3.4.1基本不等式的證明.docx

基本不等式教案(高一年級(jí)下冊(cè)必修5第三章第四節(jié)) 成都華西中學(xué)數(shù)學(xué)組 張 宇一、【教材分析】1、教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課內(nèi)容是人教A版教材必修5第三章不等式第四節(jié),其教學(xué)內(nèi)容為基本不等式的證明及簡單應(yīng)用。2、地位與作用本節(jié)是在已學(xué)不等式性質(zhì)基礎(chǔ)上對(duì)不等式進(jìn)一步認(rèn)識(shí)的重要內(nèi)容之一，它為選修4-5不等式選講中用以研究不等式提供了一種重要依據(jù)。因此本節(jié)課起著承上啟下的作用。同時(shí)本節(jié)課給出了不等式中2個(gè)最重要的不等式，它的探究方法對(duì)后續(xù)的不等式選講的學(xué)習(xí)有著方法上的指導(dǎo)意義。二、【學(xué)情分析】1、知識(shí)基礎(chǔ)：高一年級(jí)學(xué)生已在初中學(xué)習(xí)過一元一次不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，并能用這些知識(shí)解決相關(guān)問題，對(duì)不等式證明的書寫較為熟悉。2、認(rèn)知水平與能力：高一年級(jí)學(xué)生已初步學(xué)會(huì)了簡單的邏輯推理方法，掌握了一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，能在教師的引導(dǎo)下獨(dú)立地解決一些基本問題。3、任教班級(jí)學(xué)生特點(diǎn)：我班學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)比較薄弱、但是思維較活躍，能比較容易接受教材上的內(nèi)容，但是要求應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)解決問題的能力還不足，邏輯推理能力和用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行正確表達(dá)的能力還有待進(jìn)一步提高。三、【目標(biāo)分析】1、 教學(xué)目標(biāo)依據(jù)教材的教學(xué)要求，滲透新課標(biāo)理念，并結(jié)合以上學(xué)情分析，我制定了如下教學(xué)目標(biāo)：（1）知識(shí)與技能理解基本不等式的內(nèi)容及證明； 能熟練運(yùn)用基本不等式來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大??；進(jìn)一步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言對(duì)不等式證明進(jìn)行正確規(guī)范地書寫。（2）過程與方法在利用趙爽弦圖進(jìn)行推導(dǎo)重要不等式和基本不等式的過程中，經(jīng)歷觀察、分析、猜想、論證，形成對(duì)兩個(gè)不等式關(guān)系的良好認(rèn)識(shí)；在推理論證的過程中進(jìn)一步理解從特殊到一般和數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的重要性，并學(xué)會(huì)應(yīng)用解決相關(guān)問題；（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀在學(xué)習(xí)過程中感受不等式證明的嚴(yán)謹(jǐn)性，從而培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度；通過對(duì)趙爽弦圖的了解滲透數(shù)學(xué)文化。2、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)：理解基本不等式的含義及證明難點(diǎn)：基本不等式等號(hào)成立條件的運(yùn)用重、難點(diǎn)解決的方法策略本課在設(shè)計(jì)上采用由特殊到一般、從具體到抽象的教學(xué)策略，通過學(xué)生自主思考和互動(dòng)研討，經(jīng)歷觀察、分析、猜想、論證的過程，自己推導(dǎo)出2個(gè)不等式同時(shí)，借助多媒體的直觀演示，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)重要不等式、基本不等式的理解認(rèn)識(shí)，從而突出重點(diǎn)。為了強(qiáng)化學(xué)生對(duì)基本不等式的理解認(rèn)識(shí)，在應(yīng)用上，注意通過范例后的變式訓(xùn)練和教師的點(diǎn)撥引導(dǎo)，師生互動(dòng)、講練結(jié)合，從而突破教學(xué)難點(diǎn)。四、【教學(xué)模式與教法、學(xué)法】本課采用“合作探究”教學(xué)模式。教師的教法突出活動(dòng)的安排與問題的引導(dǎo)。學(xué)生的學(xué)法突出合作學(xué)習(xí)、探究發(fā)現(xiàn)與歸納建構(gòu)。五、【過程設(shè)計(jì)】探究基本不等式（15分鐘）結(jié)合教材知識(shí)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，本課的教學(xué)環(huán)節(jié)及時(shí)間分配如下： 探究重要不等式（5分鐘）創(chuàng)設(shè)情景提出問題（2分鐘） 視頻欣賞 猜想證明 前后呼應(yīng) 推論應(yīng)用方法提煉上升認(rèn)識(shí)（3分鐘） 基本不等式的應(yīng)用與議練活動(dòng)（13分鐘）解決問題歸納總結(jié)（2分鐘） 教學(xué)過程： 教學(xué)環(huán)節(jié)教 師 活 動(dòng) 學(xué) 生 活 動(dòng)活 動(dòng)說 明新 課 引 入一、創(chuàng)設(shè)情境： 如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國人民熱情好客你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？引入新課，板書課題：基本不等式（一）.現(xiàn)實(shí)模型： 生活實(shí)例模 型直 觀用實(shí)際生活引入新課.數(shù) 學(xué) 探 究 數(shù) 學(xué) 探 究 議練活動(dòng)課 堂總結(jié)二、探究新知（一）探究一：問題1：設(shè)直角三角形的長為a、b，那么正方形的邊長為_;面積為_,4個(gè)直角三角形的面積和是_.