【畢業(yè)學(xué)位論文】電磁 材料中 多場(chǎng)耦合臨界 態(tài)問題 的研究

分類號(hào)密級(jí)研究生學(xué)位論文論文題目（中文）電磁材料中多場(chǎng)耦合臨界態(tài)問題的研究論文題目（外文）INVESTIGATIONSONCRITICALSTATEPROBLEMSINELECTROMAGNETICMATERIALSWITHMULTIFIELDCOUPLINGS研究生姓名薛存學(xué)科、專業(yè)力學(xué)固體力學(xué)研究方向電磁固體力學(xué)與智能結(jié)構(gòu)學(xué)位級(jí)別博士導(dǎo)師姓名、職稱周又和教授論文工作起止年月2012年9月至2016年6月論文提交日期2016年6月論文答辯日期2016年6月學(xué)位授予日期校址甘肅省蘭州市LANZHOUUNIVERSITYINVESTIGATIONSONCRITICALSTATEPROBLEMSINELECTROMAGNETICMATERIALSWITHMULTIFIELDCOUPLINGSBYCUNXUEADISSERTATIONSUBMITTEDINPARTIALFULFILLMENTOFTHEREQUIREMENTSFORTHEDEGREEOFDOCTOROFPHILOSOPHYPHDCANDIDATECUNXUESUPERVISORPROFZHOUYOUHEMAJORSOLIDMECHANICSRESEARCHDIRECTIONELECTROMAGNETOSOLIDMECHANICSANDSMARTSTRUCTURESDEPARTMENTOFMECHANICSANDENGINEERINGSCIENCE,COLLEGEOFCIVILENGINEERINGANDMECHANICS,LANZHOUMAY,2016原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明本人所呈交的學(xué)位論文，是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的成果。學(xué)位論文中凡引用他人已經(jīng)發(fā)表或未發(fā)表的成果、數(shù)據(jù)、觀點(diǎn)等，均已明確注明出處。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的科研成果。對(duì)本文的研究成果做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān)。論文作者簽名日期關(guān)于學(xué)位論文使用授權(quán)的聲明本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下所完成的論文及相關(guān)的職務(wù)作品，知識(shí)產(chǎn)權(quán)歸屬蘭州大學(xué)。本人完全了解蘭州大學(xué)有關(guān)保存、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保存或向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的紙質(zhì)版和電子版，允許論文被查閱和借閱；本人授權(quán)蘭州大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用任何復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。本人離校后發(fā)表、使用學(xué)位論文或與該論文直接相關(guān)的學(xué)術(shù)論文或成果時(shí)，第一署名單位仍然為蘭州大學(xué)。本學(xué)位論文研究?jī)?nèi)容可以公開不宜公開，已在學(xué)位辦公室辦理保密申請(qǐng)，解密后適用本授權(quán)書。（請(qǐng)?jiān)谝陨线x項(xiàng)內(nèi)選擇其中一項(xiàng)打“”）論文作者簽名導(dǎo)師簽名日期日期I電磁材料中多場(chǎng)耦合臨界態(tài)問題的研究摘要隨著科技和工業(yè)技術(shù)的發(fā)展，彈塑性材料、壓電材料以及II類超導(dǎo)材料等在人類生活中發(fā)揮越來越重要的作用。而這些材料中都存在著非常相似的非線性效應(yīng)和臨界態(tài)效應(yīng)例如彈塑性材料應(yīng)力屈服效應(yīng)、壓電材料電位移飽和效應(yīng)以及II類超導(dǎo)體臨界電流密度等。臨界態(tài)問題對(duì)于系統(tǒng)的演化和發(fā)展起到非常重要的作用。因此，分析和研究這些物理系統(tǒng)的非線性臨界態(tài)問題不僅從基礎(chǔ)研究角度很有意義，而且對(duì)于材料的實(shí)際工程應(yīng)用也非常重要。本文針對(duì)這三類材料中的廣受關(guān)注的非線性臨界態(tài)問題，即彈塑性材料裂紋尖端塑性區(qū)應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)，壓電材料裂紋尖端應(yīng)力塑性區(qū)和電位移飽和區(qū)力電場(chǎng)以及實(shí)用II類超導(dǎo)薄帶臨界電流密度等問題等作了進(jìn)一步的理論研究。首先，對(duì)于非線性塑性硬化材料，基于雙折線彈塑性模型，提出了適用于塑性硬化材料裂紋的條帶硬化模型。通過假設(shè)和簡(jiǎn)化非線性本構(gòu)方程，并引入了硬化函數(shù)來描述裂紋尖端塑性區(qū)域的硬化程度，消除了裂紋尖端應(yīng)力奇異性，推導(dǎo)出了條帶硬化區(qū)的大小和裂紋尖端張開位移的解析表達(dá)式。分析討論了材料硬化參數(shù)對(duì)條帶硬化區(qū)大小和裂紋尖端張開位移的影響。結(jié)果表明硬化參數(shù)（TANEE和UY）越大，對(duì)應(yīng)的條帶硬化區(qū)域越小。通過條帶硬化模型，我們成功解釋了根據(jù)大量實(shí)驗(yàn)總結(jié)出的COD設(shè)計(jì)曲線對(duì)于屈服應(yīng)力和極限應(yīng)力比值超過7580的材料不再適用這種現(xiàn)象。此外還推導(dǎo)出了裂紋尖端張開位移和標(biāo)稱應(yīng)變之間的關(guān)系，通過和實(shí)驗(yàn)區(qū)域進(jìn)行對(duì)比，本文的理論結(jié)果全部落在實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)。其次，對(duì)于壓電材料，研究了外加電場(chǎng)對(duì)壓電材料裂紋擴(kuò)展的影響?；诜蔷€性理想彈塑性模型和理想電位移飽和模型，假設(shè)裂紋尖端存在電極化飽和區(qū)和應(yīng)力屈服區(qū)。雙條帶模型消除了應(yīng)力和電位移的奇異性，并將壓電材料的斷裂問題分為兩類情形。我們分別推導(dǎo)出了兩類情形下的裂紋尖端電張開位移和機(jī)械張開位移，并進(jìn)一步提出了新的壓電材料斷裂準(zhǔn)則，即裂紋尖端機(jī)械張開位移。提出造成實(shí)驗(yàn)觀測(cè)上出現(xiàn)常見兩種不同實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的原因可能是由于裂紋前端不同程度的電疇翻轉(zhuǎn)造成了電極化飽和區(qū)和應(yīng)力屈服區(qū)的大小不同。最后，基于場(chǎng)相關(guān)KIM模型研究了超導(dǎo)薄帶在不同物理環(huán)境下的電磁性質(zhì)以及磁滯伸縮等力學(xué)性質(zhì)。