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1、20192020學(xué)年度第一學(xué)期期中抽測(cè)高二數(shù)學(xué)試題一、單選題:(本大題一共10道小題,每題只有一個(gè)正確答案,每題4分,共40分)1.數(shù)列3,6,11,20,的一個(gè)通項(xiàng)公式為( ).A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由數(shù)列的前面有限項(xiàng),歸納出,得解.【詳解】解:由數(shù)列3,6,11,20,可得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了用不完全歸納法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,屬基礎(chǔ)題.2.在等差數(shù)列中,則( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)得出的值,再利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得出的值.【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得,因此,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差中項(xiàng)性質(zhì)的應(yīng)用,在求
2、解等差數(shù)列的問(wèn)題時(shí),常用基本量法與等差數(shù)列性質(zhì)來(lái)進(jìn)行求解,考查計(jì)算能力,屬于中等題.3.已知,則y的最小值為( ).A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】由,即,則,再結(jié)合重要不等式求最值即可.【詳解】解:因?yàn)?,所以,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了重要不等式的應(yīng)用,重點(diǎn)考查了觀察、處理數(shù)據(jù)的能力,屬基礎(chǔ)題.4.已知,則p是q的( ).A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先解不等式得,再由集合是集合的真子集,即可得解.【詳解】解:解不等式,得,得,解不等式,變形得:,解得,得,由集合
3、是集合的真子集,可得p是q的必要不充分條件,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了二次不等式的解法及命題間的充要性,屬基礎(chǔ)題.5.已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和,且,則的值為( ).A. 63B. 81C. 99D. 108【答案】C【解析】【分析】先由為等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和,可得 也成等差數(shù)列,則,成等差數(shù)列,再將,代入運(yùn)算即可.【詳解】解:由為等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和,則, 也成等差數(shù)列,則,成等差數(shù)列,所以,由,得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及等差中項(xiàng),重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力,屬基礎(chǔ)題.6.若關(guān)于x的不等式在內(nèi)有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍( ).A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先
4、分離變量得在內(nèi)有解,再構(gòu)造函數(shù),再求其值域,再由函數(shù)的最值求實(shí)數(shù)a的取值范圍即可得解.【詳解】解:關(guān)于x的不等式在內(nèi)有解,等價(jià)于,設(shè),又,所以,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式有解問(wèn)題,通常采用分離變量最值法,屬基礎(chǔ)題.7.已知數(shù)列3,y,x,9是等差數(shù)列,數(shù)列1,a,b,c,4是等比數(shù)列,則( ).A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由數(shù)列3,y,x,9是等差數(shù)列,由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,由數(shù)列1,a,b,c,4是等比數(shù)列,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得,又,運(yùn)算可得解.【詳解】解:由3,y,x,9是等差數(shù)列,解得,由1,a,b,c,4是等比數(shù)列,則,又,則,即,故
5、選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列及等比數(shù)列的性質(zhì),屬基礎(chǔ)題.8.算法統(tǒng)宗是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,由明代數(shù)學(xué)家程大位編著,它對(duì)我國(guó)民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識(shí)起到了很大的作用,是東方古代數(shù)學(xué)的名著,在這部著作中,許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的.“九兒?jiǎn)柤赘琛本褪瞧渲幸皇?一個(gè)公公九個(gè)兒,若問(wèn)生年總不知,自長(zhǎng)排來(lái)差三歲,共年二百又零七,借問(wèn)小兒多少歲,各兒歲數(shù)要誰(shuí)推,這位公公年齡最小的兒子年齡為( )A. 8歲B. 11歲C. 20歲D. 35歲【答案】B【解析】【分析】九個(gè)兒子的年齡成等差數(shù)列,公差為3【詳解】由題意九個(gè)兒子的年齡成等差數(shù)列,公差為3記最小的兒子年齡為,則,解得故選B【點(diǎn)睛】本題考查等
6、差數(shù)列的應(yīng)用,解題關(guān)鍵正確理解題意,能用數(shù)列表示題意并求解9.已知點(diǎn)在直線上,若存在滿足該條件的a,b使得不等式成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( ).A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出的最小值,再利用不等式有解問(wèn)題,可得,再解不等式即可.【詳解】解:因?yàn)辄c(diǎn)在直線上,則,即,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào), 即,即,解得或,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式有解問(wèn)題,重點(diǎn)考查了重要不等式的應(yīng)用,屬中檔題.10.已知等比數(shù)列的公比為,且,數(shù)列滿足,若數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中,則( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由題可知數(shù)列的連續(xù)四項(xiàng),從而可判斷,再分別列舉滿足符合條
