同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分

1、可編輯 第五章 定積分 教學(xué)目的：1、 理解定積分的概念。2、 掌握定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握定積分的換元積分法與分部積分法。3、 理解變上限定積分定義的函數(shù)，及其求導(dǎo)數(shù)定理，掌握牛頓萊布尼茨公式。4、 了解廣義積分的概念并會(huì)計(jì)算廣義積分。 教學(xué)重點(diǎn)：1、 定積分的性質(zhì)及定積分中值定理2、 定積分的換元積分法與分部積分法。3、 牛頓萊布尼茨公式。 教學(xué)難點(diǎn)：1、 定積分的概念2、 積分中值定理3、 定積分的換元積分法分部積分法。4、 變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5. 1 定積分概念與性質(zhì) 一、定積分問題舉例 1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形: 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上非負(fù)、連續(xù). 由直線x

2、=a、x=b、y=0及曲線y=f (x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形, 其中曲線弧稱為曲邊. 求曲邊梯形的面積的近似值: 將曲邊梯形分割成一些小的曲邊梯形, 每個(gè)小曲邊梯形都用一個(gè)等寬的小矩形代替, 每個(gè)小曲邊梯形的面積都近似地等于小矩形的面積, 則所有小矩形面積的和就是曲邊梯形面積的近似值. 具體方法是: 在區(qū)間a, b中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)a=x0 x1 x2 xn-1 xn =b, 把a(bǔ), b分成n個(gè)小區(qū)間x0, x1, x1, x2, x2, x3, , xn-1, xn , 它們的長(zhǎng)度依次為Dx1= x1-x0 , Dx2= x2-x1 , , Dxn = xn -xn-1 . 經(jīng)過每一個(gè)

3、分點(diǎn)作平行于y 軸的直線段, 把曲邊梯形分成n個(gè)窄曲邊梯形. 在每個(gè)小區(qū)間xi-1, xi 上任取一點(diǎn)x i , 以xi-1, xi 為底、f (x i)為高的窄矩形近似替代第i個(gè)窄曲邊梯形(i=1, 2, , n) , 把這樣得到的n個(gè)窄矩陣形面積之和作為所求曲邊梯形面積A的近似值, 即Af (x 1)Dx1+ f (x 2)Dx2+ + f (x n )Dxn. 求曲邊梯形的面積的精確值: 顯然, 分點(diǎn)越多、每個(gè)小曲邊梯形越窄, 所求得的曲邊梯形面積A的近似值就越接近曲邊梯形面積A的精確值, 因此, 要求曲邊梯形面積A的精確值, 只需無限地增加分點(diǎn), 使每個(gè)小曲邊梯形的寬度趨于零. 記l=

4、maxDx1, Dx2, , Dxn , 于是, 上述增加分點(diǎn), 使每個(gè)小曲邊梯形的寬度趨于零, 相當(dāng)于令l0. 所以曲邊梯形的面積為. 2. 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng), 已知速度v=v(t)是時(shí)間間隔T 1, T 2上t的連續(xù)函數(shù), 且v(t)0, 計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S . 求近似路程: 我們把時(shí)間間隔T 1, T 2分成n 個(gè)小的時(shí)間間隔Dti , 在每個(gè)小的時(shí)間間隔Dti內(nèi), 物體運(yùn)動(dòng)看成是均速的, 其速度近似為物體在時(shí)間間隔Dti內(nèi)某點(diǎn)x i的速度v(t i), 物體在時(shí)間間隔Dti內(nèi) 運(yùn)動(dòng)的距離近似為DSi= v(t i) Dti . 把物體在每一小的時(shí)間間

5、隔Dti內(nèi) 運(yùn)動(dòng)的距離加起來作為物體在時(shí)間間隔T 1 , T 2內(nèi)所經(jīng)過的路程S 的近似值. 具體做法是: 在時(shí)間間隔T 1 , T 2內(nèi)任意插入若干個(gè)分點(diǎn)T 1=t 0 t 1 t 2 t n-1 t n=T 2, 把T 1 , T 2分成n個(gè)小段t 0, t 1, t 1, t 2, , t n-1, t n , 各小段時(shí)間的長(zhǎng)依次為Dt 1=t 1-t 0, Dt 2=t 2-t 1, , Dt n =t n -t n-1. 相應(yīng)地, 在各段時(shí)間內(nèi)物體經(jīng)過的路程依次為DS 1, DS 2, , DS n. 在時(shí)間間隔t i-1, t i上任取一個(gè)時(shí)刻t i (t i-1t i t i),

6、 以t i時(shí)刻的速度v(t i)來代替t i-1, t i上各個(gè)時(shí)刻的速度, 得到部分路程DS i的近似值, 即 DS i= v(t i) Dt i (i=1, 2, , n). 于是這n段部分路程的近似值之和就是所求變速直線運(yùn)動(dòng)路程S 的近似值, 即; 求精確值: 記l = maxDt 1, Dt 2, , Dt n, 當(dāng)l0時(shí), 取上述和式的極限, 即得變速直線運(yùn)動(dòng)的路程. 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上非負(fù)、連續(xù). 求直線x=a、x=b、y=0及曲線y=f (x)所圍成的曲邊梯形的面積. (1)用分點(diǎn)a=x0x1x2 xn-1xn =b把區(qū)間a, b分成n個(gè)小區(qū)間: x0, x1,

