高一上數(shù)學(xué)各知識(shí)點(diǎn)梳理：反函數(shù)

1、高一上數(shù)學(xué)各知識(shí)點(diǎn)梳理：反函數(shù) 歸海木心 qq:634102564 7、反函數(shù) 一、選擇題（每小題5分，共60分，請(qǐng)將所選答案填在括號(hào)內(nèi)） 1設(shè)函數(shù)f(x)11?x2(1x0)，則函數(shù)yf1(x)的圖象是 （ ） a. y b. y 1 c. y d. y 1 1 x 1 o x 1 1 1 o x o 1 x 2函數(shù)y=1x?1(x1)的反函數(shù)是 ay=(x1)21，xr by=(x1)21，xr cy=(x1)21，x1 dy=(x1)21，x1 3若f(x1)= x22x3 (x 1)，則f 1(4)等于 a2 b12 c2 d22 4與函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象所對(duì)

2、應(yīng)的函數(shù)是 ay=f(x) by= f-1(x) cy =f-1(x) dy =f-1(x) 5設(shè)函數(shù)f?x?x2?4?x?2,4?，則f?1?x?的定義域?yàn)?a?4,? b?0,? c?0,4? d?0,12? 6若函數(shù)y?f?x?的反函數(shù)是y?g?x?，f?a?b,ab?0，則g(b)等于 aa ba?1 cb db?1 7已知函數(shù)f?x?ax?1x?3的反函數(shù)就是f?x?本身，則a的值為 a?3 b1 c3 d?1 8若函數(shù)f?x?存在反函數(shù)，則方程f?x?c?c為常數(shù)? a有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 b至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根 c至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根 d沒有實(shí)數(shù)根 9函數(shù)f(x)= 22x2?1(x1)的

3、反函數(shù)的定義域?yàn)?a(，0 b(，) c(1，1) d(，1)(1，) 10若函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0，1)，則函數(shù)f(x4)的反函數(shù)的圖象必經(jīng)過點(diǎn) a(1，4) b(4，1) c(1，4) d(1，4) 11函數(shù)f(x) 1 (x0)的反函數(shù)f1x(x) 歸海木心 qq:634102564 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 歸海木心 qq:634102564 11 (x0) cx(x0) d (x0) xx1b12、點(diǎn)(2，1)既在函數(shù)f(x)=x?的圖象上，又在它的反函數(shù)的圖象上，則適合條件的數(shù) aa ax(x0) b 組(a，b)有 a1

4、組 二、填空題（每小題4分，共16分，請(qǐng)將答案填在橫線上） 13若函數(shù)f(x)存在反函數(shù)f1(x)，則f1f(x)=_ ； ff1(x)=_ _ （ ） b2組 c3組 d4組 14已知函數(shù)yf(x)的反函數(shù)為f1(x)x1(x0)，那么函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開 _ 15設(shè)f(x)=x21(x2)，則f1(4)=_ _ 16已知f(x)f1(x) 2x?1(xm)，則實(shí)數(shù)m = m?x 三、解答題（本大題共74分，1721題每題12分，22題14分） 17（1）已知f(x) = 4x2x1 ，求f1(0)的值 （2）設(shè)函數(shù)y= f(x)滿足 f(x1) = x22x3 (x 0)，求 f1(x

5、1) 18判斷下列函數(shù)是否有反函數(shù)，如有反函數(shù)，則求出它的反函數(shù) （1）f(x)?x2?4x?2(x?r)； （2）f(x)?x?4x?2(x?2) （3）y? 19已知f(x)= 2?x?1,(x?0) x?1,(x?0)?ax?3 x?1 （1）求y=f(x)的反函數(shù) y= f1 (x)的值域; （2）若(2，7)是 y = f1 (x)的圖象上一點(diǎn)，求y=f(x)的值域 20已知函數(shù)f(x?1)?x?2x(x?0)， （1）求f?12(x)及其f?1(x?1)； （2）求y?f(x?1)的反函數(shù) 歸海木心 qq:634102564 歸海木心 qq:634102564 ?x?1?21己知f

6、?x? (x1)， ?x?1?（1）求f?x?的反函數(shù)f?1(x)，并求出反函數(shù)的定義域； （2）判斷并證明f?1(x)的單調(diào)性 22給定實(shí)數(shù)a，a0，且a1，設(shè)函數(shù)y?數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱圖形 2x?1?1?x?r,且x?試證明：這個(gè)函ax?1?a?參考答案 一、選擇題： dccdd accac ba 二、填空題：13.x，x，14.x1，15.5，16.m2 三、解答題： 17.解析：（）設(shè)f1(0)=a，即反函數(shù)過(0，a)， 原函數(shù)過(a，0) 代入得 ：0=42 a a1 ，2a(2a2)=0，得a=1，f ?1(0)=1 （）先求f(x)的反函數(shù)f?1(x)?x?2(x?

