 4 9 4 設(shè)點 分別是橢圓 0 1 cF 0 2 cF 1 1 2 2 2 ay a x C 的左 右焦點 為橢圓上任意一點 且最小值為 PC 12 PF PF uuu r uuu r 0 1 求橢圓的方程 C 2 若動直線均與橢圓相切 且 試探究在軸上是否存在定點 點到的距離之 12 l lC 12 llxBB 12 l l 積恒為 1 若存在 請求出點坐標 B 若不存在 請說明理由 解 1 設(shè) 則有 1 分 yxP 1 ycxPF 2 ycxPF 2 分 aaxcx a a cyxPFPF 1 1 22 2 2 222 21 由最小值為得 3 分 12 PF PF uuu r uuu r 02101 22 acc 橢圓的方程為 4 分C1 2 2 2 y x 2 當直線斜率存在時 設(shè)其方程為 5 分 12 l l ykxm ykxn 把的方程代入橢圓方程得 1 l 222 12 4220kxmkxm 直線與橢圓相切 化簡得 1 lC 2222 164 12 22 0k mkm 同理 8 分 22 12mk 22 12nk 若 則重合 不合題意 9 分 22 mn mn 12 l lmn 設(shè)在軸上存在點 點到直線的距離之積為 1 則x 0 B tB 12 l l 即 10 分 22 1 11 ktmktm kk 2 222 1k tmk 把代入并去絕對值整理 22 12km 或者 22 3 2kt 22 1 0kt 前式顯然不恒成立 而要使得后式對任意的恒成立kR 則 解得 12 分 2 10t 1t 當直線斜率不存在時 其方程為和 13 分 12 l l2x 2x 定點到直線的距離之積為 1 0 12 l l 21 21 1 定點到直線的距離之積為 1 0 12 l l 21 21 1 綜上所述 滿足題意的定點為或 14 分B 1 0 1 0 5 9 5 已知橢圓C 22 22 1 xy ab 0ab 的左 右焦點分別為 1 F1 0 2 F 1 0 且經(jīng)過定點 3 1 2 00 xy 為橢圓C上的動點 以點 為圓心 2 F 為半徑作圓 1求橢圓C的方程 2若圓 與y軸有兩個不同交點 求點 橫坐標 0 x的取值范圍 3是否存在定圓 使得圓 與圓 恒相切 若存在 求出定圓 的方程 若不存在 請說明理由 解 1由橢圓定義得 12 2 PFPFa 1 分 即 22 223353 21 11 14 2222 a 2 分 2a 又1 c 222 3bac 3 分 故橢圓C的方程為 22 1 43 xy 4 分 2圓心 00 M xy到y(tǒng)軸距離 0 dx 圓M的半徑 2 2 00 1 rxy 若圓M與y軸有兩個不同交點 則有 rd 即 2 2 000 1 xyx 化簡得 2 00 210 yx 6 分 點M在橢圓C上 22 00 3 3 4 yx 代入以上不等式得 2 00 38160 xx 解得 0 4 4 3 x 8 分 又 0 22 x 0 4 2 3 x 即點M橫坐標的取值范圍是 4 2 3 9 分 3存在定圓 2 2 116 Nxy與圓M恒相切 其中定圓N的圓心為橢圓的左焦點 1 F 半徑為橢圓 C的長軸長 4 12 分 由橢圓定義知 12 24 MFMFa 即 12 4MFMF 圓N與圓M恒內(nèi)切 14 分 6 9 6 已知橢圓 1 C的中心在坐標原點 兩個焦點分別為 1 2 0 F 2 F 2 0 點 2 3 A在橢圓 1 C 上 過 點A的直線L與拋物線 2 2 4Cxy 交于B C 兩點 拋物線 2 C在點B C 處的切線分別為 12 l l 且 1 l與 2 l交于點P 1 求橢圓 1 C的方程 2 是否存在滿足 1212 PFPFAFAF 的點P 若存在 指出這樣的點P有幾個 不必求出點P的 坐標 若不存在 說明理由 1 橢圓 1 C的方程為 22 1 1612 xy 3 分 2 解法解法 1 設(shè)點 4 1 2 11 xxB 4 1 2 22 xxC 則 4 1 2 1 2 212 xxxxBC 4 1 3 2 2 11 xxBA CBA 三點共線 BCBA 4 分 222 211211 11 32 44 xxxxxx 化簡得 1212 212xxx x 5 分 由 2 4xy 即 2 1 4 yx 得y 1 2 x 6 分 拋物線 2 C在點B處的切線 1 l的方程為 24 1 1 12 1 