吳喜之-統(tǒng)計學(xué)基本概念和方法-總體參數(shù)的區(qū)間估計

1、總體均值的區(qū)間估計,點估計的缺點：不能反映估計的誤差和精確程度 區(qū)間估計：利用樣本統(tǒng)計量和抽樣分布估計總體參數(shù)的可能區(qū)間 【例】cjw公司是一家專營體育設(shè)備和附件的公司，為了監(jiān)控公司的服務(wù)質(zhì)量，cjw公司每月都要隨即的抽取一個顧客樣本進行調(diào)查以了解顧客的滿意分數(shù)。根據(jù)以往的調(diào)查，滿意分數(shù)的標準差穩(wěn)定在20分左右。最近一次對100名顧客的抽樣顯示，滿意分數(shù)的樣本均值為82分，試建立總體滿意分數(shù)的區(qū)間。 抽樣誤差 抽樣誤差：一個無偏估計與其對應(yīng)的總體參數(shù)之差的絕對值。 抽樣誤差 = （實際未知）,總體均值的區(qū)間估計（大樣本n30）,要進行區(qū)間估計，關(guān)鍵是將抽樣誤差 求解。若 已知，則區(qū)間可表示為：

2、 此時，可以利用樣本均值的抽樣分布對抽樣誤差的大小進行描述。 上例中，已知，樣本容量n=100,總體標準差 ，根據(jù)中心極限定理可知，此時樣本均值服從均值為 ，標準差為 的正態(tài)分布。 即：,抽樣誤差的概率表述 由概率論可知， 服從標準正態(tài)分布，即， 有以下關(guān)系式成立： 一般稱， 為置信度，可靠程度等，反映估計結(jié)果的可信程度。若事先給定一個置信度，則可根據(jù)標準正態(tài)分布找到其對應(yīng)的臨界值 。進而計算抽樣誤差,若， 則查標準正態(tài)分布表可得， 抽樣誤差 此時抽樣誤差的意義可表述為：以樣本均值為中心的3.92的區(qū)間包含總體均值的概率是95%，或者說，樣本均值產(chǎn)生的抽樣誤差是3.92或更小的概率是0.95。

3、 常用的置信度還有90%，95.45%，99.73%，他們對應(yīng)的臨界值分別為1.645，2和3，可以分別反映各自的估計區(qū)間所對應(yīng)的精確程度和把握程度。,計算區(qū)間估計： 在cjw公司的例子中，樣本均值產(chǎn)生的抽樣誤差是3.92或更小的概率是0.95。因此，可以構(gòu)建總體均值的區(qū)間為， 由于，從一個總體中抽取到的樣本具有隨機性，在一次偶然的抽樣中，根據(jù)樣本均值計算所的區(qū)間并不總是可以包含總體均值，它是與一定的概率相聯(lián)系的。如下圖所示：,3.92,3.92,根據(jù)選擇的在 、 、 位置的樣本均值建立的區(qū)間,上圖中，有95%的樣本均值落在陰影部分，這個區(qū)域的樣本均值3.92的區(qū)間能夠包含總體均值。 因此，總

4、體均值的區(qū)間的含義為，我們有95%的把握認為，以樣本均值為中心的3.92的區(qū)間能夠包含總體均值。 通常，稱該區(qū)間為置信區(qū)間，其對應(yīng)的置信水平為 置信區(qū)間的估計包含兩個部分：點估計和描述估計精確度的正負值。也將正負值稱為誤差邊際或極限誤差，反映樣本估計量與總體參數(shù)之間的最大誤差范圍。 總結(jié)：,計算區(qū)間估計： 在大多數(shù)的情況下，總體的標準差都是未知的。根據(jù)抽樣分布定理，在大樣本的情況下，可用樣本的標準差s作為總體標準差的點估計值，仍然采用上述區(qū)間估計的方法進行總體參數(shù)的估計。,【例 】 斯泰特懷特保險公司每年都需對人壽保險單進行審查，現(xiàn)公司抽取36個壽保人作為一個簡單隨即樣本，得到關(guān)于、投保人年齡