7、件的情況,從而得到公比.【詳解】因?yàn)閿?shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中,所以數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中,所以數(shù)列的連續(xù)四項(xiàng)不同號(hào),即.因?yàn)?,所以,按此要求在集合中取四個(gè)數(shù)排成數(shù)列,有-27,24,-18,8;-27,24,-12,8;-27,18,-12,8三種情況,因?yàn)?27,24,-12,8和-27,24,-18,8不是等比數(shù)列,所以數(shù)列的連續(xù)四項(xiàng)為-27,18,-12,8,所以數(shù)列的公比為.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的綜合應(yīng)用,意在考查學(xué)生的分析能力,邏輯推理能力,分類(lèi)討論能力,難度較大.二、多選題:(本大題一共3道小題,每題4分,共12分,每題漏選得2分,錯(cuò)選或多選不得分)11.給出下面四個(gè)推斷,其
8、中正確的為( ).A. 若,則;B. 若則;C. 若,則;D. 若,則.【答案】AD【解析】【分析】由均值不等式滿足的條件為“一正、二定、三相等”,可得選項(xiàng)A,D正確,選項(xiàng)B,C錯(cuò)誤.【詳解】解:對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)?,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),即選項(xiàng)A正確; 對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)時(shí),顯然不成立,即選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)時(shí),顯然不成立,即選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,則,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),即選項(xiàng)D正確,即四個(gè)推段中正確的為AD,故答案為:AD.【點(diǎn)睛】本題考查了均值不等式,重點(diǎn)考查了“一正、二定、三相等”,屬基礎(chǔ)題.12.下列命題的是真命題的是( ).A. 若,則;B. 若,則C. 若,則D. 若,
9、則【答案】BD【解析】【分析】分別取特殊情況可得選項(xiàng)A,C錯(cuò)誤,由同向不等式的可加性可得選項(xiàng)B正確,由不等式兩邊同時(shí)除以一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變,可得選項(xiàng)D正確.詳解】解:對(duì)于選項(xiàng)A,取,顯然不成立,即選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)椋瑒t,又,則,即選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,取,,顯然不成立,即選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)椋瑒t,則,即選項(xiàng)D正確,即命題是真命題的是BD,故答案為:BD.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì),屬基礎(chǔ)題.13.在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列中,是數(shù)列的前n項(xiàng)和,若,則下列說(shuō)法正確的是( ).A. B. 數(shù)列是等比數(shù)列C. D. 數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列【答案】ABC【解析】【分析】
10、先由已知條件求得數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和,再利用定義法判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列或等比數(shù)列,得解.【詳解】解:因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列,又,所以,又,所以或,又公比q為整數(shù),則,即, 對(duì)于選項(xiàng)A,由上可得,即選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,則數(shù)列是等比數(shù)列,即選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,即選項(xiàng)C正確;對(duì)于選項(xiàng)D,即數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列,即選項(xiàng)D錯(cuò)誤,即說(shuō)法正確的是ABC,故答案為:ABC.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和的運(yùn)算,重點(diǎn)考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定,屬中檔題.三、填空題:(本大題一共4道小題,每題4分,共16分)14.已知命題p:“x R,exx10”,則 為_(kāi)【答案】xR,exx10【解
11、析】【分析】根據(jù)特稱(chēng)命題的否定是全程命題可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)樘胤Q(chēng)命題的否定是全程命題,所以“”的否定為“”,故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查特稱(chēng)命題的否定,屬于簡(jiǎn)單題.全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題的否定與命題的否定有一定的區(qū)別,否定全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題時(shí),一是要改寫(xiě)量詞,全稱(chēng)量詞改寫(xiě)為存在量詞、存在量詞改寫(xiě)為全稱(chēng)量詞;二是要否定結(jié)論,而一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可.15.在數(shù)列中,數(shù)列是等差數(shù)列.則_.【答案】【解析】【分析】先設(shè),由數(shù)列是等差數(shù)列,則是等差數(shù)列,則,再將已知條件代入運(yùn)算即可得解.【詳解】解:設(shè),則是等差數(shù)列,又,所以,又,所以,即,即,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),