采用保角變換方法得到了II類超導(dǎo)薄帶在外加電流、外加磁場(chǎng)、以及外加電流和磁場(chǎng)同時(shí)加載三種情形下的電流密度和磁場(chǎng)分布，推II導(dǎo)出了適用任意場(chǎng)相關(guān)臨界態(tài)模型的積分方程組。對(duì)于小電流和小磁場(chǎng)情形，得到了問題的解析表達(dá)式，證明場(chǎng)相關(guān)臨界態(tài)模型的結(jié)果和BEAN模型的結(jié)果之間存在簡(jiǎn)單的比例因子，從而避免求解復(fù)雜的積分方程組。分析了磁場(chǎng)和電流同時(shí)加載時(shí)類電流分布和類磁場(chǎng)分布特點(diǎn)，并給出了它們的分界線。基于BEAN模型和KIM模型，進(jìn)一步計(jì)算了超導(dǎo)帶材在外加磁場(chǎng)上升階段和下降階段的體力、應(yīng)力、位移分布，以及在一個(gè)周期外加磁場(chǎng)下的磁滯伸縮回線，并對(duì)兩種模型的結(jié)果進(jìn)行了一一對(duì)比。最后，根據(jù)場(chǎng)相關(guān)KIM模型研究了不同橫截面形狀的超導(dǎo)帶材對(duì)臨界外加電流的影響。給出了任意橫截面形狀的超導(dǎo)薄帶的臨界電流的計(jì)算方法。在不同外加磁場(chǎng)下，討論并對(duì)比了超導(dǎo)帶材橫截面形狀參數(shù)對(duì)臨界外加電流的影響。關(guān)鍵詞臨界態(tài)問題，塑性硬化材料，壓電材料，II類超導(dǎo)帶材，應(yīng)力屈服，應(yīng)變硬化，電位移飽和，臨界電流密度，裂紋尖端張開位移，BEAN模型，KIM模型，磁滯伸縮。IIIINVESTIGATIONSONCRITICALSTATEPROBLEMSINELECTROMAGNETICMATERIALSWITHMULTIFIELDCOUPLINGSABSTRACTWITHTHEDEVELOPMENTOFSCIENCEANDTECHNOLOGY,THEELASTOPLASTICMATERIALS、PIEZOELECTRICMATERIALSANDTYPEIISUPERCONDUCTORSPLAYMOREANDMOREIMPORTANTROLESINOURLIFETHEREARESIMILARNONLINEARANDCRITICALEFFECTAMONGTHESEMATERIALS,SUCHASTHESTRESSYIELDINGEFFECTINELASTOPLASTICMATERIALS,POLARIZATIONSATURATIONINPIEZOELECTRICMATERIALSANDCRITICALCURRRENTDENSITYINTYPEIISUPERCONDUCTORS,ETCTHECRITICALPROBLEMSISIMPORTANTTOTHEEVOLUTIONOFTHESYSTEMSINTHISCASE,ITISNECESSARYANDIMPORTANTTOINVESTIGATETHENONLINEARCRITICALPROBLEMSOFTHESEMATERIALSINVIEWOFFOUNDATIONALRESEARCHANDENGINEERINGAPPLICATIONSTHENONLINEARCRITICALPROBLEMSOFSTRESSSTRAINFIELDSINPLASTICZONENEARTHECRACKTIPSINELASTOPLASTICMATERIALS,THESTRESSELECTRICFIELDSINSTRESSYIELDINGZONEANDPOLARIZATIONSATURATIONZONENEARCRACKTIPSINPIEZOELECTRICMATERIALSANDCRITICALCURRENTDENSITYANDFLUXPENETRATIONINTYPEIISUPERCONDUCTORSAREINVESTIGATEDTHEORETICALLYINTHEPRESENTTHESISFIRSTLY,WEPROPOSEDTHESTRIPHARDENINGMODELTOSTUDYTHECRACKTIPOPENINGDISPLACEMENTINELASTOPLASTICMATERIALSBASEDONTHEPIECEWISELINEARSTRESSSTRAINRELATIONTHEHARDENINGFUNCTIONISINTRODUCEDTODESCRIBETHEDEGREEOFAVERAGEHARDENINGINPLASTICZONENEARTHECRACKTIPTHESTRIPHARDENINGMODELISSOLVEDBYSIMPLYIGTHENONLINEARSTRESSSTRAINRELATIONTHESINGULARITYOFSTRESSATTHECRACKTIPSISALSOELIMINATEDTHESIZEOFSTRIPHARDENINGZONEANDCRACKTIPOPENINGDISPLACEMENTCTODAREDERIVEDANDTHEDEPENDENCEOFSTRIPHARDENINGZONESIZEANDCTODONHARDEINGPARAMENTERSISALSODISCUSSEDITISFOUNDTHATTHELARGERTHEHARDENINGPARAMETERSTANEEANDUYARE,THESMALLERTHESTRIPHARDENINGSIZEISTHESTRIPHARDENINGMODELISALSOSUCCESSFULLYUSEDTOINTERPRETTHEEXPERIMENTALRESULTS,WHICHSUGGESTTHECODDESIGNCURVEISNOTVALIDFORTHEMATERIALSWITHTHERATIOOFYIELDSTRESSANDULTIMATESTRESSBEYOND7580THEREAFTER,THERELATIONSHIPBEWEENCTODANDOVERALLSTRAINISALSODERIVEDBYCOMPARISON,THETHEORETICALRESULTSAREINAGREEMENTWITHTHEEXPERIMENTSSECONDLY,THEEFFECTOFAPPLIEDELECTRICFIELDONCRACKPROPAGATIONINPIEZOELECTRICMATERIALSISINVESTIGATEDITISASSUMEDTHATBOTHPOLARIZATIONSATURATIONSTRIPANDSTRESSYIELDINGSTRIPAPPEARSNEARCRACKTIPSBASEDONTHEIDEALSTRESSYIELDINGMODELANDPOLARIZATIONSATURATIONMODEL,WHICHISUSEDTOELIMINATETHESINGULARITYOFSTRESSANDELECTRICDISPLACEMENTATCRACKTIPSTHEELECTRICCRACKTIPOPENDINGDISPLACEMENTECTODANDMECHANICALCRACKTIPOPENINGDISPLACEMENTMCTODAREDERIVEDINTWOCASESBASEDONTHESIZEOFPOLARIZATIONSATURATIONSTRIPANDSTRESSYIELDINGSTRIPIVANEWFRACTURECRITERION,IE,MCTODISPROPOSEDFORTHEPIEZOELECTRICMATERIALSTHEMCTODFRACTURECRITERIONPREDICTSTHATTHEEXISTINGCONTRARYEXPERIMENTSMAYBEINDUCEDBYTHEDIFFERENTSIZEOFPOLARIZATIONSATURATIONSTRIPANDSTRESSYIELDINGSTRIPBECAUSEOFDIFFERENTELECTRICDOMAINSWITCHINGFINALLY,THEELECTROMAGNETICPROPERTIESANDMAGNETOELASTICBEHAVIORSOFTYPEIISUPERCONDUCTINGSTRIPINDIFFERENTPHYSICALFIELDSARECONDISEREDBASEDONFIELDDEPENDENTCRITICALSTATEMODELTHECURRENTDENSITYANDMAGNETICFIELDDISTRIBUTIONSINSUPERCONDUCTINGSTRIPISDERIVEDBYCONFORMALMAPPINGINTHREEDIFFERENTCASES,IE,TRANSPORTCURRENT,APPLIEDMAGNETICFIELD,ANDINTHESIMULTANEOUSPRESENCEOFAPPLIEDFIELDANDTRANSPORTCURRENTTHEADVANTAGEOFTHEMETHODISTHATTHEINTEGRALEQUATIONSAREVALIDFORARBITRARYFIELDDEPENDENTCRITICALSTATEMODELSFORTHESPECIALCASESWITHSMALLTRANSPIRTCURRENTORAPPLIEDFIELD,ANALYTICALRESULTSAREOBTAINEDRATHERTHANSOLVINGTHECOMPLICATEINTEGRALEQUATIONSITISDEMONSTRATEDTHATTHECURRENTDENSITYANDMAGNETICFIELDDISTRIBUTIONS,ANDPENETRATIONDEPTHOFFIELDDEPENDENTCRITICALSTATEMODELCANBEDERIVEDFROMTHERESULTSOFBEANMODELBYASCALINGFACTORTHECHARACTERISTICOFCURRENTLIKEANDFIELDLIKECURRENTDENSITYANDMAGNETICFIELDDISTRIBUTIONSISDISCUSSEDTHEBODYFORCE,STRAIN,DISPLACEMENTATFIELDASCENTANDDESCENTBRANCHSANDMAGNETOSTRICTIONLOOPSAREOBTAINEDBASEDONKIMMODELANDBEANMODELINTHELAST,THEINFLUENCEOFGEOMETRYONCRITICALCURRENTINTHINHIGHTCSUPERCONDUCTINGTAPEISALSOSTUDIEDBASEDONKIMMODELTHENUMERICALPROCEDURETOCALCULATETHECRITICALTRANSPORTCURRENTOFSUPERCONDUCTINGSTRIPWITHARBITRARYGEOMETRYISPRESENTEDTHEDEVELOPMENTOFCRITICALCURRENTINDIFFERENTTYPESOFSUPERCONDUCTINGSTRIPISALSODISCUSSEDINTHETHESISKEYWORDSCRITICALSTATEPROBLEMS,ELASTOPLASTICMATERIALS,PIEZOELECTRICMATERIALS,TYPEIISUPERCONDUCTORS,STRESSYIELDING,STRAINHARDENING,POLARIZATIONSATURATION,CRITICALCURRENTDENSITY,CRACKTIPOPENINGDISPLACEMENT,BEANMODEL,KIMMODEL,MAGNETOSTRICTION目錄摘要IABSTRACTIII第一章緒論111研究背景1111塑性材料的應(yīng)力屈服現(xiàn)象1112壓電材料的電位移飽和現(xiàn)象1113超導(dǎo)材料的基本特性和臨界態(tài)模型3114系統(tǒng)中的臨界態(tài)效應(yīng)和非線性效應(yīng)612研究現(xiàn)狀及進(jìn)展7121塑性材料和壓電材料的斷裂力學(xué)7122實(shí)用II類超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)10123實(shí)用II類的力學(xué)性質(zhì)1313本文主要工作14第二章非線性塑性材料硬化效應(yīng)對(duì)裂紋擴(kuò)展的影響1621非線性彈塑性本構(gòu)模型和基本斷裂準(zhǔn)則16211彈塑性應(yīng)力應(yīng)變模型17212常見斷裂準(zhǔn)則18213DUGDALE模型與裂紋尖端張開位移2122條帶硬化模型24221線性硬化材料的簡(jiǎn)化本構(gòu)方程24222條帶硬化模型和裂紋尖端張開位移27223應(yīng)變硬化對(duì)裂紋尖端張開位移的影響3023本章小結(jié)36第三章電場(chǎng)對(duì)壓電材料裂紋擴(kuò)展的影響3831壓電材料斷裂在實(shí)驗(yàn)和理論方面的研究現(xiàn)狀38311電場(chǎng)對(duì)斷裂韌性的影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果38232幾種壓電材料斷裂準(zhǔn)則4132壓電材料斷裂準(zhǔn)則裂紋尖端機(jī)械張開位移44321應(yīng)力條帶屈服電極化條帶飽和模型45322壓電材料裂紋尖端機(jī)械張開位移斷裂準(zhǔn)則5033壓電材料反平面斷裂問題51331壓電材料力學(xué)反平面條帶電極化飽和模型52332電位移松弛模型求解電極化飽和區(qū)5534本章小結(jié)56第四章場(chǎng)相關(guān)臨界態(tài)模型下超導(dǎo)薄帶電磁響應(yīng)及力學(xué)變形5741實(shí)用II類超導(dǎo)體基本問題57411平行磁場(chǎng)和垂直磁場(chǎng)下超導(dǎo)薄帶問題57412超導(dǎo)體場(chǎng)相關(guān)臨界態(tài)模型5942場(chǎng)相關(guān)臨界態(tài)模型下超導(dǎo)薄帶的解60421垂直磁場(chǎng)下的超導(dǎo)薄帶61422外加電流下的超導(dǎo)薄帶68423外加磁場(chǎng)和電流同時(shí)加載下超導(dǎo)薄帶7343基于場(chǎng)相關(guān)臨界態(tài)模型超導(dǎo)薄帶磁彈性問題79431物理模型和基本方程79432超導(dǎo)薄帶在垂直磁場(chǎng)下磁彈性結(jié)果討論8144本章小結(jié)86第五章橫截面形狀對(duì)超導(dǎo)帶材臨界電流的影響8751超導(dǎo)薄帶厚度對(duì)臨界外加電流的影響8752不同橫截面形狀超導(dǎo)帶材的電流密度分布和臨界外加電流90521物理模型和基本方程90522結(jié)果和討論9253本章小結(jié)97第六章結(jié)束語98附錄101參考文獻(xiàn)114在學(xué)期間的研究成果126致謝128蘭州大學(xué)博士學(xué)位論文第一章緒論1第一章緒論材料在制備過程和實(shí)際工程應(yīng)用中，內(nèi)部不可避免出現(xiàn)裂紋等缺陷，對(duì)于像低碳鋼等塑性材料來說，由應(yīng)力集中造成裂紋尖端出現(xiàn)一定范圍的塑性區(qū)，而非線性塑性變形對(duì)于裂紋的擴(kuò)展有很大影響。而對(duì)于像壓電、鐵電材料來說，由于力電耦合效應(yīng)以及非線性電位移飽和等效應(yīng)，復(fù)雜的物理環(huán)境對(duì)于材料內(nèi)裂紋的擴(kuò)展值得去深入考慮。另外，超導(dǎo)材料由于其具有不同于常規(guī)導(dǎo)電材料的特殊物理性質(zhì)一直是研究的熱點(diǎn)。伴隨對(duì)超導(dǎo)基本物理問題的研究和各種超導(dǎo)材料的制備與發(fā)展，尤其是高溫超導(dǎo)材料的發(fā)現(xiàn)，極大地推動(dòng)了超導(dǎo)在電能輸送、磁流體發(fā)電、超導(dǎo)強(qiáng)磁體等多個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用1,2。