第二章1-單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng).ppt

單自由度振動(dòng)系統(tǒng),單自由度定義,只有一個(gè)自由度的振動(dòng)系統(tǒng)，稱為單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱單自由度系統(tǒng)。自由度：指完整描述一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)時(shí)間特性所需的最少的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)，在理論力學(xué)中用廣義坐標(biāo)數(shù)。,幾種單自由度系統(tǒng)的示例,2-1無(wú)阻尼自由振動(dòng),自由振動(dòng)：系統(tǒng)在初始激勵(lì)下，或外加激勵(lì)消失后的一種振動(dòng)形態(tài)。系統(tǒng)的無(wú)阻尼振動(dòng)是對(duì)實(shí)際問題的理論抽象，是一種理想條件，實(shí)際的系統(tǒng)都有阻尼。如果現(xiàn)實(shí)世界沒有阻止運(yùn)動(dòng)能力的話，整個(gè)世界將處于無(wú)休止的振動(dòng)中。,振動(dòng)系統(tǒng)微分方程步驟,以系統(tǒng)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，以水平向右為軸正向，建立如圖所示的坐標(biāo)系設(shè)在某一瞬時(shí)t,質(zhì)量沿坐標(biāo)方向有一位移x，畫出質(zhì)量此時(shí)的隔離體受力圖。,圖形,建立系統(tǒng)的微分方程,根據(jù)牛頓第二定律（Newtonsecondlaw）建立系統(tǒng)的微分方程。,方程化簡(jiǎn),對(duì)于無(wú)阻尼自由振動(dòng)，我們有因此，原方程改寫為：,確定微分方程的初始條件,在t=0時(shí)，初始位移為，初始速度為則方程的初始條件為：,和,完整形式,單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：,改寫,令，則上式可以寫為,求解系統(tǒng)微分方程,上節(jié)得到的為質(zhì)量m的位移x隨時(shí)間t變化的二階、常系數(shù)、齊次常微分方程。根據(jù)微分方程的理論，可知該微分方程組的通解為：,積分常數(shù)的確定,這里的A，是任意常數(shù)，由微分方程的初始條件，即運(yùn)動(dòng)的初始條件確定對(duì)通解兩端求導(dǎo),代入初始條件,當(dāng)時(shí)，從而得到,三角公式推導(dǎo),根據(jù)三角函數(shù)公式令：,幅值和相角的確定,由前面推導(dǎo),初始條件和相角取值的關(guān)系,結(jié)論1,單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)位移可以表示為時(shí)間的簡(jiǎn)諧函數(shù)（正弦或余弦）,結(jié)論2響應(yīng)滿足疊加原理,系統(tǒng)在初始位移單獨(dú)作用下的自由振動(dòng)，此時(shí)，系統(tǒng)在初始速度單獨(dú)作用下的自由振動(dòng)，此時(shí)，,系統(tǒng)總響應(yīng),振動(dòng)系統(tǒng)總的響應(yīng)=上述兩部分響應(yīng)之和疊加性是線性系統(tǒng)的重要特征,數(shù)字特征,振幅，振動(dòng)物體離開靜平衡位置的最大位移圓頻率振動(dòng)周期，旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)動(dòng)一周（），振動(dòng)物體的位移值也就重復(fù)一次，振動(dòng)周期：振動(dòng)重復(fù)一次所需要的時(shí)間間隔振動(dòng)頻率，單位時(shí)間內(nèi)完成的振動(dòng)的次數(shù),固有特性,可見，上述三個(gè)量都由振動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)確定，而與初始條件無(wú)關(guān)，是系統(tǒng)的固有特性，因而又稱作：固有圓頻率、固有周期和固有頻率系統(tǒng)的初始條件只決定振動(dòng)的振幅和初相位,系統(tǒng)參數(shù)對(duì)振動(dòng)特性的影響,振系的質(zhì)量越大，彈簧越軟，則固有頻率越低，周期越長(zhǎng)；質(zhì)量越小，彈簧越硬，則固有頻率越高，周期越短，這個(gè)結(jié)論對(duì)復(fù)雜的振動(dòng)系統(tǒng)也同樣的適用,分析彈簧懸掛物體的垂直振動(dòng),以振子的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，彈簧的自有長(zhǎng)度為，當(dāng)物體從平衡位置離開時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)為，則物體的隔離體受力如圖所示：,簡(jiǎn)圖,微分方程和求解,可以寫出系統(tǒng)的微分方程由于所以，上式得化簡(jiǎn)結(jié)果仍然是：,結(jié)果,因此，系統(tǒng)的固有頻率仍然是：由代入上式：得到：,結(jié)論,由彈簧的靜變形可以計(jì)算出系統(tǒng)的固有頻率在寫微分方程的時(shí)候，可以以物體的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，而不必考慮物體重力造成的彈簧靜變形,作業(yè)1,如圖所示單擺，擺線長(zhǎng)為，求其微分方程和固有頻率,如圖所示的物理擺，懸掛點(diǎn)和質(zhì)心的距離為S，對(duì)O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，求其微分方程和固有頻率,能量法原理,在阻尼可以略去不計(jì)的條件下，振動(dòng)系統(tǒng)自由振動(dòng)時(shí)的機(jī)械能（動(dòng)能+勢(shì)能）保持常值。