7、x1, x2, x2, x3, , xn-1, xn , 記Dxi=xi-xi-1 (i=1, 2, , n). (2)任取x ixi-1, xi, 以xi-1, xi為底的小曲邊梯形的面積可近似為 (i=1, 2, , n); 所求曲邊梯形面積A的近似值為 . (3)記l=maxDx1, Dx2, , Dxn , 所以曲邊梯形面積的精確值為 . 設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng), 已知速度v=v(t)是時(shí)間間隔T 1, T 2上t的連續(xù)函數(shù), 且v(t)0, 計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S . (1)用分點(diǎn)T1=t0t1t2 t n-1tn=T2把時(shí)間間隔T 1 , T 2分成n個(gè)小時(shí)間段: t0, t

8、1, t1, t2, , tn-1, tn , 記Dti =ti-ti-1 (i=1, 2, , n). (2)任取titi-1, ti, 在時(shí)間段ti-1, ti內(nèi)物體所經(jīng)過的路程可近似為v(ti)Dti (i=1, 2, , n); 所求路程S 的近似值為 . (3)記l=maxDt1, Dt2, , Dtn, 所求路程的精確值為 . 二、定積分定義 拋開上述問題的具體意義, 抓住它們?cè)跀?shù)量關(guān)系上共同的本質(zhì)與特性加以概括, 就抽象出下述定積分的定義. 定義 設(shè)函數(shù)f(x)在a, b上有界, 在a, b中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)a =x0 x1 x2 xn-1 xn=b, 把區(qū)間a, b分成n個(gè)小

9、區(qū)間x0, x1, x1, x2, , xn-1, xn , 各小段區(qū)間的長(zhǎng)依次為Dx1=x1-x0, Dx2=x2-x1, , Dxn =xn -xn-1. 在每個(gè)小區(qū)間xi-1, xi上任取一個(gè)點(diǎn)x i (xi-1 x i xi), 作函數(shù)值f (x i)與小區(qū)間長(zhǎng)度Dxi的乘積f (x i) Dxi (i=1, 2, , n) , 并作出和. 記l = maxDx1, Dx2, , Dxn, 如果不論對(duì)a, b怎樣分法, 也不論在小區(qū)間xi-1, xi上點(diǎn)x i 怎樣取法, 只要當(dāng)l0時(shí), 和S 總趨于確定的極限I, 這時(shí)我們稱這個(gè)極限I為函數(shù)f (x)在區(qū)間a, b上的定積分, 記作,

10、 即 .其中f (x)叫做被積函數(shù), f (x)dx叫做被積表達(dá)式, x叫做積分變量, a 叫做積分下限, b 叫做積分上限, a, b叫做積分區(qū)間. 定義 設(shè)函數(shù)f(x)在a, b上有界, 用分點(diǎn)a=x0x1x2 xn-1b時(shí), . 性質(zhì)1 函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差) 即 . 證明: . 性質(zhì)2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面 即 . 這是因?yàn)? 性質(zhì)3 如果將積分區(qū)間分成兩部分 則在整個(gè)區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和 即 . 這個(gè)性質(zhì)表明定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性. 值得注意的是不論a ,b ,c的相對(duì)位置如何總有等式 成立. 例如, 當(dāng)abc時(shí),

11、 由于 , 于是有 . 性質(zhì)4 如果在區(qū)間a b上f (x)1 則 . 性質(zhì)5 如果在區(qū)間a, b上 f (x)0, 則 (ab). 推論1 如果在區(qū)間a, b上 f (x) g(x) 則 (ab). 這是因?yàn)間 (x)-f (x)0, 從而 , 所以 . 推論2 (ab). 這是因?yàn)?|f (x)| f (x) |f (x)|, 所以 , 即 | . 性質(zhì)6 設(shè)M 及m 分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的最大值及最小值, 則 (ab). 證明 因?yàn)?m f (x) M , 所以 , 從而 . 性質(zhì)7 (定積分中值定理) 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 則在積分區(qū)間a, b上至少存

12、在一個(gè)點(diǎn)x , 使下式成立: . 這個(gè)公式叫做積分中值公式. 證明 由性質(zhì)6 ,各項(xiàng)除以b-a 得 ,再由連續(xù)函數(shù)的介值定理, 在a, b上至少存在一點(diǎn)x , 使 ,于是兩端乘以b-a得中值公式 . 積分中值公式的幾何解釋: 應(yīng)注意: 不論ab, 積分中值公式都成立. 5. 2 微積分基本公式 一、變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系 設(shè)物體從某定點(diǎn)開始作直線運(yùn)動(dòng), 在t時(shí)刻所經(jīng)過的路程為S(t), 速度為v=v(t)=S(t)(v(t)0), 則在時(shí)間間隔T1, T2內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S可表示為 及,即 . 上式表明, 速度函數(shù)v(t)在區(qū)間T1, T2上的定積分等于v(t)的原函數(shù)S

