高等數(shù)學(xué)：D9_7方向?qū)?shù)與梯度

1、第九章,第七節(jié),一、方向?qū)?shù),二、梯度,三、物理意義,方向?qū)?shù)與梯度,一、方向?qū)?shù),定義: 若函數(shù),則稱,為函數(shù)在點(diǎn) P 處沿方向 l 的方向?qū)?shù),在點(diǎn),處,沿方向 l (方向角為,存在下列極限,記作,定理,則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)存在,證明: 由函數(shù),且有,在點(diǎn) P 可微,得,故,對于二元函數(shù),為, ) 的方向?qū)?shù)為,特別在偏導(dǎo)存在時(shí),當(dāng) l 與 x 軸同向,當(dāng) l 與 x 軸反向,向角,例1. 求函數(shù),在點(diǎn) P(1, 1, 1) 沿向量,3) 的方向?qū)?shù),例2. 求函數(shù),在點(diǎn)P(2, 3)沿曲線,朝 x 增大方向的方向?qū)?shù),解: 將已知曲線用參數(shù)方程表示為,它在點(diǎn) P 的切向

2、量為,例3. 設(shè),是曲面,在點(diǎn) P(1, 1, 1 )處,指向外側(cè)的法向量,解,方向余弦為,而,同理得,方向,的方向?qū)?shù),在點(diǎn)P 處沿,求函數(shù),二、梯度,方向?qū)?shù)公式,令向量,這說明,方向：f 變化率最大的方向,模 : f 的最大變化率之值,方向?qū)?shù)取最大值,1. 定義,即,同樣可定義二元函數(shù),稱為函數(shù) f (P) 在點(diǎn) P 處的梯度,記作,gradient,在點(diǎn),處的梯度,說明: 函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影,向量,其中,稱為向量微分算子或 Nabla算子,2. 梯度的幾何意義,稱為函數(shù) f 的等值線或等高線,則L*上點(diǎn)P 處的法向量為,舉例,函數(shù)在一點(diǎn)的梯度垂直于該點(diǎn)等值線,指向函

3、數(shù)增大的方向,同樣,的等值面(等量面,當(dāng)其各偏導(dǎo)數(shù)不同,其上點(diǎn) P 處的法向量為,稱為,時(shí)為零時(shí),等高線圖舉例,這是利用數(shù)學(xué)軟件Mathematica 繪制的曲面及其等高線圖, 帶 陰影的等高線圖中, 亮度越大 對應(yīng)曲面上點(diǎn)的位置越高,等高線圖,帶陰影的等高線圖,例4. 設(shè)函數(shù),解: (1) 點(diǎn)P處切平面的法向量為,在點(diǎn) P(1,1,1) 處的切平面方程,故所求切平面方程為,即,2) 求函數(shù) f 在點(diǎn) P (1,1,1) 沿增加最快方向的方向?qū)?shù),求等值面,2) 函數(shù) f 在點(diǎn)P處增加最快的方向?yàn)?沿此方向的方向?qū)?shù)為,3. 梯度的基本運(yùn)算公式,例5,證,試證,三、物理意義,函數(shù),數(shù)量場 (數(shù)

4、性函數(shù),場,向量場(矢性函數(shù),可微函數(shù),梯度場,勢,如: 溫度場, 電勢場等,如: 力場,速度場等,向量場,注意: 任意一個向量場不一定是梯度場,例6,已知位于坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)電荷 q 在任意點(diǎn),試證,證: 利用例5的結(jié)果,這說明場強(qiáng),處所產(chǎn)生的電勢為,垂直于等勢面,且指向電勢減少的方向,內(nèi)容小結(jié),1. 方向?qū)?shù),三元函數(shù),在點(diǎn),沿方向 l (方向角,的方向?qū)?shù)為,二元函數(shù),在點(diǎn),的方向?qū)?shù)為,沿方向 l (方向角為,2. 梯度,三元函數(shù),在點(diǎn),處的梯度為,二元函數(shù),在點(diǎn),處的梯度為,3. 關(guān)系,方向?qū)?shù)存在,偏導(dǎo)數(shù)存在,可微,方向: f 變化率最大的方向,模: f 的最大變化率之值,梯度的特點(diǎn),練習(xí),P131 題 16,提示,備用題 1,函數(shù),在點(diǎn),處的梯度,解,則,注意 x , y , z 具有輪換對稱性,1992 考研,指向