對(duì)上式兩端求導(dǎo)，可得,自由振動(dòng)系統(tǒng)性質(zhì),對(duì)一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)，如在動(dòng)能最大時(shí)，取勢(shì)能為零，則在動(dòng)能為零時(shí)，勢(shì)能取最大值。,常見物體的動(dòng)能計(jì)算,質(zhì)點(diǎn)或平動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體平面運(yùn)動(dòng)的剛體,常見物體的勢(shì)能計(jì)算,拉伸彈簧扭轉(zhuǎn)彈簧剛體的重力勢(shì)能,K為抗扭彈簧系數(shù),勢(shì)能參考點(diǎn)的選取,勢(shì)能是一個(gè)參考值，和其具體值的大小和參考點(diǎn)選取有關(guān)在使用時(shí)，要注意，勢(shì)能基準(zhǔn)值的選取，應(yīng)使振動(dòng)系統(tǒng)在動(dòng)能最大時(shí)，勢(shì)能為零。,例一,如圖的系統(tǒng)，使其偏轉(zhuǎn)角后放手，求系統(tǒng)的微分方程和固有頻率,例一解,選取圓盤的扭轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)，箭頭方向?yàn)檎颍胶馕恢脼檗D(zhuǎn)角零點(diǎn)，建立如圖所示的廣義坐標(biāo)系統(tǒng)的動(dòng)能系統(tǒng)的勢(shì)能,由系統(tǒng)機(jī)械能守恒,得：由于是方程的平凡解，兩邊除，并令：方程化簡(jiǎn)為：,例二（兼作業(yè)2）,系統(tǒng)如圖，桿和彈簧的質(zhì)量不計(jì)，在靜平衡時(shí)水平，求其系統(tǒng)的微分方程和固有頻率（提示：取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，可不考慮重力勢(shì)能，當(dāng)偏角很小時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)，圓球的位移和速度可以表示為：）,能量法的優(yōu)點(diǎn),從上面的分析可以看出，用機(jī)械能守恒求解比較方便，而且比較規(guī)范，對(duì)照大家以前的學(xué)過的Lagrange方程，大家可以看出，實(shí)際就是無(wú)約束系統(tǒng)Lagrange方程在保守力場(chǎng)下的形式。,等值質(zhì)量,在前面的討論中，都假定了彈性元件的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于振動(dòng)系統(tǒng)的集中質(zhì)量，因而可以簡(jiǎn)化為一個(gè)集中質(zhì)量。上文所討論的例子的彈簧也都是有一個(gè)螺旋或扭轉(zhuǎn)彈簧的例子。下面看幾個(gè)稍微復(fù)雜的例子，并說(shuō)明等值質(zhì)量的意義。,例三,如右圖，彈簧在靜平衡位置長(zhǎng)度為，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為，求系統(tǒng)的固有頻率。,基本假設(shè),假設(shè)系統(tǒng)的變形是線性的，即當(dāng)彈簧下段的位移為的時(shí)候，在距離彈簧上端的截面振幅為，假定系統(tǒng)的速度分布也滿足線性要求（在端點(diǎn)處顯然成立）設(shè)質(zhì)量塊的位移為，速度為，,彈簧的動(dòng)能,則在距離上端點(diǎn)距離為，長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度微元的動(dòng)能為：則整個(gè)彈簧的動(dòng)能：,總動(dòng)能,質(zhì)量塊的動(dòng)能：總動(dòng)能：,系統(tǒng)微分方程,系統(tǒng)的勢(shì)能：由：微分方程：固有頻率：,等值質(zhì)量,稱為本系統(tǒng)彈性元件的等值質(zhì)量,例四,如圖所示，懸臂梁的線密度為，端點(diǎn)處有集中質(zhì)量，求系統(tǒng)的固有頻率。,桿剛度的確定,由材料力學(xué)可知，在靜載荷作用下，懸臂梁的撓度為：,假設(shè),截面處的撓度為假定在自由振動(dòng)中，各點(diǎn)的位移和速度仍然按照此比例。,系統(tǒng)的動(dòng)能,梁的動(dòng)能：質(zhì)量塊的動(dòng)能：系統(tǒng)總動(dòng)能：,系統(tǒng)的方程,系統(tǒng)的勢(shì)能：根據(jù)：系統(tǒng)微分方程：固有頻率：,結(jié)論,可見，懸臂梁的質(zhì)量對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率的影響相當(dāng)于在自由端加上梁的等值質(zhì)量，此值稍小于全梁質(zhì)量的思考：梁自重造成梁端部的位移，會(huì)不會(huì)影響本題的精度。,等值剛度,彈簧的并聯(lián)若使剛度為，的兩根彈簧的下端都伸長(zhǎng)，所需要的力所以，并聯(lián)彈簧的等值剛度