函數(shù)單調(diào)性與凹凸性.ppt

1、第九節(jié) 函數(shù)單調(diào)性與凸性的判別法,一、單調(diào)性的判別法,二、凸性及其判別法,三、小結(jié),一、函數(shù)單調(diào)性的判別法,1、單調(diào)性的判別法,2、單調(diào)區(qū)間求法,3、利用單調(diào)性可以證明不等式,4、利用單調(diào)性可以證明根的唯一性,1、單調(diào)性的判別法,由導(dǎo)數(shù)定義及極限保號(hào)性可以證明:,定理 (函數(shù)單調(diào)性的判定法),備注:,證,應(yīng)用拉氏定理,得,例1,解,注意 函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性,2、單調(diào)區(qū)間求法,問題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào),定義:若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)增加(減少)的，則該

2、區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)增加(減少)區(qū)間，這時(shí)也稱函數(shù)是該區(qū)間的單調(diào)增加(減少)函數(shù).,導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法:,有些函數(shù)在所討論的定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在所討論區(qū)間的各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的,需要把這些區(qū)間分開為部分區(qū)間,使函數(shù)在各部分區(qū)間內(nèi)單調(diào),這種題型叫做求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.,例2,解,單調(diào)區(qū)間為,例3,解,單調(diào)區(qū)間為,例4,解,注意 若區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)只是孤立點(diǎn), 則不影響區(qū)間的單調(diào)性,即函數(shù)在區(qū)間內(nèi)仍是單調(diào)的.,例如,3、利用單調(diào)性可以證明不等式,例5,證,例6,證,例6,證,例7,證,例,證,4、利用單調(diào)性可以證明根的唯一性,例8,4、利

3、用單調(diào)性可以證明根的唯一性,例8,證,由零點(diǎn)定理,即方程至少有一個(gè)小于1的正實(shí)根 .,此種題型應(yīng)先證明根的存在性，再證明唯一性.,小結(jié):,單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用.,定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.,應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式.,二、曲線的凸性及其判別法,1.曲線凹凸的定義,2.曲線凹凸的判定,3.曲線的拐點(diǎn)及其求法,4.利用凹凸性證明不等式,1.曲線凹凸的定義,問題:如何研究曲線的彎曲方向?,圖形上任意弧段位 于所張弦的上方,圖形上任意弧段位 于所張弦的下方,定義 . 設(shè)函數(shù),在區(qū)間 I 上連續(xù) ,(1) 若恒有,則稱曲線,

4、是下凸(凹)的;,(2) 若恒有,是上凸(凸)的 .,連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn) 稱為拐點(diǎn) .,曲線凹凸的定義,則稱曲線,2.曲線凹凸的判定,判別法2,判別法1,例1,解,注意到,3、曲線的拐點(diǎn)及其求法,1) 定義,注意 拐點(diǎn)處若存在切線，則必在拐點(diǎn)處穿過曲線.,2) 拐點(diǎn)的求法,證,求拐點(diǎn)的方法一:,例2,解,拐點(diǎn),拐點(diǎn),例3,解,注意:,求拐點(diǎn)的步驟：,Step1 求二階導(dǎo)數(shù)等于零和不存在的點(diǎn),Step2 判斷二階導(dǎo)數(shù)在這些點(diǎn)的左右兩側(cè) 是否異號(hào),Step3 寫出拐點(diǎn) .,4、利用凸性證明不等式,證,4、利用凸性證明不等式,定義:,例1,解,注意到,5、小結(jié),曲線的彎曲方向凸性;,改變彎曲方向的點(diǎn)拐點(diǎn);,凸性的判定.,拐點(diǎn)的求法,思考題,思考題解答,例,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,思考題,思考題解答,不能斷定.,例,但,當(dāng) 時(shí)，,