高等數(shù)學(xué)答案習(xí)題1.3

1、高等數(shù)學(xué)答案習(xí)題1.3 習(xí)題1. 3（a）（p43）提示（僅供參考） 1設(shè)函數(shù)f?x?在點(diǎn)x0附近有定義，且lim?f?x0?h?f?x0?h?0，問f?x?是 h?0否必在x0連續(xù)？ 1?cos?答：不一定！f?x?x?0x?0x?0在x0?0處滿足條件而連續(xù)。 2若函數(shù)f?x?在?a,b?內(nèi)的任何一個(gè)閉子區(qū)間?a?,b?上連續(xù)，證明f?x?在 ?a,b?內(nèi)連續(xù)。 ?x?ab?x0?證明：對(duì)?x0?a,b?，記?min?0,?，取?，則 2?2x0?a?,b?a?,b? 由f?x?在?a,b?內(nèi)的任何一個(gè)閉子區(qū)間?a?,b?上連續(xù)可得f?x?在x0連續(xù)， 由x0任意性可得f?x?在?a,b?

2、內(nèi)連續(xù)。 3 證明若f?x?在x0連續(xù)，則f?x?在x0也連續(xù)，問反之是否成立？ 證明 由f?x?在x0連續(xù)有 x?x0limf?x?f?x0? 故 x?x0limf?x?f?x0? 即f?x?在x0也連續(xù)。 ?1反之不成立，例y?1x?q。 x?q4 設(shè)f?0?g?0?，當(dāng)x?0時(shí)，f?x?g?x?，試證f?x?與g?x?這兩個(gè)函數(shù)中至多有一個(gè)在x?0處連續(xù)。 證明：若f?x?與g?x?這兩個(gè)函數(shù)在x?0處都連續(xù)，則 lim?f?x?g?x?limf?x?limg?x?f?0?g?0?0 x?0x?0x?0而lim?f?x?g?x?lim0?0 x?0x?0矛盾，故f?x?與g?x?這兩個(gè)函

3、數(shù)中至多有一個(gè)在x?0處連續(xù)。 ?05證明f?x?xx?q僅在x?0處連續(xù)。 x?q證明：當(dāng)x0?0，存在數(shù)列?an?，?bn?滿足 liman?x0，limbn?x0 n?n?其中an?q,bn?q，故 limf?an?lim0?0 n?n?limf?bn?limbn?x0 n?n?故由數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系可得f?x?在x0?0不連續(xù)。 當(dāng)x?0時(shí)注意到 0?f?x?x 由夾逼法得limf?x?0?f?0?，故f?x?在x?0處連續(xù)。 x?0綜上所述f?x?僅在x?0處連續(xù)。 6 指出下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并說明其類型。 （1）f?x?x?1 x?2解 當(dāng)x?2時(shí)f?x?是初等函數(shù)，故f?x

4、?在x?2都連續(xù)； 在x?2無(wú)定義而在其去心鄰域有定義，故x?2是f?x?間斷點(diǎn)，又 limf?x?limx?2x?2x?1? x?2故x?2是f?x?第二類（無(wú)窮）間斷點(diǎn)。 （2）f?x?11?e1x 解 當(dāng)x?0時(shí)f?x?是初等函數(shù)，故f?x?在x?0都連續(xù)； 在x?0無(wú)定義而在其去心鄰域有定義，故x?0是f?x?間斷點(diǎn)，又 limf?x?lim11?e11?e1x1xx?0?x?0?0 x?0?limf?x?limx?0?1 故x?0是f?x?第一類（跳躍）間斷點(diǎn)。 （3）f?x?1?arctan1 x?a解 當(dāng)x?a時(shí)f?x?是初等函數(shù)，故f?x?在x?a都連續(xù)； 在x?a無(wú)定義而在其

5、去心鄰域有定義，故x?a是f?x?間斷點(diǎn)，又 1? limf?x?lim?1?arctan?1?x?a?x?a?x?a2?1? limf?x?lim?1?arctan?1?x?a?x?a?x?a?2?故x?a是f?x?第一類（跳躍）間斷點(diǎn)。 ?sinxx?0?x（4）f?x? ?1x?0?解 x?0時(shí)，sinx,x均連續(xù)，故x?0時(shí)f?x?連續(xù)。又 x?0?limf?x?limsinxsinx?lim?1 x?0?x?0?xxx?0?limf?x?limsinxsinx?lim?1 x?0?x?0?xx故x?0是f?x?第一類（跳躍）間斷點(diǎn)。 ?x2?4x?2?（5）f?x?x?2 ?ax?2

6、? 解 當(dāng)x?2時(shí)f?x?是初等函數(shù)，故f?x?在x?2都連續(xù)；而 x2?4limf?x?lim?4 x?2x?2x?2故當(dāng)a?4時(shí)有l(wèi)imf?x?f?2?，此時(shí)f?x?在x?2連續(xù)； x?2當(dāng)a?4時(shí)有l(wèi)imf?x?f?2?，此時(shí)x?2是f?x?的第一類（可去）間斷點(diǎn)。 x?2?2sinx?ex?1xx?0?（6）f?x?ax?0?1?1?exsin1x?0?x? 解 當(dāng)x?0時(shí)f?x?是初等函數(shù)，故f?x?在x?0都連續(xù)；而 x?0?limf?x?lim2sinx2sinx?limlim?1 x?0l 解 由題條件知 x?0?x?1x?1，g?x?，指出f?g?x?的間斷點(diǎn)，并說明其x?0

7、?1?xx?1 ?1f?g?x?0x?1 x?1類似6題書寫可得x?1是函數(shù)第一類（可去）間斷點(diǎn)。 8 試確定a的值，使下列函數(shù)處處連續(xù)。 ?ex（1）f?x?a?xx?0x?0 解：當(dāng)x?0時(shí)f?x?是初等函數(shù)，故f?x?在x?0都連續(xù)，要函數(shù)處處連續(xù)只需要f?x?在x?0也連續(xù)。又 f?0?limf(x)?limex?1 x?0?x?0?f?0?limf(x)?lim?a?x?a x?0?x?0?當(dāng)f?0?f?0?f?0?即a?1時(shí)f?x?在x?0連續(xù)， 故當(dāng)a?1函數(shù)處處連續(xù)。 ?2x?1?（2）f?x?x ?acos?xx?1解：當(dāng)x?1時(shí)f?x?是初等函數(shù)，故f?x?在x?1都連續(xù)，要函數(shù)處處連續(xù)只需要f?x?在x?1也連續(xù)。又 f?1?0?limf(x)?limx?1?x?1?x?1?2?2 x?1?xf?0?limf(x)?limacos?x?a 當(dāng)f?1?f?1?f?1?即a?2時(shí)f?x?在x?1連續(xù)， 故當(dāng)a?2函數(shù)處處連續(xù)。 1?x存在，將極限值記為f?x?，討論f?x?的連續(xù)性。