13、(t)在區(qū)間T1, T2上的增量. 這個(gè)特殊問題中得出的關(guān)系是否具有普遍意義呢？ 二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), 并且設(shè)x為a, b上的一點(diǎn). 我們把函數(shù)f(x)在部分區(qū)間a, x上的定積分 稱為積分上限的函數(shù). 它是區(qū)間a, b上的函數(shù), 記為F(x), 或F(x)=. 定理1 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), 則函數(shù) F(x)在a, b上具有導(dǎo)數(shù), 并且它的導(dǎo)數(shù)為 F(x)(ax0, 則同理可證F+(x)= f(a); 若x=b , 取Dx0. 證明函數(shù)在(0, +)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù). 證明: , . 故.按假設(shè), 當(dāng)0t0, (x-t)f (t) 0

14、 , 所以, , 從而F (x)0 (x0), 這就證明了F (x) 在(0, +)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù). 例7. 求. 解: 這是一個(gè)零比零型未定式, 由羅必達(dá)法則, . 提示: 設(shè), 則. . 5. 3 定積分的換元法和分部積分法 一、換元積分法 定理 假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), 函數(shù)x=j(t)滿足條件: (1)j(a )=a , j(b)=b; (2)j(t)在a, b(或b, a)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且其值域不越出a, b, 則有. 這個(gè)公式叫做定積分的換元公式. 證明 由假設(shè)知, f(x)在區(qū)間a, b上是連續(xù), 因而是可積的; f j(t)j(t)在區(qū)間a, b(或b, a

15、)上也是連續(xù)的, 因而是可積的. 假設(shè)F(x)是f (x)的一個(gè)原函數(shù), 則=F(b)-F(a). 另一方面, 因?yàn)镕j(t)=F j(t)j(t)= f j(t)j(t), 所以Fj(t)是f j(t)j(t)的一個(gè)原函數(shù), 從而=Fj(b )-Fj(a )=F(b)-F(a). 因此 . 例1 計(jì)算(a0). 解 . 提示: , dx=a cos t . 當(dāng)x=0時(shí)t=0, 當(dāng)x=a時(shí). 例2 計(jì)算. 解 令t=cos x, 則 . 提示: 當(dāng)x=0時(shí)t=1, 當(dāng)時(shí)t=0. 或 . 例3 計(jì)算. 解 . 提示: . 在上|cos x|=cos x, 在上|cos x|=-cos x. 例4

16、 計(jì)算. 解 . 提示: , dx=tdt; 當(dāng)x=0時(shí)t=1, 當(dāng)x=4時(shí)t=3. 例5 證明: 若f (x)在-a, a上連續(xù)且為偶函數(shù), 則 . 證明 因?yàn)?而 , 所以 . 討論: 若f(x)在-a, a上連續(xù)且為奇函數(shù), 問？ 提示: 若f (x)為奇函數(shù), 則f (-x)+f (x) =0, 從而 . 例6 若f (x)在0, 1上連續(xù), 證明 (1); (2). 證明 (1)令, 則 . (2)令x=p-t, 則 , 所以 . 例7 設(shè)函數(shù), 計(jì)算. 解 設(shè)x-2=t, 則 . 提示: 設(shè)x-2=t, 則dx=dt; 當(dāng)x=1時(shí)t=-1, 當(dāng)x=4時(shí)t=2. 二、分部積分法 設(shè)函

17、數(shù)u(x)、v(x)在區(qū)間a, b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)u(x)、v(x), 由(uv)=uv +u v得u v=u v-uv , 式兩端在區(qū)間a, b上積分得, 或.這就是定積分的分部積分公式.分部積分過程: . 例1 計(jì)算. 解 . 例2 計(jì)算. 解 令, 則 . 例3 設(shè), 證明 (1)當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí), ; (2)當(dāng)n為大于1的正奇數(shù)時(shí), . 證明 =(n-1)I n- 2-(n-1)I n , 由此得 . , , 而, , 因此 , . 例3 設(shè)(n為正整數(shù)), 證明 , . 證明 =(n-1)I n- 2-(n-1)I n , 由此得 . , .特別地 , .因此 , . 5. 4 反常積分

18、 一、無窮限的反常積分 定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, +)上連續(xù), 取ba . 如果極限 存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間a, +)上的反常積分, 記作, 即. 這時(shí)也稱反常積分收斂. 如果上述極限不存在, 函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間a, +)上的反常積分就沒有意義, 此時(shí)稱反常積分發(fā)散. 類似地, 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-, b 上連續(xù), 如果極限(a0). 解 . 提示: . 例3 討論反常積分(a0)的斂散性. 解 當(dāng)p=1時(shí), . 當(dāng)p1時(shí), . 因此, 當(dāng)p1時(shí), 此反常積分收斂, 其值為; 當(dāng)p1時(shí), 此反常積分發(fā)散. 二、無界函數(shù)的反常積分 定義2 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b上連續(xù), 而在點(diǎn)a的右鄰域內(nèi)無界. 取e0, 如果極限存在, 則稱此極限為函數(shù)f