因此，研究實(shí)用II類超導(dǎo)體在外加電流、外加磁場(chǎng)等復(fù)雜物理環(huán)境下的電磁場(chǎng)分布以及力學(xué)變形對(duì)于超導(dǎo)的實(shí)際工程應(yīng)用非常重要。11研究背景111塑性材料的應(yīng)力屈服現(xiàn)象對(duì)于像低碳鋼這樣的塑性材料，如圖11（A）所示，其單軸拉伸曲線可以分為線彈性階段，塑性屈服階段、強(qiáng)化階段和局部頸縮階段3。在外加力比較小的時(shí)候，材料處于線彈性階段，服從胡克定律，當(dāng)外加力卸載時(shí)，材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以原路返回到無應(yīng)力狀態(tài)。但是當(dāng)外加力超過比例極限后，材料發(fā)生一定的塑性變形，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不再滿足胡克定律。因此，當(dāng)材料內(nèi)部含有裂紋時(shí)，即使外加載荷比較小，但是由于裂紋尖端存在應(yīng)力集中現(xiàn)象，所以裂紋前端的應(yīng)力首先達(dá)到屈服應(yīng)力，形成一定范圍的塑性區(qū)域；隨著外加載荷的不斷變大，達(dá)到屈服應(yīng)力的范圍越來越大。當(dāng)假設(shè)理想彈塑性關(guān)系時(shí)，塑性區(qū)域的應(yīng)力始終等于屈服應(yīng)力，處于臨界狀態(tài)。隨著外加應(yīng)力的增加，由于塑性區(qū)所有點(diǎn)的應(yīng)力已經(jīng)達(dá)到臨界狀態(tài)，不可能再增加，因此應(yīng)力屈服范圍不斷擴(kuò)大。由于塑性區(qū)應(yīng)力處于臨界狀態(tài)，所以如果塑性區(qū)內(nèi)部的應(yīng)力分布發(fā)生變化，會(huì)影響到整個(gè)塑性區(qū)范圍的改變。如果不是理想彈塑性模型，例如考慮材料硬化，即塑性區(qū)的應(yīng)力和應(yīng)變有關(guān)，此時(shí)裂紋尖端的塑性區(qū)的應(yīng)力同樣處于一種臨界狀態(tài)，只是臨界值不再是一個(gè)常數(shù)（屈服應(yīng)力）。112壓電材料的電位移飽和現(xiàn)象壓電材料作為一種特殊的智能材料，廣泛地應(yīng)用于傳感器，轉(zhuǎn)化器、制動(dòng)器蘭州大學(xué)博士學(xué)位論文第一章緒論2和智能機(jī)器人等現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中47。除了壓電效應(yīng)，壓電鐵電材料還有一個(gè)重要的物理特性電極化特性。電介質(zhì)在外加電場(chǎng)作用下，內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)的正負(fù)電荷的中心會(huì)發(fā)生分裂，轉(zhuǎn)變成偶極子，這種極化叫做位移極化。如果電介質(zhì)本身就有極化分子，沒有外加電場(chǎng)，極化相互抵消；但是在外加電場(chǎng)作用下，極化分子取向發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，使極化軸趨向于電場(chǎng)方向，這種極化稱為取向極化。對(duì)于鐵電材料來說，其內(nèi)部自發(fā)極化取向相同的微小區(qū)域稱為電疇。而且在沒有外電場(chǎng)的情況下，這些電疇都有自己的極化方向，由于電疇取向雜亂無章，所以總體上相互抵消，沒有極化強(qiáng)度。但是在外加電場(chǎng)的作用下，有些電疇的方向開始發(fā)生改變，稱為電疇翻轉(zhuǎn)。隨著外加電場(chǎng)的增大，鐵電材料內(nèi)部的電疇的取向越來越趨向于電場(chǎng)方向，從而導(dǎo)致宏觀的極化強(qiáng)度7，如圖12（A）所示。圖11（A）塑性材料的單軸拉伸曲線和（B）裂紋尖端塑性區(qū)8圖12無外加電場(chǎng)和有外加電場(chǎng)下鐵電材料的電疇示意圖；典型鐵電陶瓷的電滯回線7圖12（B）給出了鐵電材料在外加電場(chǎng)下的電極化曲線。我們可以看到，電滯回線和磁滯回線很類似，如圖所示，當(dāng)外加電場(chǎng)超過一定強(qiáng)度以后，所有的電疇都發(fā)生了翻轉(zhuǎn)，而且取向和外加電場(chǎng)基本一致，此時(shí)的極化已經(jīng)接近飽和，整個(gè)鐵電材料成為一個(gè)單疇，宏觀上表現(xiàn)出飽和極化強(qiáng)度，對(duì)應(yīng)的電位移為飽和電位移。在電極化曲線上就表現(xiàn)出電位移在一定的電場(chǎng)強(qiáng)度之后逐漸趨向于水平直線，不會(huì)隨著外加電場(chǎng)而變化。由于電位移飽和現(xiàn)象，本構(gòu)方程不再是簡(jiǎn)單的蘭州大學(xué)博士學(xué)位論文第一章緒論3線性關(guān)系，電位移和電場(chǎng)之間是非線性的關(guān)系，這種現(xiàn)象與理想彈塑性本構(gòu)模型類似。113超導(dǎo)材料的基本特性和臨界態(tài)模型1911年，ONNES9采用液氦作為低溫源在研究汞等材料的電阻隨著溫度的變化規(guī)律時(shí)，發(fā)現(xiàn)隨著溫度下降到42K后汞的電阻突然消失，由此開啟了凝聚態(tài)物理的一個(gè)新篇章超導(dǎo)電性。隨后發(fā)現(xiàn)金屬鉛也是超導(dǎo)材料，如圖13所示，采用傳統(tǒng)四接線法測(cè)得的金屬鉛的臨界溫度為72K左右。由于超導(dǎo)體具有零電阻特性，因此在超導(dǎo)體內(nèi)部的電流就不會(huì)產(chǎn)生損耗而衰減。1956年COLLINS通過實(shí)驗(yàn)證明了超導(dǎo)線圈內(nèi)的電流經(jīng)過兩年半后依舊和初始電流相同。除了超導(dǎo)的零電阻特性之外，MEISSNER和OCHSENFELD10還發(fā)現(xiàn)超導(dǎo)體的另一個(gè)重要的特性完全抗磁性（內(nèi)部0B）。即當(dāng)外加磁場(chǎng)低于臨界磁場(chǎng)時(shí)，磁場(chǎng)被完全排斥在超導(dǎo)體以外，而且他們發(fā)現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象與外加磁場(chǎng)的加載歷史沒有關(guān)系。當(dāng)超導(dǎo)體零場(chǎng)冷卻后，給超導(dǎo)體施加磁場(chǎng)，會(huì)在超導(dǎo)的邊緣誘導(dǎo)出了邁斯納電流，產(chǎn)生了和外加磁場(chǎng)大小相同方向相反的磁場(chǎng)，從而產(chǎn)生了完全抗磁性。當(dāng)超導(dǎo)體在一定的外加磁場(chǎng)冷卻后，超導(dǎo)體表面同樣會(huì)即刻產(chǎn)生邁斯納電流，從而完全排斥磁場(chǎng)。而且隨著磁場(chǎng)的降低，邁斯納電流也會(huì)隨之減小，最后隨著外加磁場(chǎng)的消失而減小到零。我們可以看到，超導(dǎo)零電阻性質(zhì)并不能推出超導(dǎo)體的MEISSNER效應(yīng)。因此，超導(dǎo)體的零電阻特性和MEISSNER效應(yīng)是超導(dǎo)體兩個(gè)相互獨(dú)立的性質(zhì)。圖13采用四接線方法測(cè)得金屬鉛的電阻隨著溫度的變化曲線和臨界溫度1935年，LONDON兄弟11給出了第一個(gè)描述超導(dǎo)現(xiàn)象的理論，即LONDON方程。