第三節(jié)微積分基本公式

1、第三節(jié) 微積分基本公式積分學(xué)中要解決兩個問題：第一個問題是原函數(shù)的求法問題, 我們在第四章中已經(jīng)對它做了討論；第二個問題就是定積分的計算問題. 如果我們要按定積分的定義來計算定積分,那將是十分困難的. 因此尋求一種計算定積分的有效方法便成為積分學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵. 我們知道,不定積分作為原函數(shù)的概念與定積分作為積分和的極限的概念是完全不相干的兩個概念. 但是, 牛頓和萊布尼茨不僅發(fā)現(xiàn)而且找到了這兩個概念之間存在著的深刻的內(nèi)在聯(lián)系. 即所謂的“微積分基本定理”, 并由此巧妙地開辟了求定積分的新途徑牛頓-萊布尼茨公式. 從而使積分學(xué)與微分學(xué)一起構(gòu)成變量數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科微積分學(xué). 牛頓和萊布尼茨也因此作為微

2、積分學(xué)的奠基人而載入史冊.分布圖示 引言 引例 積分上限函數(shù) 積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例1 例2-3 例4 例5 例6 例7 原函數(shù)存在定理 牛頓萊布尼茨公式 牛頓萊布尼茨公式的幾何解釋 例8 9 例10 例11 例12 例13 例14 例15 例16 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題5-3講解注意： 一、 引例 變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系. 二、 積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)：定理2 若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),則函數(shù)就是在上的一個原函數(shù). 三、牛頓萊布尼茲公式定理3 若函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù),則. (3.6)公式(3.4)稱為牛頓萊布尼茨公式.例題選講： 積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)例1 (E01

3、) 求右圖中陰影區(qū)域的面積解 由題意，得到 陰影區(qū)域的面積 .例2（E02）求.解 例3（E03）求.解 這里是的函數(shù)，因而是的復(fù)合函數(shù)，令則根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，有例4 設(shè)是連續(xù)函數(shù), 試求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1) ; (2) ; (3) 解 (1) (2) 因為所以(3) 因為，所以，例5 設(shè)函數(shù)由方程所確定. 求解 在方程兩邊同時對求導(dǎo):于是 ，即 故 例6（E04）求 .分析:這是型不定式,應(yīng)用洛必達法則.解 故 例7 設(shè)在內(nèi)連續(xù)且 證明函數(shù)在內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù).證 因為所以 故在內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù). 牛頓萊布尼茲公式例8（E05）求定積分.解 是的一個原函數(shù)，由牛頓-萊布尼茨公式得: 例9

4、（E06）求定積分解 當(dāng)時, 的一個原函數(shù)是例10 設(shè) 求解 如圖，在上規(guī)定:當(dāng)時, 則由定積分性質(zhì)得:例11（E07）求定積分.解 因為所以例12求定積分.解 例13求定積分.解 由圖形可知例14（E08）計算由曲線在之間及x軸所圍成的圖形的面積A.解 如圖，根據(jù)定積分的幾何意義,所求面積為例15 汽車以每小時36km速度行駛, 到某處需要減速停車. 設(shè)汽車以等加速度剎車. 問從開始剎車到停車, 汽車駛過了多少距離?解 首先要算出從開始剎車到停車經(jīng)過的時間.設(shè)開始剎車的時刻為此時汽車速度為km/h剎車后汽車減速行駛，其速度為 當(dāng)汽車停住時，速度故由 于是這段時間內(nèi)，汽車所駛過的距離為即在剎車后，汽車需駛過才能停住.例16（E09）某服裝公司生產(chǎn)每套服裝的邊際成本是 （1） 用和計算生產(chǎn)400套服裝的總成本的近似值；（2） 用定積分計算生產(chǎn)400套服裝的總成本的精確值。解 （1）把區(qū)間0,400分成4個長度相等的小區(qū)間 ， 每個區(qū)間的長度均為。用左矩形公式，得 （元）。（3） 精確的總成本是