高中數(shù)學(xué)經(jīng)典解題技巧和方法：平面向量

世紀(jì)金榜 圓您夢想 高中數(shù)學(xué)經(jīng)典解題技巧：平面向量【編者按】平面向量是高中數(shù)學(xué)考試的必考內(nèi)容，而且是這幾年考試解答題的必選，無論是期中、期末還是會考、高考，都是高中數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容之一。因此，馬博士教育網(wǎng)數(shù)學(xué)頻道編輯部特意針對這部分的內(nèi)容和題型總結(jié)歸納了具體的解題技巧和方法，希望能夠幫助到高中的同學(xué)們，讓同學(xué)們有更多、更好、更快的方法解決數(shù)學(xué)問題。好了，下面就請同學(xué)們跟我們一起來探討下平面向量的經(jīng)典解題技巧。首先，解答平面向量這方面的問題時，先要搞清楚以下幾個方面的基本概念性問題，同學(xué)們應(yīng)該先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解決問題：1 平面向量的實際背景及基本概念（1） 了解向量的實際背景。（2） 理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義。（3） 理解向量的幾何意義。2 向量的線性運(yùn)算（1） 掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義。（2） 掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義。（3） 了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義。3 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 （1） 了解平面向量的基本定理及其意義。（2） 掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。（3） 會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算。（4） 理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。4 平面向量的數(shù)量積（1） 理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。（2） 了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。（3） 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。（4） 能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。5. 向量的應(yīng)用（1） 會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題。（2） 會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題。好了，搞清楚平面向量的上述內(nèi)容之后，下面我們就看下針對這方面內(nèi)容的具體的解題技巧。一、向量的有關(guān)概念及運(yùn)算考情聚焦：1向量的有關(guān)概念及運(yùn)算，在近幾年的高考中年年都會出現(xiàn)。2該類問題多數(shù)是單獨命題，考查有關(guān)概念及其基本運(yùn)算；有時作為一種數(shù)學(xué)工具，在解答題中與其他知識點交匯在一起考查。3多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，有關(guān)會滲透在解答題中。解題技巧：向量的有關(guān)概念及運(yùn)算要注意以下幾點：（1）正確理解相等向量、共線向量、相反向量、單位向量、零向量等基本概念，如有遺漏，則會出現(xiàn)錯誤。（2）正確理解平面向量的運(yùn)算律，一定要牢固掌握、理解深刻 （3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解題的基礎(chǔ)，除了用向量的加減法、實數(shù)與向量乘積外，還要充分利用平面幾何的一些定理，充分聯(lián)系其他知識。例1：（2010山東高考理科12）定義平面向量之間的一種運(yùn)算“”如下，對任意的，令，下面說法錯誤的是（ ）A.若與共線，則 B. C.對任意的，有 D. ()2 【命題立意】本題在平面向量的基礎(chǔ)上，加以創(chuàng)新，屬創(chuàng)新題型，考查平面向量的基礎(chǔ)知識以及分析問題、解決問題的能力.【思路點撥】根據(jù)所給定義逐個驗證.【規(guī)范解答】選B，若與共線，則有，故A正確；因為 ,，而，所以有 ，故選項B錯誤，故選B. 【方法技巧】自定義型信息題1、基本特點：該類問題的特點是背景新穎，信息量大，是近幾年高考的熱點題型. 2、基本對策：解答這類問題時，要通過聯(lián)想類比，仔細(xì)分析題目中所提供的命題，找出其中的相似性和一致性二、與平面向量數(shù)量積有關(guān)的問題考情聚焦：1與平面向量數(shù)量積有關(guān)的問題（如向量共線、垂直及夾角等問題）是高考考查的重點。2該類問題多數(shù)是單獨命題，有時與其他知識交匯命題，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力。3多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時會滲透在解答題中。解題技巧：與平面向量數(shù)量積有關(guān)的問題1解決垂直問題：均為非零向量。這一條件不能忽視。2求長度問題：，特別地。3求夾角問題：求兩非零向量夾角的依據(jù)例2：1.（2010湖南高考理科4）在中，=90AC=4，則等于（ ）A、-16 B、-8 C、8 D、16【命題立意】以直角三角形為依托，考查平面向量的數(shù)量積，基底的選擇和平面向量基本定理.【思路點撥】由于=90，因此選向量CA，CB為基底.【規(guī)范解答】選D .=(CB-CA)(-CA)=-CBCA+CA2=16.【方法技巧】平面向量的考查常常有兩條路：一是考查加減法，平行四邊形法則和三角形法則，平面向量共線定理.二是考查數(shù)量積，平面向量基本定理，考查垂直，夾角和距離（長度）.2. （2010廣東高考文科5）若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3，x)滿足條件(8)=30，則x=( ) A6 B5 C4 D3【命題立意】本題考察向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的數(shù)量積運(yùn)算. 【思路點撥】 先算出，再由向量的數(shù)量積列出方程，從而求出【規(guī)范解答】選. ，所以. 即：，解得： ，故選.三、向量與三角函數(shù)的綜合考情聚集：1向量與三角函數(shù)相結(jié)合是高考的重要考查內(nèi)容，在近幾年的高考中，年年都會出現(xiàn)。2這類問題一般比較綜合，考查綜合應(yīng)用知識分析問題、解決問題的能力。一般向量為具，考查三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)等。3多以解答題的形式出現(xiàn)。例3在直角坐標(biāo)系 （I）若； （II）若向量共線，當(dāng)【解析】（1） 2分又解得 4分或 6分 （II） 8分 10分 12分注：向量與三角函數(shù)的綜合，實質(zhì)上是借助向量的工具性。（1）解決這類問題的基本思路方法是將向量轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算；（2）常用到向量的數(shù)乘、向量的代數(shù)運(yùn)算，以及數(shù)形結(jié)合的思路。例4（2010重慶高考理科2）已知向量，滿足，則（ ）A0 B C4 D8【命題立意】本小題考查向量的基礎(chǔ)知識、數(shù)量積的運(yùn)算及性質(zhì)，考查向量運(yùn)算的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法.【思路點撥】根據(jù)公式進(jìn)行計算，或數(shù)形結(jié)合法，根據(jù)向量的三角形法則、平行四邊形法則求解.【規(guī)范解答】選B （方法一）；（方法二）數(shù)形結(jié)合法：由條件知，以向量，為鄰邊的平行四邊形為矩形，又因為，所以，則是邊長為2的正方形的一條對角線確定的向量，其長度為，如圖所示.【方法技巧】方法一：靈活應(yīng)用公式，方法二：熟記向量及向量和的三角形法則例5（2010全國高考卷理科8）ABC中，點D在邊AB上，CD平分ACB，若= , = , ， 則=（ ）（A）+ （B） + （C）+ （D） +【命題立意】本題考查了平面向量基本定理及三角形法則的知識?！舅悸伏c撥】運(yùn)用平面向量三角形法則解決。由角平分線性質(zhì)知DB:AD= CB:CA =1:2 這樣可以用向量, 表示?！疽?guī)范解答】 選B，由題意得AD:DB=AC；CB=2:1,AD=AB,所以+ +【方法技巧】角平分線性質(zhì)、平面向量基本定理及三角形法則例6（2010浙江高考文科13）已知平面向量則的值是 ?！久}立