根據(jù)LONDON方程，磁場(chǎng)在超導(dǎo)體表面有一定的穿透深度（L），而且在超導(dǎo)體內(nèi)磁場(chǎng)時(shí)按照指數(shù)衰減的。一般來說，磁場(chǎng)的穿透深度相對(duì)于超導(dǎo)體的宏觀蘭州大學(xué)博士學(xué)位論文第一章緒論4尺寸來說很小。1950年，金茲堡和朗道12根據(jù)朗道二級(jí)相變理論提出了唯象的金茲堡朗道方程（GL方程），用來描述超導(dǎo)體的物理性質(zhì)。GL方程中序參量的模表示超導(dǎo)電子的密度，當(dāng)完全超導(dǎo)態(tài)時(shí)，序參量模等于1；當(dāng)變成正常態(tài)時(shí)，序參量為零。ABRIKOSOV13根據(jù)GL方程，從理論上預(yù)測(cè)存在完全不同的兩類超導(dǎo)體。當(dāng)12（，其中和分別為磁場(chǎng)穿透深度和相干長(zhǎng)度）時(shí)，超導(dǎo)界面能是正的，此時(shí)超導(dǎo)體稱為I類超導(dǎo)體。如圖14（A）所示，此類超導(dǎo)體只有兩種態(tài)，即邁斯納態(tài)和正常態(tài)。當(dāng)12的超導(dǎo)體稱為II類超導(dǎo)體，此時(shí)的界面能為負(fù)的。如圖14（B）所示，II類超導(dǎo)體分成三種態(tài)，當(dāng)外加磁場(chǎng)小于下臨界場(chǎng)1CH時(shí)，超導(dǎo)體處于邁斯納態(tài)，此時(shí)磁場(chǎng)被完全排斥在超導(dǎo)體外；當(dāng)外加磁場(chǎng)介于下臨界場(chǎng)1CH和上臨界場(chǎng)2CH時(shí)，超導(dǎo)體處于混合態(tài)，此時(shí)磁通以量子化的渦旋（0）形式進(jìn)入超導(dǎo)體，磁通渦旋之間的相互作用是排斥的，而且在超導(dǎo)體內(nèi)部排列成規(guī)則的晶格結(jié)構(gòu)。隨著磁場(chǎng)的升高，進(jìn)入超導(dǎo)體的渦旋磁通越來越多。如果磁場(chǎng)超過上臨界磁場(chǎng)，超導(dǎo)體變成正常態(tài)。圖14TYPEI和TYPEII超導(dǎo)體的HT相圖1957年，BARDEEN，COOPER和SHRIEFFER14以近自由電子模型為基礎(chǔ)發(fā)現(xiàn)了解釋超導(dǎo)現(xiàn)象的微觀機(jī)理（BCS理論），即在超導(dǎo)態(tài)，金屬中自旋和動(dòng)量相反的電子可以配對(duì)結(jié)合成COOPER電子對(duì)，COOPER電子對(duì)通過交換聲子相互作用。在晶格當(dāng)中可以無損耗的運(yùn)動(dòng)，形成超導(dǎo)電流。1959年，GORKOV15證明BCS理論在接近臨界溫度附近可以推導(dǎo)出GL理論。1986年，BEDNORZ和MULLER16發(fā)現(xiàn)了鑭鋇銅氧體系超導(dǎo)體，其臨界溫度達(dá)到了35K，隨后掀起了研究高溫超導(dǎo)體的熱潮，更多的高溫超導(dǎo)體（如YBCO和BSCCO）隨后被發(fā)現(xiàn)，不僅改變了人們對(duì)高溫超導(dǎo)的認(rèn)識(shí)，而且將超導(dǎo)體的臨界溫度提高到了液氮溫區(qū)，從而改變了只能用昂貴的液氦來研究超導(dǎo)性質(zhì)的局面。2006年以來，日本科學(xué)家首先發(fā)蘭州大學(xué)博士學(xué)位論文第一章緒論5現(xiàn)了鐵基超導(dǎo)體17，隨后中國(guó)學(xué)者對(duì)對(duì)鐵基超導(dǎo)體進(jìn)行了廣泛地研究，不斷刷新鐵基超導(dǎo)體的臨界溫度。2015年，研究人員發(fā)現(xiàn)硫化氫在高壓下出現(xiàn)了超導(dǎo)電性，而且其臨界溫度高達(dá)203K18。圖15（A）釘扎中心釘扎渦旋過程19；（B）理想和非理想II類超導(dǎo)體渦旋排布示意圖20對(duì)于理想II類超導(dǎo)體，由于洛倫茲力作用，很小的外加電流就可以驅(qū)使渦旋運(yùn)動(dòng)，所以其臨界電流和臨界磁場(chǎng)很小，很難在實(shí)際工程中應(yīng)用。但是如果對(duì)超導(dǎo)體進(jìn)行急速淬火、用快中子進(jìn)行輻照或者摻入雜質(zhì)，從而在超導(dǎo)體內(nèi)部引入缺陷等釘扎中心，如圖15（A）所示，這些缺陷會(huì)對(duì)渦旋有一定的釘扎作用（釘扎效應(yīng)），此類超導(dǎo)體稱為非理想II類超導(dǎo)體。如圖15（B）所示，在理想II類超導(dǎo)體內(nèi)的磁通渦旋會(huì)排列成理想的渦旋晶格結(jié)構(gòu)，但是在非理想II類超導(dǎo)體內(nèi)，絕大多數(shù)渦旋會(huì)在會(huì)被釘扎在缺陷內(nèi)。因此在外加電流下，由于這些缺陷對(duì)渦旋有一定的釘扎力，從而平衡電流對(duì)渦旋產(chǎn)生的洛倫茲力。一般需要很大的電流才能驅(qū)使渦旋脫離釘扎，因此，一般非理想II類超導(dǎo)體具有很高的臨界電流和臨界磁場(chǎng)。實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)，當(dāng)退去外加磁場(chǎng)或者外加電流時(shí)，超導(dǎo)體內(nèi)部會(huì)有剩余磁場(chǎng)，這是因?yàn)闇u旋被釘扎在超導(dǎo)內(nèi)部，因此出現(xiàn)了穩(wěn)定的磁通俘獲現(xiàn)象。而且實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到非理想II類超導(dǎo)體的磁化曲線不再是可逆的，而是出現(xiàn)了磁滯回線現(xiàn)象，從而伴隨有交流損耗出現(xiàn)。釘扎中心越多，對(duì)渦旋運(yùn)動(dòng)的阻力就越大，在磁化曲線上造成的滯后就越大。為了解釋非理想II類超導(dǎo)體的磁化現(xiàn)象，BEAN21,22提出了宏觀的臨界態(tài)模型用來描述實(shí)用超導(dǎo)體在磁場(chǎng)或者外加電流下的磁通穿透過程。當(dāng)外加磁場(chǎng)超過下臨界磁場(chǎng)后，磁場(chǎng)會(huì)以磁通量子渦旋的形式一個(gè)一個(gè)地進(jìn)入到超導(dǎo)體內(nèi)部。但是剛進(jìn)去的磁通渦旋碰到缺陷后就被釘扎住了，不能繼續(xù)往超導(dǎo)體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)。但是隨著磁場(chǎng)的增加，作用在磁通渦旋上的洛倫茲力越來越大，當(dāng)洛倫茲力超過釘扎力后，渦旋脫離釘扎繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，在碰到更里面的缺陷后又被釘扎住，而新穿蘭州大學(xué)博士學(xué)位論文第一章緒論6透進(jìn)來的磁通渦旋也會(huì)被釘扎在后面的區(qū)域。如圖16所示，隨著外加磁場(chǎng)的增加，磁通渦旋不斷脫離當(dāng)?shù)氐尼斣瑢?dǎo)內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，而且越靠近超導(dǎo)邊緣，磁通渦旋的密度越大，遠(yuǎn)離超導(dǎo)邊界磁通渦旋的密度越小。在超過一定深度的超導(dǎo)體內(nèi)部區(qū)域，還沒有磁通渦旋進(jìn)入，這個(gè)區(qū)域仍舊保持完全抗磁狀態(tài)，磁場(chǎng)等于零，而磁通渦旋穿透的區(qū)域的深度稱為磁場(chǎng)的穿透深度。