5、、保費數(shù)量、保險單的現(xiàn)金值、殘廢補償選擇等項目的資料。為了便于研究，某位經(jīng)理要求了解壽險投保人總體平均年齡的90%的區(qū)間估計。,上表是一個由36個投保人組成的簡單隨機樣本的年齡數(shù)據(jù)?，F(xiàn)求總體的平均年齡的區(qū)間估計。 分析：區(qū)間估計包括兩個部分點估計和誤差邊際，只需分別求出即可到的總體的區(qū)間估計。 解：已知 （1）樣本的平均年齡 （2）誤差邊際,樣本標準差 誤差邊際 （3）90%的置信區(qū)間為39.5 2.13 即（37.37，41.63）歲。 注意 （1）置信系數(shù)一般在抽樣之前確定 （2）置信區(qū)間的長度（準確度）在置信度一定的情況下，與樣本容量的大小呈反方向變動，若要提高估計準確度，可以擴大樣本容

6、量來達到。,總體均值的區(qū)間估計：小樣本的情況 在小樣本的情況下，樣本均值的抽樣分布依賴于總體的抽樣分布。我們討論總體服從正態(tài)分布的情況。 t分布的圖形和標準正態(tài)分布的圖形類似，如下圖示：,0,標準正態(tài)分布,t分布（自由度為20）,t分布（自由度為10）,標準正態(tài)分布與t分布的比較,在分布中，對于給定的置信度，同樣可以通過查表找到其對應(yīng)的臨界值 ，利用臨界值也可計算區(qū)間估計的誤差邊際 因此，總體均值的區(qū)間估計在總體標準差未知的小樣本情況下可采用下式進行： 假定總體服從正態(tài)分布；,【例 】謝爾工業(yè)公司擬采用一項計算機輔助程序來培訓(xùn)公司的維修支援掌握及其維修的操作，以減少培訓(xùn)工人所需要的時間。為了評

7、價這種培訓(xùn)方法，生產(chǎn)經(jīng)理需要對這種程序所需要的平均時間進行估計。以下是利用新方對名職員進行培訓(xùn)的培訓(xùn)天數(shù)資料。 根據(jù)上述資料建立置信度為的總體均值的區(qū)間估計。（假定培訓(xùn)時間總體服從正態(tài)分布）。,解：依題意，總體服從正態(tài)分布，（小樣本），此時總體方差未知?？捎米杂啥葹椋╪-1）=14的t分布進行總體均值的區(qū)間估計。 樣本平均數(shù) 樣本標準差 誤差邊際 95%的置信區(qū)間為,53.87 3.78 即（50.09，57.65）天。,確定樣本容量,確定樣本容量 誤差邊際 其計算需要已知 若我們選擇了置信度 由此，得到計算必要樣本容量的計算公式：,【例】在以前的一項研究美國租賃汽車花費的研究中發(fā)現(xiàn)，租賃一輛

8、中等大小的汽車，其花費范圍為，從加利福尼亞州的奧克蘭市的每天36美元到康涅狄格州的哈特福德市的每天73.50美元不等，并且租金的標準差為9.65美元。假定進行該項研究的組織想進行一項新的研究，以估計美國當前總體平均日租賃中等大小汽車的支出。在設(shè)計該項新的研究時，項目主管指定對總體平均日租賃支出的估計誤差邊際為2美元，置信水平為95%。 解：依題意， 可得 將以上結(jié)果取下一個整數(shù)（90）即為必要的樣本容量。,說明： 由于總體標準差 在大多數(shù)情況下 是未知的，可以有以下方法取得 的值。 （1）使用有同樣或者類似單元的以前樣本的樣本標準差； （2）抽取一個預(yù)備樣本進行試驗性研究。用實驗性樣本的標準差

