應(yīng)用多元分析主成分分析作業(yè)

1、應(yīng)用多元分析主成分分析6.1試述主成分分析的基本思想。答：在處理多指標(biāo)變量問題的過程中，由于多個(gè)變量之間往往存在著一定程度的相關(guān)性，人們可以通過線性組合的方式，從這些指標(biāo)中盡可能快的提取信息。當(dāng)?shù)谝粋€(gè)組合不能提取更多信息時(shí)，再考慮第二個(gè)線性組合繼續(xù)這個(gè)快速提取的過程，如此繼續(xù)下去，直到提取的信息與原指標(biāo)差不多時(shí)為止，這就是主成分分析的基本思想。6.5試述根據(jù)協(xié)差陣進(jìn)行主成分分析和根據(jù)相關(guān)陣進(jìn)行主成分分析的區(qū)別。 答：從相關(guān)陣求得的主成分與協(xié)差陣求得的主成分一般情況是不相同的,而實(shí)際表明，這種差異有時(shí)很大。根據(jù)協(xié)方差矩陣進(jìn)行主成分分析的，其結(jié)果受變量單位的影響。不同的變量往往有不同的單位，對同一

2、變量單位的改變會(huì)產(chǎn)生不同的主成分，主成分傾向于多歸納方差大的變量的信息，對于方差小的變量就可能體現(xiàn)得不夠，也存在“大數(shù)吃小數(shù)”的問題。如果各指標(biāo)之間的數(shù)量級相差懸殊，特別是各指標(biāo)有不同的物理量綱的話，較為合理的做法是使用R代替，在采用R代替后，可以看作是用標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)據(jù)做分析，而且在研究單位變量大都不統(tǒng)一的經(jīng)濟(jì)問題是，會(huì)使得主成分有現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)意義，不僅便于剖析實(shí)際問題，又可以避免突出數(shù)值大的變量。6.6已知X=(X1,X2,X3)的協(xié)差陣為 113/23/23/221/453/43/253/431/4 試進(jìn)行主成分分析。解：令|-E|=11-=0計(jì)算得-64（-4）（-8）（-12）=0即特征值分

3、別為1=12，2=8，3=4所以DY1=12,DY2=8，DY3=4當(dāng)1=12時(shí)，（-E）=-17經(jīng)過一系列的初等行變換可化為10-203-1000則特征向量為1=23，1，3同理，當(dāng)2=8時(shí)，2=(-2，3，3)當(dāng)3=4時(shí)，3=(0，-3，1)易知1，2，3相互正交，通過單位化向量可得T2=1|1|=32 ,14 ,34， T2=2|2|=-12 ,34 ,34， T3=3|3|=0 ,-32 ,12而Y1=T1X ,Y2=T2X , Y3=T3X所以，帶入數(shù)據(jù)可得第一主成分為Y1=32 X1+14 X2+34X3，DY1=12第二主成分為Y2=-12 X1+34 X2+34X3，DY2=8

4、第三主成分為Y3=-32 X2+12X3， DY3=46.7 設(shè)X=(X1,Xp)的協(xié)方差陣(pp)為 =21 1 1 , 0p1證明：1=21-1-為最大特征根，其對應(yīng)的主成分為Y1=1i=1pxi證明：令-E=2-2 222- 2 22 2-=(p-1)2+2-2 2 (p-1)2+2-2- 2 (p-1)2+2- 2 2-=p-12+2- 2 2 0 21- 2 0 0 21-=0=p-12+2-(21-)p-1又00則1=1-1-p 2 為最大特征根當(dāng)1=1-1-p 2時(shí)，-1E=21-p 2 2 2 2(1-p) 2(1-p) 2 2 2(1-p)=01 000 0 00 0所以特征

5、向量為1=1，1，,1通過標(biāo)準(zhǔn)化可得T1=1p,1p,1p 即證得，Y1=1i=1pxi6.8通過對各地區(qū)的六個(gè)指標(biāo)進(jìn)行主成分分析，然后對各地區(qū)城市設(shè)施水平進(jìn)行綜合評價(jià)和排序。解：將原始數(shù)據(jù)輸入spss編輯窗口，將六個(gè)變量分別命名為X1X6，在spss窗口選擇AnalyseData ReductionFactor菜單項(xiàng)，調(diào)出因子分析界面，并將六個(gè)變量移入Variable框中，其他均保持系統(tǒng)默認(rèn)選項(xiàng)，單擊ok按鈕，執(zhí)行因子分析過程，如下圖所示。得到特征根和方差貢獻(xiàn)率表（表一）和因子載荷陣（表二）Total Variance ExplainedComponentInitial Eigenvalue

6、sExtraction Sums of Squared LoadingsTotal% of VarianceCumulative %Total% of VarianceCumulative %12.15535.91735.9172.15535.91735.91721.56626.09362.0101.56626.09362.01031.23020.50782.5171.23020.50782.5174.61710.28092.7975.2584.29997.0966.1742.904100.000Extraction Method: Principal Component Analysis.表

7、一Component MatrixaComponent123城市用水普及率（%）.770.444-.349城市燃?xì)馄占奥剩?）.857.113-.208每萬人擁有公共交通車輛（標(biāo)臺(tái)）.246.839.291人均城市道路面積（平方米）.633-.396.359人均公園綠地面積（平方米）.605-.642.275每萬人擁有公共廁所（座）-.019.286.881Extraction Method: Principal Component Analysis.a. 3 components extracted.表二將表二中的因子載荷陣中的數(shù)據(jù)輸入spss數(shù)據(jù)編輯窗口，分別命名為a1，a2，a3，如下圖

8、為了計(jì)算第一個(gè)特征向量，點(diǎn)擊菜單中的TransformComputer，調(diào)出Computer variable對話框，在對話框中輸入等式：z1=a1/SQRT（2.155）點(diǎn)擊ok按鈕，即可在數(shù)據(jù)編輯窗口中得到以z1為變量名的第一特征向量，如下圖再次調(diào)出Computer variable對話框，在對話框中輸入等式：z2=a2/SQRT（1.566）點(diǎn)擊ok按鈕，即可在數(shù)據(jù)編輯窗口中得到以z2為變量名的第二特征向量再次調(diào)出Computer variable對話框，在對話框中輸入等式：z3=a2/SQRT（1.230）點(diǎn)擊ok按鈕，即可在數(shù)據(jù)編輯窗口中得到以z3為變量名的第三特征向量如此得到了如下

9、圖所示的特征向量矩陣z1z2z3x10.525 0.355 -0.315 x20.584 0.090 -0.188 x30.168 0.670 0.262 x40.431 -0.316 0.324 x50.412 -0.513 0.248 x6-0.013 0.229 0.794 根據(jù)特征向量矩陣可以得到主成分的表達(dá)式Y(jié)1=0.525x1+0.584x2+0.168x3+0.431x4+0.412x5-0.013x6Y2=0.355x1+0.090x2+0.670x3-0.316x4-0.513x5+0.229x6Y3=-0.315x1-0.188x2+0.262x3+0.324x4+0.248x5+0.794x6分別計(jì)算出以上三項(xiàng)后，利用公式Y(jié)=1i=13iY1+2i=13iY2+3i=13iY3得到Y(jié)=0.435Y1+0.316Y