當(dāng)外加磁場(chǎng)給定之后，磁通渦旋在超導(dǎo)內(nèi)部有一個(gè)分布規(guī)律，不再隨著時(shí)間而變化。此時(shí)被釘扎住的渦旋都處于一種臨界狀態(tài)，主要稍微增加一點(diǎn)磁場(chǎng)，磁通渦旋就會(huì)脫離釘扎繼續(xù)往內(nèi)部運(yùn)動(dòng)。BEAN提出了渦旋分布不隨時(shí)間變化的臨界條件，即作用在每個(gè)磁通渦旋上的驅(qū)動(dòng)力和阻力相等。例如，在磁場(chǎng)穿透區(qū)域，作用在渦旋上的最大釘扎力密度和實(shí)際超導(dǎo)體的材料以及內(nèi)部缺陷密度等相關(guān)，一旦給定超導(dǎo)材料，那么相當(dāng)于最大阻力分布形式就確定了。圖16非理想II類超導(dǎo)體在磁場(chǎng)下的渦旋分布示意圖23由于缺陷分布的隨機(jī)性，一般很難確切給出最大釘扎力的分布形式，另一方面，目前沒有實(shí)驗(yàn)方法能能夠直接測(cè)出超導(dǎo)體內(nèi)的臨界電流密度分布，只能通過間接實(shí)驗(yàn)方法（如測(cè)磁場(chǎng)分布）推導(dǎo)出電流密度分布。因此BEAN首先假設(shè)在磁場(chǎng)穿透區(qū)域，臨界電流密度是一個(gè)常數(shù)（CJCONSTANT），那么在作用在渦旋線上的洛倫茲力密度為L(zhǎng)CFBJ，一般可以通過臨界態(tài)模型計(jì)算的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)磁化曲線對(duì)比來確定超導(dǎo)臨界電流密度。后來發(fā)現(xiàn)，BEAN假設(shè)的常數(shù)形式的臨界電流密度分布只能定性的解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，很不精確。因此，在BEAN模型之后，出現(xiàn)了很多類型的臨界電流形式，如KIM模型24,25，指數(shù)模型26,27，線性形式28和冪函數(shù)形式29,30等等。有了這些臨界態(tài)模型，理論上可以計(jì)算出任意形式的超導(dǎo)體在外加磁場(chǎng)和外加電流下的電流和磁場(chǎng)分布。精確計(jì)算超導(dǎo)體的電流和磁場(chǎng)分布是進(jìn)一步計(jì)算超導(dǎo)體交流損耗，磁化曲線，磁致伸縮行為的基礎(chǔ)，從而為超導(dǎo)體的實(shí)際應(yīng)用提供理論依據(jù)。114系統(tǒng)中的臨界態(tài)效應(yīng)和非線性效應(yīng)將超導(dǎo)體的臨界態(tài)模型與前面的彈塑性本構(gòu)模型與電位移飽蘭州大學(xué)博士學(xué)位論文第一章緒論7和模型對(duì)比分析，我們可以看到，盡管它們是屬于不同的物理系統(tǒng)，但是其中的數(shù)學(xué)問題確實(shí)非常相似的，都是屬于一個(gè)區(qū)域內(nèi)臨界態(tài)問題。對(duì)于彈塑性材料來說，塑性區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力等于屈服應(yīng)力（或者某種形式的應(yīng)力形式）；對(duì)于鐵電材料來說，飽和區(qū)域內(nèi)電位移等于飽和電位移值；對(duì)于超導(dǎo)材料來說，磁通穿透區(qū)域內(nèi)的電流密度等于臨界電流密度。因此，從數(shù)學(xué)上看，這些現(xiàn)象都是物理系統(tǒng)在某個(gè)區(qū)域內(nèi)某物理量（應(yīng)力，電位移，電流密度）達(dá)到了一個(gè)臨界值，該區(qū)域處于臨界物理狀態(tài)，由于臨界狀態(tài)的限定，該區(qū)域的這些物理量不能超過臨界值，而是臨界區(qū)域的擴(kuò)張問題。當(dāng)物理系統(tǒng)發(fā)展到特定狀態(tài)時(shí)，相關(guān)的物理量將隨之發(fā)生突變，我們將此物理量的值叫做臨界值，對(duì)應(yīng)的特定物理狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)。因此，臨界狀態(tài)可以看做物理系統(tǒng)發(fā)生狀態(tài)質(zhì)變的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。一個(gè)系統(tǒng)里不同物理量之間一般存在相互制約的關(guān)系，其中當(dāng)某個(gè)或者某些物理量的變化達(dá)到極限狀態(tài)或極值時(shí)，就會(huì)伴隨臨界現(xiàn)象的產(chǎn)生。臨界問題對(duì)于系統(tǒng)的演化和發(fā)展起到非常重要的作用。上面介紹的這些物理現(xiàn)象不僅具有相似的臨界值效應(yīng)，而且這些物理系統(tǒng)還表現(xiàn)出了很強(qiáng)的非線性效應(yīng)。具體來說，對(duì)于彈塑性材料，隨著外加載荷增大，裂紋尖端便會(huì)出現(xiàn)塑性區(qū)域，塑性區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不再滿足線性胡克定律，而是具有非線性效應(yīng)。對(duì)于壓電材料，當(dāng)電位移區(qū)域飽和時(shí)，電位移與外加電場(chǎng)不再是線性關(guān)系，而隨著外加電場(chǎng)增加會(huì)趨于飽和值。對(duì)于實(shí)用II類超導(dǎo)材料來說，一個(gè)傾斜磁場(chǎng)下的超導(dǎo)體電流和磁場(chǎng)分布問題不能采用疊加原理將傾斜磁場(chǎng)分解為水平磁場(chǎng)和垂直磁場(chǎng)再疊加進(jìn)行求解。因此，分析和研究這些物理系統(tǒng)的非線性臨界態(tài)問題不僅從基礎(chǔ)研究角度很有意義，而且對(duì)于材料的實(shí)際工程應(yīng)用也非常重要。12研究現(xiàn)狀及進(jìn)展PRIGOZHIN31從數(shù)學(xué)角度研究分析了沙堆、河流網(wǎng)、II類超導(dǎo)體、彈塑性材料等不同物理系統(tǒng)的臨界態(tài)問題存在著相似性。下面我們介紹塑性材料、壓電材料中斷裂問題和II類超導(dǎo)材料與臨界態(tài)問題相關(guān)的力電磁方面的研究進(jìn)展。121塑性材料和壓電材料的斷裂力學(xué)由于材料制備工藝和實(shí)際應(yīng)用過程中材料疲勞都會(huì)導(dǎo)致材料內(nèi)部出現(xiàn)不同大小的裂紋。我們知道在缺陷附近會(huì)存在明顯的應(yīng)力集中現(xiàn)象，根據(jù)材料線性本構(gòu)方程，可以得出應(yīng)力在裂紋尖端會(huì)有奇異性（應(yīng)力無限大）。為了描述和刻畫不同幾何形狀的材料和不同外加載荷下不同的應(yīng)力奇異性，IRWIN提出了應(yīng)力強(qiáng)度因子，0LIM2RKRR，并證明了在線彈性情況下，應(yīng)力強(qiáng)度因子K和裂紋蘭州大學(xué)博士學(xué)位論文第一章緒論8尖端能量釋放率G是等價(jià)的。根據(jù)應(yīng)力強(qiáng)度因子K和能量釋放率G建立了裂紋是否擴(kuò)展的判據(jù)，即當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度因子K（或能量釋放率G）大于材料的臨界應(yīng)力強(qiáng)度因子或斷裂韌性CK（或CG）時(shí)，裂紋就開始擴(kuò)展。但是，以應(yīng)力強(qiáng)度因子為標(biāo)志建立的線彈性斷裂力學(xué)只能適用于脆性材料和低外加載荷下的塑性材料，即當(dāng)裂紋尖端的塑性區(qū)域相對(duì)于裂紋長(zhǎng)度來說很小才能成立。