7、3),?f?1(x?1)?x?1(x?2) 18.解析：令y?f(x)?0,得到對(duì)應(yīng)的兩根：x1?0,x2?4 這說明函數(shù)確定的映射不是一一映射，因而它沒有反函數(shù) 由f(x)?x?4x?2?(x?2)?2，得(x?2)?y?2 x?2， x?2?y?2,x?2?歸海木心 qq:634102564 222y?2， 歸海木心 qq:634102564 互換x,y得y?2?x?2, 又由f(x)?x2?4x?2(x?2)的值域可得反函數(shù)定義域?yàn)?2,?), 反函數(shù)為f?1(x)?2?x?1,x?2,?) 由y?x?1(x?0)得其反函數(shù)為y?x?1(x?1)； 又由y?x?1(x?0)得其反函數(shù)為y

8、?x?1(x?1) 綜上可得，所求的反函數(shù)為y?x?1(x?1) x?1(x?1)?注：求函數(shù)y?f(x)的反函數(shù)的一般步驟是： 反解，由y?f(x)解出x?f?1(y)，寫出y的取值范圍； 互換x,y，得y?f?1(x)； 寫出完整結(jié)論(一定要有反函數(shù)的定義域) 求分段函數(shù)的反函數(shù)，應(yīng)分段逐一求解；分段函數(shù)的反函數(shù)也是分段函數(shù) 19.解析： （）反函數(shù)的定義域、值域分別是原函數(shù)的值域、定義域反函數(shù)的值域?yàn)閥|y?r,y?1 （）(2，7)是y=f1(x)的圖象上一點(diǎn)，(7，2)是y=f(x)上一點(diǎn) 7?2a?3?a?22?1?f(x)?2x?32(x?1)?55?2?2, x?1x?1x?1

9、f(x)的值域?yàn)閥|y2 20解析：f(x?1)?x?2x?1?1?(x?1)?1(x?0)， 2f(x)?x?1(x?1)，其值域?yàn)閥|y?0， 222又由y?1?x(x?1) 得x?f?1(x)?2y?1， x?1(x?0)， f?1(x?1)?x?2(x?1) 由y?f(x)?x?2x(x?0)，解得x?y?f(x?1)的反函數(shù)為y?說明：y?f題中有y?f?1y?1?1(y?1) x?1?1(x?1) (x?1)并不是y?f(x?1)的反函數(shù)，而是y?1?f(x)的反函數(shù) ?1(x?1)的形式，我們先求出y?f?1(x)，才能求出y?f?1(x?1) 歸海木心 qq:634102564

10、 歸海木心 qq:634102564 21.解析：設(shè)y?(1?y1?yx?12)?x?,?x?1,?1?0?y?1， x?11?y1?y即f?1(x)的定義域?yàn)?0,1?； 設(shè)0?x1?x2?1,?0?x1?x2?1,?f?1(x1)?f?1(x2)?2(x1?x2)(1?x1)(1?x2)?0， f?1(x1)?f?1(x2)，即f?1(x)在?0,1?上單調(diào)遞增 22、證法一: 設(shè)點(diǎn)p(x?,y?)是這個(gè)函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn),則x?y? 1,且 ax?1. ax?1易知點(diǎn)p(x?,y?)關(guān)于直線y?x的對(duì)稱點(diǎn)p?的坐標(biāo)為(y?,x?). 由式得 即 ?y?(ax?1)?x?1 ?x(ay?1)?y?1,?由此得a=1，與已知矛盾，?ay?1?0. 又由式得 x?y?1 ay?1這說明點(diǎn)p（y,x）在已知函數(shù)的圖象上，因此，這個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱圖形. 證法二:先求所給函數(shù)的反函數(shù):由 y?x?11(x?r,x?), ax?1a得 y(ax1)=x1， 即 (ay1)x=y1 假如ay?1?0,則y?11x?1,代入所給函數(shù)的解析式,得? aaax?1即 axa=ax1， 由此得a=1，與已知矛盾，所以ay10 因此得到 歸海木心 qq:634102564 歸海木心 qq:634102564