9、作為 的估計值。 （3）運用對 值的判斷或者“最好的猜測”，例如，通?？捎脴O差估計 的近似值。,總體比率的估計,比率的抽樣分布,數(shù)據(jù)的特點 比率屬于點計數(shù)據(jù)，這類數(shù)據(jù)的分布是非正態(tài)的。 對這類數(shù)據(jù)的統(tǒng)計推斷有兩種方法，一般來說，當事物按性質(zhì)不同被劃分成兩類時，要用總體比率的推斷方法進行統(tǒng)計推斷；當事物被劃分為成兩類以上時，則用卡方檢驗法。,由于這里假設(shè)事物按性質(zhì)不同分成兩類，所以其中的一類事物發(fā)生比率的抽樣分布屬于二項分布。 假設(shè)有一個總體，這個總體中所包含的事件要么具有某種屬性，要么不具有某種屬性，其中具有某種屬性的事件出現(xiàn)的概率為，不具有某種屬性的事件出現(xiàn)的概率為q=1-。,比率的抽樣分布

10、,現(xiàn)在從中隨機抽取一個容量為n（n次重復(fù)試驗）的樣本，算得成功事件出現(xiàn)的比率： p1=x1/n （x表示成功事件出現(xiàn)的次數(shù)） 將樣本還回總體中，再從中隨機抽取一個容量為n的樣本，又可以算得一個成功事件出現(xiàn)的比率： p2=x2/n,比率的抽樣分布,經(jīng)過反復(fù)抽樣，就可以計算出許多樣本的p值，這些p值就形成了一個實驗性的比率的抽樣分布。這個分布的形態(tài)是二項分布。 二項概率分布是進行總體比率統(tǒng)計推斷的理論依據(jù)。,比率的標準誤,比率抽樣分布的標準差，就是比率的標準誤 當總體比率已知時： p表示比率的標準誤 p表示總體比率 q=1-p n表示樣本容量（試驗重復(fù)次數(shù)）,當總體比率未知時，需要用樣本比率p=x

11、/n作為總體比率p的點估計。所以總體比率標準誤的估計量為： sp表示比率標準誤的估計量 p表示樣本的比率 q=1-p n表示樣本容量（試驗重復(fù)次數(shù)）,比率的標準誤,總體比率的區(qū)間估計,以比率的抽樣分布為理論依據(jù)，按一定的概率要求估計總體比率的所在范圍就叫做總體比率的區(qū)間估計。,正態(tài)近似法,當樣本容量n比較大，np和nq中較小的那個數(shù)等于或大于5時，二項分布已經(jīng)接近于正態(tài)分布，此時可以按照正態(tài)分布來估計總體比率0.95和0.99的置信區(qū)間（因為這種方法比較簡便），這種方法叫做正態(tài)近似法。,正態(tài)近似法,根據(jù)標準正態(tài)分布的規(guī)律，得知 p（-1.96z1.96）=0.95 p（-2.58z2.58）=

12、0.99 將 帶入上式 p（-1.96 1.96）=0.95 p（p-1.96 pp+1.96 ）=0.95,從北京市去年的理科考生中隨機抽取200名考生作為樣本，經(jīng)統(tǒng)計，該樣本高考英語的及格率為0.67，試估計去年高考北京理科生英語及格率0.95和0.99的置信區(qū)間。,解：,因為n=200，nq= 2000.33=665 因此，總體比率0.95的置信區(qū)間為： p（0.67-1.960.0332p0.67+1.960.0332）=0.95 p（0.605p0.735）=0.95,即在去年的高考中，北京理科生英語及格率有95%的可能在0.605至0.735之間，總體比率超出這個范圍的可能性只有5

13、%。,同理，總體比率0.99的置信區(qū)間為： p（0.67-2.580.0332p0.67+2.580.0332） =0.99 p（0.584p0.756）=0.99 即在去年的高考中，北京理科生英語及格率有99%的可能在0.584至0.756之間，總體比率超出這個范圍的可能性只有1%。,兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計,兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計,兩個總體均值之差的區(qū)間估計(獨立大樣本),兩個總體均值之差的估計(大樣本),1.假定條件 兩個總體都服從正態(tài)分布，1、 2已知 若不是正態(tài)分布, 可以用正態(tài)分布來近似(n130和n230) 兩個樣本是獨立的隨機樣本 使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z,兩個總體均值之差的估計