材料的極限應(yīng)力不可能無限大，實(shí)際上裂紋尖端應(yīng)力超過屈服應(yīng)力后，隨著外加載荷的增加，在裂紋擴(kuò)展之前裂紋前端的塑性區(qū)域會(huì)不斷擴(kuò)大。IRWIN等人32最早考慮了一個(gè)簡(jiǎn)單的塑性模型，提供了第一個(gè)定量描述裂紋尖端塑性區(qū)理論。因此，他們假設(shè)裂紋尖端的應(yīng)力分布不再是根據(jù)線彈性模型計(jì)算出來的那種奇異性的分布形式，而是由于在較小的范圍內(nèi)塑性變形的存在使得材料出現(xiàn)了一定的應(yīng)力松弛。RICE和CHEREPANOV33,34提出的J積分，理論上J積分適用于沒有卸載的任意彈塑性材料，本構(gòu)方程可以是線性的也可以是非線性的。因此J積分奠定了彈塑性斷裂力學(xué)的基礎(chǔ)。J積分描述了流向裂紋尖端區(qū)域的能量多少。因此，裂紋尖端的應(yīng)力和應(yīng)變奇異性也可以用J來表達(dá)，尤其是對(duì)于線彈性材料，J積分和能量釋放率是等價(jià)的。HUTCHINSON35與RICE和ROSENGREN36根據(jù)冪次本構(gòu)方程建立了著名的非線性HRR場(chǎng)，結(jié)果表明裂紋尖端還是存在應(yīng)力奇異性，只是應(yīng)力奇異性的規(guī)律和本構(gòu)方程中的冪指數(shù)有關(guān)系。從此開始，在這方面不少學(xué)者在實(shí)驗(yàn)和理論兩方面做出了很多有意義的工作。BEGLEY和LANDES3739基于J積分建立了彈塑性力學(xué)的基本判據(jù)。RICE等人40根據(jù)含有深裂紋的彎曲試樣，提出了采用單試樣測(cè)量臨界J積分方法。TUNNER41引入了與幾個(gè)形狀有關(guān)的參數(shù)（因子）。LARSSON和CARLSSON42采用有限元方法研究了非奇異應(yīng)變項(xiàng)和試件尺寸對(duì)彈塑性裂紋尖端屈服區(qū)域的影響。RICE43進(jìn)一步研究闡釋了裂紋尖端形變的非奇異應(yīng)力。MCMEEKING和PARKS44，SHIH和GERMAN45的研究表明，對(duì)于應(yīng)變硬化材料裂紋尖端的彈塑性應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)與材料的幾何形狀和加載速率相關(guān)。對(duì)于裂紋尖端塑性區(qū)域比較大情形時(shí)，ODOWD和SHIH46提出了裂紋尖端雙參數(shù)斷裂準(zhǔn)則，即J和Q準(zhǔn)則。根據(jù)HRR場(chǎng)的分析方法，在隨后的研究中，李堯臣和王自強(qiáng)建立了裂紋頂端彈塑性高階場(chǎng)的基本方程，求得了平面應(yīng)變問題的二階場(chǎng)，證實(shí)了二階場(chǎng)的幅值系數(shù)在中心裂紋頂端彈塑性場(chǎng)起著非常重要的作用47。XIA、WANG和SHIH48以及YANG等人49進(jìn)一步研究了裂紋尖端高階場(chǎng)，即將應(yīng)力勢(shì)函數(shù)展開為五項(xiàng)，得到了前五項(xiàng)的完整結(jié)果，證明了本征級(jí)數(shù)前五項(xiàng)展開式只含有3個(gè)獨(dú)立的參數(shù)。基于高階場(chǎng)的分析結(jié)果，魏悅廣和王自強(qiáng)提出了2JK雙參數(shù)斷裂準(zhǔn)則50，該準(zhǔn)則給出了斷裂韌性上、下限曲線，能夠很好的預(yù)示KIRK等人51的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。蘭州大學(xué)博士學(xué)位論文第一章緒論9圖17裂紋張開位移和裂紋尖端頸縮區(qū)域示意圖在彈塑性斷裂力學(xué)里面，另一個(gè)為人所熟知的理論就是DUGDALE提出的條帶應(yīng)力屈服模型52，以及根據(jù)條帶屈服模型提出的裂紋尖端張開位移作為斷裂判據(jù)5355。但是條帶塑性模型一般忽略了材料的硬化作用，尤其是當(dāng)外加力超過半個(gè)屈服應(yīng)力時(shí)，條帶屈服模型基本失去了意義。根據(jù)HRR奇異性場(chǎng)并采用冪次應(yīng)變硬化模型，SHIH56數(shù)值計(jì)算了裂紋張開位移（COD，如圖17A所示）并研究了COD和J積分之間的關(guān)系。當(dāng)薄板在拉伸應(yīng)力作用下，SCHAEFFER等人57實(shí)驗(yàn)上觀察到了裂紋前端存在一個(gè)條狀的頸縮區(qū)域（如圖17B所示）。因?yàn)榇嬖谥牧系挠不饔?，所以頸縮區(qū)的大小要比根據(jù)DUGDALE計(jì)算出來的條帶屈服區(qū)域小很多。由于壓電材料力電耦合特性，外加電場(chǎng)會(huì)影響裂紋尖端的應(yīng)力場(chǎng)分布，從而會(huì)影響到裂紋擴(kuò)展。上個(gè)世紀(jì)70年代，KUDRIAVTSES、PARTON、CHEREPANOV等人開始研究壓電材料斷裂問題5861。到了80年代，DEEG建立了含共線型位錯(cuò)和電荷偶極線模型，采用GREEN函數(shù)方法研究了壓電材料含一般缺陷的力學(xué)問題62。SOSA和PAK利用本征函數(shù)展開法研究了無限大壓電裂紋問題，得到裂紋尖端電場(chǎng)和應(yīng)力有相同的1/2R奇異性63。PAK求解了反平面的III型裂紋問題，將守恒積分推廣到壓電材料的斷裂問題中，并且提出了電位移強(qiáng)度因子和電場(chǎng)強(qiáng)度因子64。ZHANG和TONG65通過復(fù)電勢(shì)計(jì)算得到了橢圓孔附近的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)和電場(chǎng)的解。1992年，SUO等人對(duì)前人做的壓電斷裂問題進(jìn)行了總結(jié)66，通過分析發(fā)現(xiàn)了一類新的奇異性，從而在裂紋尖端有兩類奇異性，即1/2RI和1/2R奇異性。這一結(jié)論被OU等人的數(shù)值和理論結(jié)果驗(yàn)證67,68，他們并且發(fā)現(xiàn)橫觀各項(xiàng)同性壓電介質(zhì)，兩類奇異性不能同時(shí)存在。為了解釋已有的理論與PAK和SUN的實(shí)驗(yàn)69不符，GAO等人6將DUGDALE模型12推廣到壓電斷裂中，提出了條帶電極化飽和模型PS模型，通過簡(jiǎn)化方程求解了無限大壓電體平面裂紋問題。2000年，WANG采用PS模型求解了各向異性壓電體同樣的裂紋問題70。在GAO之后不少研究者采用PS模型通過傅里葉變換方法和積分變化方法求解了不同的裂紋問題7178。ZHANG等人對(duì)壓電材料的斷裂行為和破壞模型進(jìn)行了研究和總結(jié)79,80。陳增濤和余壽文采用積分變換技術(shù)，得到不同壓電介質(zhì)界面上的反平面運(yùn)動(dòng)裂紋問題的分析解81。蘭州大學(xué)博士學(xué)位論文第一章緒論10對(duì)于電場(chǎng)是如何影響壓電材料擴(kuò)展的，目前實(shí)驗(yàn)上主要報(bào)道了兩種截然不同的實(shí)驗(yàn)結(jié)果7，（I）正電場(chǎng)降低斷裂韌性，而負(fù)電場(chǎng)增加斷裂韌性69,82,83；（II）正負(fù)電場(chǎng)都是降低壓電材料的斷裂韌性84,85。對(duì)于壓電材料斷裂來說，目前研究人員提出了很多種斷裂判據(jù)，例如機(jī)械能釋放率69、局部J積分或局部能量釋放率6、修正的應(yīng)力強(qiáng)度因子準(zhǔn)則70,86,87、能量密度8890、COD準(zhǔn)則等等87。