xx x xy 即 2 1 1 4 1 2 xx x y 同理 拋物線 2 C在點C處的切線 2 l的方程為 2 2 2 4 1 2 xx x y 8 分 設(shè)點 yxP 由 得 2 1 1 4 1 2 xx x 2 2 2 4 1 2 xx x 而 21 xx 則 2 1 21 xxx 9 分 代入 得 21 4 1 xxy 則 21 2xxx 21 4xxy 代入 得 1244 yx 即點P的軌跡方程為3 xy 11 分 若 1212 PFPFAFAF 則點P在橢圓 1 C上 而點P又在直線3 xy上 12 分 直線3 xy經(jīng)過橢圓 1 C內(nèi)一點 3 0 直線3 xy與橢圓 1 C交于兩點 13 分 滿足條件 1212 PFPFAFAF 的點P有兩個 14 分 解法解法 2 設(shè)點 11 yxB 22 yxC 00 yxP 由 2 4xy 即 2 1 4 yx 得y 1 2 x 4 分 7 9 拋物線 2 C在點B處的切線 1 l的方程為 2 1 1 1 xx x yy 即 2 11 1 2 1 2 xyx x y 5 分 2 11 4 1 xy 1 1 2 yx x y 點 00 yxP在切線 1 l上 10 1 0 2 yx x y 6 分 同理 20 2 0 2 yx x y 綜合 得 點 2211 yxCyxB的坐標都滿足方程 yx x y 00 2 經(jīng)過 2211 yxCyxB的直線是唯一的 直線L的方程為yx x y 00 2 9 分 點 3 2 A在直線L上 3 00 xy 點P的軌跡方程為3 xy 11 分 若 1212 PFPFAFAF 則點P在橢圓 1 C上 又在直線3 xy上 12 分 直線3 xy經(jīng)過橢圓 1 C內(nèi)一點 3 0 直線3 xy與橢圓 1 C交于兩點 13 分 滿足條件 1212 PFPFAFAF 的點P有兩個 14分 解法解法3 顯然直線L的斜率存在 設(shè)直線L的方程為 23ykx 由 2 23 4 yk x xy 消去y 得 2 48120 xkxk 4分 設(shè) 1122 B xyC xy 則 1212 4812xxk x xk 5分 由 2 4xy 即 2 1 4 yx 得y 1 2 x 6 分 拋物線 2 C在點B處的切線 1 l的方程為 2 1 1 1 xx x yy 即 2 11 1 2 1 2 xyx x y 7 分 2 11 4 1 xy 2 1 1 1 24 x yxx 同理 得拋物線 2 C在點C處的切線 2 l的方程為 2 2 2 1 24 x yxx 由 2 1 1 2 2 2 1 24 1 24 x yxx x yxx 解得 12 12 2 2 23 4 xx xk x x yk 223Pkk 10 分 1212 PFPFAFAF 點P在橢圓 22 1 1 1612 xy C 上 11 分 22 223 1 1612 kk 化簡得 2 71230kk 由 2 124732280 可得方程 有兩個不等的實數(shù)根 滿足條件的點P有兩個 14 分 8 9 7 已知雙曲線C的焦點分別為 12 2 2 0 2 2 0 FF 且雙曲線C經(jīng)過點 4 2 2 7 P 1 求雙曲線C的方程 2 設(shè) O 為坐標原點 若點 A 在雙曲線 C 上 點 B 在直線2x 上 且0 OA OB 是否存在以點 O 為圓心的定圓恒與直線 AB 相切 若存在 求出該圓的方程 若不存在 請說明理由 解 1 解法一 依題意知雙曲線 C 的焦點在 x 軸 設(shè)其方程為 22 22 1 0 0 xy ab ab 點 4 2 2 7 P在雙曲線 C 上 12 2 aPFPF 2222 6 2 2 7 2 2 2 7 4 2a 3 分 又2 2c 222 4bca 所求雙曲線 C 的方程為 22 1 44 xy 4 分 解法二 依題意知雙曲線 C 的焦點在 x 軸 設(shè)其方程為 22 22 1 0 0 xy ab ab 1 分 點 4 2 2 7 P在雙曲線 C 上 22 3228 1 ab 又 22 8ba 代入 去分母整理得 42 6832 80aa 又ac 解得 2 4 a 2 4b 3 分 所求雙曲線 C 的方程為 22 1 44 xy 4 分 2 設(shè)點 A B 的坐標分別為 00 xy 2 t 其中 0 2x 或 0 2x 5 分