14、(大樣本),1.1， 2已知時，兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,1、 2未知時，兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,兩個總體均值之差的估計(例題分析),【例】某地區(qū)教育委員會想估計兩所中學(xué)的學(xué)生高考時的英語平均分數(shù)之差，為此在兩所中學(xué)獨立抽取兩個隨機樣本，有關(guān)數(shù)據(jù)如右表 。建立兩所中學(xué)高考英語平均分數(shù)之差95%的置信區(qū)間,english,兩個總體均值之差的估計(例題分析),解: 兩個總體均值之差在1-置信水平下的置信區(qū)間為,兩所中學(xué)高考英語平均分數(shù)之差的置信區(qū)間為 5.03分10.97分,兩個總體均值之差的區(qū)間估計(獨立小樣本),兩個總體均值之差的估計(

15、小樣本: 12= 22 ),1.假定條件 兩個總體都服從正態(tài)分布 兩個總體方差未知但相等：1=2 兩個獨立的小樣本(n130和n230) 總體方差的合并估計量,估計量x1-x2的抽樣標準差,兩個總體均值之差的估計(小樣本: 12=22 ),兩個樣本均值之差的標準化,兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,兩個總體均值之差的估計(例題分析),【例】為估計兩種方法組裝產(chǎn)品所需時間的差異，分別對兩種不同的組裝方法各隨機安排12名工人，每個工人組裝一件產(chǎn)品所需的時間（分鐘）下如表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時間服從正態(tài)分布，且方差相等。試以95%的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間差值

16、的置信區(qū)間,兩個總體均值之差的估計(例題分析),解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得 合并估計量為：,兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間之差的置信區(qū)間為 0.14分鐘7.26分鐘,兩個總體均值之差的估計(小樣本: 12 22 ),1.假定條件 兩個總體都服從正態(tài)分布 兩個總體方差未知且不相等：12 兩個獨立的小樣本(n130和n230) 使用統(tǒng)計量,兩個總體均值之差的估計(小樣本: 1222 ),兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,自由度,兩個總體均值之差的估計(例題分析),【例】沿用前例。假定第一種方法隨機安排12名工人，第二種方法隨機安排8名工人，即n1=12，n2=8 ，所得的有關(guān)數(shù)據(jù)如

17、表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時間服從正態(tài)分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間差值的置信區(qū)間,兩個總體均值之差的估計(例題分析),解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得 自由度為：,兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間之差的置信區(qū)間為 0.192分鐘9.058分鐘,兩個總體比例之差區(qū)間的估計,1.假定條件 兩個總體服從二項分布 可以用正態(tài)分布來近似 兩個樣本是獨立的 2.兩個總體比例之差p1-p 2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,兩個總體比例之差的區(qū)間估計,兩個總體比例之差的估計(例題分析),【例】在某個電視節(jié)目的收視率調(diào)查中，農(nóng)村隨機調(diào)查了400人，有32%的人收看了該節(jié)目；城市隨機調(diào)查了500人，有45%的人收看了該節(jié)目。試以95%的置信水平估計城市與農(nóng)村收視率差別的置信區(qū)間,兩個總體比例之差的估計 (例題分析),解: 已知 n1=500 ，n2=400， p1=45%， p2=32%， 1- =95%， z/2=1.96 1- 2置信度為95%的置信區(qū)間為,城市與農(nóng)村收視率差值的置信區(qū)間為6.68%19.32%,兩個總體方差比的區(qū)間估計,兩個總體方差比的區(qū)間估計,1.比較兩個總體的方差比 用兩個樣本的方差比來判斷 如果s12/ s22接近于1,說明兩個總體方差很接近 如果s12/ s22遠離1,說明兩個總體方差之間存在差異