問題2：根據(jù)4個(gè)直角三角形的面積和與正方形面積的大小關(guān)系，我們可得到一個(gè)怎樣的不等式_問題3：4個(gè)直角三角形的面積和與正方形的面積有相等的情況嗎？何時(shí)相等？圖形怎樣變化？問題4：你能給出它的證明嗎？歸納小結(jié)：（重要不等式），對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a,b,都有_;當(dāng)且僅當(dāng)_。探究二：問題5：既然對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a,b,都有a2b2 2ab,如果a0，b0，用，分別代替a2b22ab中的a，b會(huì)得到怎樣的不等式？問題6：如何證明不等式(a0，b0)?歸納小結(jié)：若a0,且b0,那么_,我們把這個(gè)不等式叫做基本不等式（又叫均值不等式）。問題7：如下圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)Q是AB上任一點(diǎn)，AQa，BQb，過點(diǎn)Q作PQ垂直AB于Q，連接AP，PB.你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？“半徑不小于半弦”定理解讀：（1）基本不等式的幾何意義： （2）平均數(shù)解釋： （3）定理成立的條件是_；結(jié)論是_。三、知識(shí)應(yīng)用例1已知a，b，c為任意的實(shí)數(shù)，求證：a2b2c2 abbcca.變式練習(xí)1：已知a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證：abc總結(jié)：例2已知x、y都是正數(shù)求證： 2.變式練習(xí)2： 總結(jié)：課堂練習(xí)：1已知a0，則4a+的最小值是（)A2 B2 C4 D52設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，且ab3，則2a2b的最小值是()A6 B4 C2 D8四、課堂總結(jié)1、課堂小結(jié)：教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容（采用填空形式）2、課后作業(yè)：教材100頁練習(xí)共4個(gè)題目.3、課后思考題： 探究函數(shù)的最值.觀察圖形，學(xué)生自己完成學(xué)案上問題。通過觀察，得出結(jié)論，小組合作，自己完成證明；小組相互交流證明過程，解決問題。學(xué)生小組合作自行驗(yàn)證結(jié)論，過程中引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)整體代換的思想方法，進(jìn)而體會(huì)邏輯證明的必要性.證明過程印證了不等式的正確性，并能加深學(xué)生對(duì)基本不等式的理解學(xué)生單獨(dú)解答，并完成結(jié)論。幾何解釋的目的是讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的基本數(shù)學(xué)思想。學(xué)生自己完成證明.展示個(gè)別學(xué)生的證明過程，指出學(xué)生錯(cuò)誤和需要注意的地方，體會(huì)證明的邏輯性以及嚴(yán)謹(jǐn)性.尤其是變式1中等號(hào)不能取得。學(xué)生單獨(dú)作答本環(huán)節(jié)由學(xué)生自主歸納、總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，教師加以補(bǔ)充說明：（1）回顧本節(jié)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)。（2）體會(huì)數(shù)學(xué)整體代換的數(shù)學(xué)思想。通過ICM的大會(huì)圖標(biāo)，學(xué)生較容易觀察出面積之間的關(guān)系，引入基本不等式很直觀通過整體代換變形得到基本不等式，是學(xué)生難點(diǎn)，但是要引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)整體代換的思想方法，幾何直觀解釋讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想例1和變式訓(xùn)練，主要是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用新知識(shí)解決問題，實(shí)際上學(xué)生大多習(xí)慣采用作差法證明，這是正?，F(xiàn)象，感知利用基本不等式證明的簡潔后，例2和變式2就順利成章的完成了引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行回顧總結(jié)，歸納本節(jié)課內(nèi)容，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)板書設(shè)計(jì)：3.4基本不等式（一）一、重要不等式二、基本不等式三、數(shù)學(xué)思想與方法 (主板書) 三、例題解答例1：變式訓(xùn)練例2：變式訓(xùn)練(副板書)學(xué)生活動(dòng)展示區(qū) (輔助性板書)六、【教學(xué)反思】根據(jù)教學(xué)經(jīng)歷和學(xué)生的反饋信息，我對(duì)本課的教學(xué)有如下反思：（1）根據(jù)新課程課堂教學(xué)活動(dòng)的基本理念：“教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，因此，我在本科教學(xué)設(shè)計(jì)中突出了學(xué)生的小組合作，自主探索，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與互動(dòng)交流，所以絕大多數(shù)學(xué)生能很好地掌握基本不等式，并能用于解決相關(guān)問題，形成了較好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。（2）本課設(shè)計(jì)特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的訓(xùn)練，滲透“整體代換”和“數(shù)形結(jié)合”兩種數(shù)學(xué)思想與方法，不等式的推導(dǎo)與例題后變式訓(xùn)練以及一題多解、一題多變的訓(xùn)練模式都是為了這兩個(gè)目的而設(shè)計(jì)的。（3）本課在教學(xué)中始終貫穿學(xué)法指導(dǎo)，特別是通過