但是目前已有的這些理論判據(jù)只能解釋其中一種實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并不能同時(shí)解釋兩種以上的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。122實(shí)用II類超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)由于BEAN臨界態(tài)模型簡(jiǎn)單，在實(shí)際中方便計(jì)算超導(dǎo)體處于外加磁場(chǎng)時(shí)的電流密度和磁場(chǎng)分布，以及相應(yīng)的交流損耗和交流磁化規(guī)律，因此得到了廣泛地應(yīng)用。當(dāng)外加磁場(chǎng)平行于無限長(zhǎng)的超導(dǎo)圓柱或者無限大的超導(dǎo)厚板的側(cè)面時(shí)，由于磁場(chǎng)或者磁場(chǎng)線沿著磁場(chǎng)方向沒有變化，因此，對(duì)于這些結(jié)構(gòu)來說，不需要考慮退磁效應(yīng)，沿著圓柱徑向或者沿著超導(dǎo)平板厚度方向的磁場(chǎng)穿透分布和電流密度的分布可以直接通過BEAN臨界態(tài)模型計(jì)算得到。磁場(chǎng)的梯度等于臨界電流密度大小，而超導(dǎo)體內(nèi)的電流密度分布要么等于臨界電流0CJ要么等于0。關(guān)于這些結(jié)構(gòu)在平行磁場(chǎng)下的磁場(chǎng)穿透，電流分布和磁化規(guī)律已經(jīng)得到了廣泛的研究9195。但是當(dāng)外加磁場(chǎng)垂直于超導(dǎo)圓盤或者垂直于超導(dǎo)薄帶時(shí)，由于這種情況下的超導(dǎo)體具有很強(qiáng)的退磁效應(yīng)，超導(dǎo)圓盤或者超導(dǎo)薄帶磁場(chǎng)和電流密度分布不能再根據(jù)簡(jiǎn)單的微分關(guān)系進(jìn)行求解。SCHUSTER等人96采用BEAN模型給出了當(dāng)磁通全部穿透超導(dǎo)體時(shí)的結(jié)果，此時(shí)整個(gè)超導(dǎo)體全部是臨界電流密度。在磁場(chǎng)部分穿透超導(dǎo)圓盤和超導(dǎo)薄帶時(shí)，為了保持內(nèi)部區(qū)域完全抗磁性，超導(dǎo)體內(nèi)部電流密度不再是平行磁場(chǎng)下那種要么是臨界電流密度要么是零的簡(jiǎn)單分布，而是在整個(gè)超導(dǎo)圓盤或者超導(dǎo)薄帶都會(huì)有電流分布；磁場(chǎng)分布也變得非常復(fù)雜，不再是平行磁場(chǎng)下通過簡(jiǎn)單的積分就能得到。為了方便區(qū)分，對(duì)于垂直磁場(chǎng)下臨界態(tài)模型里面假設(shè)臨界電流密度是常數(shù)的情形，我們?nèi)匀环Q為BEAN模型。NORRIS采用BEAN臨界態(tài)模型通過保角變化方法計(jì)算得到了超導(dǎo)薄膜在外加電流下的磁場(chǎng)和電流密度分布公式，并進(jìn)一步計(jì)算得到了超導(dǎo)薄膜交流損耗的公式。SWAN97通過計(jì)算得到了和NORRIS相同的磁場(chǎng)和電流密度分布公式。BRANDT等人98根據(jù)BEAN模型研究了外加磁場(chǎng)垂直于II類超導(dǎo)薄膜時(shí)電流密度和磁場(chǎng)分布。BRANDT99還研究了超導(dǎo)薄圓盤在垂直外加磁場(chǎng)下的磁場(chǎng)和電流的分布，并且和超導(dǎo)薄帶在垂直磁場(chǎng)下，超導(dǎo)圓柱和超導(dǎo)板在平行外加磁場(chǎng)下的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。CLEM和SANCHEZ100進(jìn)一步計(jì)算了超導(dǎo)薄盤的磁滯交流損耗和交流磁化系數(shù)。BRANDT和INDENBOM101研究了更復(fù)雜的加載情形，即當(dāng)外加電流和外加垂直磁場(chǎng)同時(shí)線蘭州大學(xué)博士學(xué)位論文第一章緒論11性加載時(shí)，在不考慮磁場(chǎng)退出的情況下，他們計(jì)算得到了電流密度和磁場(chǎng)的分布的解析表達(dá)式，電流和磁場(chǎng)分布打破了對(duì)稱性分布，而且將電流和磁場(chǎng)的分布形式分為兩類，類電流分布和類磁場(chǎng)分布；并指出即使電流和磁場(chǎng)同時(shí)增加，也有可能對(duì)應(yīng)一側(cè)的穿透深度會(huì)減小，此時(shí)數(shù)學(xué)結(jié)果并不會(huì)對(duì)應(yīng)任何實(shí)際物理現(xiàn)象。ZELDOV等人102研究總結(jié)了超導(dǎo)薄帶在各種電流和磁場(chǎng)加載情形下電流密度分布和磁化性質(zhì)，并且和超導(dǎo)薄板在平行磁場(chǎng)下進(jìn)行了對(duì)比。MIKHEENKO和KUZOVLEV103采用BEAN模型研究了無限長(zhǎng)的超導(dǎo)圓柱在垂直磁場(chǎng)下的電流和磁場(chǎng)分布，得到了精確的解析結(jié)果。BRANDT104采用BEAN模型給出了有限長(zhǎng)的超導(dǎo)圓柱磁場(chǎng)穿透規(guī)律和磁化曲線，當(dāng)圓柱體高度無限薄或者無限長(zhǎng)兩種極限情況下，可以退化到相應(yīng)的解析結(jié)果。MIKITIK和BRANDT105同樣采用BEAN模型給出了計(jì)算橫截面是扁橢圓形狀的薄超導(dǎo)薄帶在垂直磁場(chǎng)下的電流和磁場(chǎng)分布的近似解析結(jié)果。在橫截面是圓形或者薄帶情形時(shí)，結(jié)果可以退化到相應(yīng)的精確解析結(jié)果。MAWATARI和CLEM106研究了無限大超導(dǎo)薄膜附近放一無限長(zhǎng)且與超導(dǎo)薄膜表面平行的通電導(dǎo)線情形時(shí)，超導(dǎo)薄膜的磁場(chǎng)和電流密度分布等問題，此外還進(jìn)一步考慮了超導(dǎo)薄膜上面放置兩根平行的導(dǎo)線的情形。CLEM107研究了縱向排列的超導(dǎo)薄帶在外加電流時(shí)的磁場(chǎng)、電流分布和交流損耗等問題。MAWATARI和KAJIKAWA108計(jì)算得到了放射狀排列的超導(dǎo)薄帶的交流損耗公式，討論了交流損耗隨著排列形式的變化規(guī)律。MAWATARI109考慮了在外加磁場(chǎng)下無限多超導(dǎo)薄帶排列成水平陣列和垂直陣列時(shí)磁場(chǎng)和電流分布問題，得到了解析結(jié)果，后來將結(jié)果進(jìn)一步推廣到了二維超導(dǎo)陣列結(jié)構(gòu)110。對(duì)于外加電流圓弧型超導(dǎo)薄膜和垂直外加磁場(chǎng)下的超導(dǎo)薄壁筒兩種情形，MAWATARI111,112進(jìn)一步采用保角變換方法得到了電流和磁場(chǎng)分布公式以及交流損耗規(guī)律，并進(jìn)一步得到了圓弧超導(dǎo)膜排列成圓形陣列時(shí)的交流損耗等問題。HE等人113考慮了鐵磁基底對(duì)圓形陣列的超導(dǎo)線纜交流損耗的影響。對(duì)于有限尺寸的超導(dǎo)體，例如正方形，長(zhǎng)方形等，目前還沒有求解這些問題的精確解法。對(duì)于橫截面具有一定寬度和厚度的長(zhǎng)方形，橢圓以及介于兩者之間的任意幾何形狀的超導(dǎo)材料在外加電流情形下，CLEM114給出了計(jì)算磁場(chǎng)、電流密度分布以及交流損耗等問題的解析方法和數(shù)值方法。BRAN