12、重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力,屬基礎(chǔ)題.16.已知實(shí)數(shù),且,則的最小值為_(kāi).【答案】【解析】【分析】先由實(shí)數(shù),則,且,再構(gòu)造,利用重要不等式求最值即可.【詳解】解:因?yàn)閷?shí)數(shù),則,且,則=,當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào),即的最小值為,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了重要不等式的應(yīng)用,重點(diǎn)考查了對(duì)表達(dá)式數(shù)據(jù)的分析處理能力,屬中檔題.17.已知函數(shù),若,都有,則實(shí)數(shù)m取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】函數(shù),若,都有,等價(jià)于,再求函數(shù),的最值即可得解.【詳解】解:由,則,由,則,因?yàn)楹瘮?shù),若,都有,則,即,即,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式有解與恒成立問(wèn)題,重點(diǎn)考查了函數(shù)的最值的求法,屬中檔題.四、解答題:(本大題一
13、共6道題,共82分)18.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,已知,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)求,并指出當(dāng)?shù)娜〉米钚≈禃r(shí)對(duì)應(yīng)的n的值.【答案】(1);(2);取最小值-60時(shí),n等于5或6.【解析】【分析】(1)由等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法可得;(2)由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得,再結(jié)合二次函數(shù)的最值的求法即可得解.【詳解】解:(1)設(shè)數(shù)列的公差為d,則,解得:, ; (2)由(1)得, 由于,于是,當(dāng)n取值或時(shí),取最小值,故當(dāng)n取值或時(shí),取最小值,【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及等差數(shù)列前n項(xiàng)和及最值,屬基礎(chǔ)題.19.已知:函數(shù)(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的定義域。(2)當(dāng)函數(shù)的定義域?yàn)镽時(shí),求實(shí)數(shù)k的取值
14、范圍?!敬鸢浮浚?);(2);【解析】【分析】(1)取,解不等式,即可得解;(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽,則恒成立,再分別討論當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)實(shí)數(shù)k的取值范圍,得解.【詳解】解:(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)為,由得或,所以,此函數(shù)的定義域?yàn)椋?(2)當(dāng)時(shí),大于0恒成立;當(dāng)時(shí),必有且既有,解之得:, 綜上所述:實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)定義域的求法及不等式恒成立問(wèn)題,重點(diǎn)考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬基礎(chǔ)題.20.如圖,有一壁畫(huà),最高點(diǎn)A處離地面6米,最低點(diǎn)B處離地面3米。若從離地高2米的C處觀賞它,視角為. (1)若時(shí),求C點(diǎn)到墻壁的距離。(2)當(dāng)C點(diǎn)離墻壁多遠(yuǎn)時(shí),視角最大?【答案】(1)2米;(2)
15、2米;【解析】【分析】(1)結(jié)合題意,設(shè),則視角,設(shè)C點(diǎn)到墻壁的距離為米,則有,由兩角差的正切公式可得,再將代入即可得解;(2)將表示為關(guān)于的函數(shù),再結(jié)合重要不等式求其最值即可得解,一點(diǎn)要注意取等的條件.【詳解】解:(1)設(shè),則視角,設(shè)C點(diǎn)到墻壁的距離為米,則有, ,所以,當(dāng)時(shí),解得;(2)由(1)知(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立),所以,當(dāng)視角達(dá)到最大,故當(dāng)時(shí),C點(diǎn)到墻壁距離為2米,此時(shí)視角達(dá)到最大.【點(diǎn)睛】本題考查了兩角差的正切公式及重要不等式,重點(diǎn)考查了解決實(shí)際問(wèn)題的能力,屬中檔題.21.記為正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,若(1)求數(shù)列的公比q的值.(2)若,設(shè)為該數(shù)列的前項(xiàng)的和,為為數(shù)列的前n項(xiàng)和,
16、若,試求實(shí)數(shù)t的值?!敬鸢浮浚?);(2);【解析】【分析】(1)由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得,可化簡(jiǎn)為,再求解即可;(2)由等比數(shù)列的性質(zhì)可得數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,再求和運(yùn)算即可.【詳解】解:(1)由已知 ,則,即:, 解得:,又,故; (2)在等比數(shù)列中:, 所以,所以,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,所以, 由,即,又,即故.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和,重點(diǎn)考查了等比數(shù)列的性質(zhì),屬中檔題.22.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,滿足(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求出通項(xiàng)公式;(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)【解析】分析】(1)利用求得,再證明數(shù)列是等比數(shù)列即可;(2)由,則,再采用分組求和與錯(cuò)位相減法求和即可得解.【詳解】解:(1) , 當(dāng)時(shí),所以,當(dāng)時(shí),即, ,所以,數(shù)列是等比數(shù)列,又,所以,即,綜上,數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ;(2)因?yàn)樗?,其中,由得,兩式作差得,即?故.【點(diǎn)睛】本題考查了由的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式,重點(diǎn)考查了分組求和與錯(cuò)位相減法求和,屬中檔題.23.已知函數(shù)(1)設(shè),若不等式對(duì)于任意x都成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍;(2)設(shè),解關(guān)于x的不等式組;【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí),不等式組的解集為,當(dāng)時(shí),不等式組的解集為.【解析】【分析】(1)由當(dāng)
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