無窮級數(shù)的重排

1、級數(shù)的重排,1,眾所周知，條件收斂級數(shù)各項的,先后次序重新排列后，級數(shù)的和及收,斂性都可能改變。,簡單地說：,條件收斂級數(shù)不滿足,交換律,。,本課件利用數(shù)學(xué)軟件,Maple,來求,交錯調(diào)和級數(shù)經(jīng)過重排后的一些級數(shù),的和。,四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,徐小湛,July 3, 2012,級數(shù)的重排,2,先來看級數(shù),絕對收斂,與,條件收斂,的區(qū)別,四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,徐小湛,July 3, 2012,級數(shù)的重排,3,絕對收斂與條件收斂有何區(qū)別？,定理,9,（絕對收斂級數(shù)的交換律）,絕對收斂級數(shù)可以任意重排，其和不變。,絕對收斂級數(shù)的收斂是,絕對的,（,Absolutely,），,它的收斂性及其和都不會因為改變級

2、數(shù)各項,的位置而產(chǎn)生任何變化。,四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,徐小湛,July 3, 2012,級數(shù)的重排,4,條件收斂級數(shù)不滿足交換律,條件收斂級數(shù)的收斂性及其和都與級數(shù),中各項的位置有關(guān)。,因此,條件收斂,級數(shù)的收斂性及其和是有,條件的,（,conditionally,）,：,不能打亂原級數(shù)的各項之間的先后次序，,否則可能會改變級數(shù)的和，甚至改變其收斂,性。,當(dāng)然，只改變有限項的位置，不會對級,數(shù)造成任何變化。,四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,徐小湛,July 3, 2012,級數(shù)的重排,5,1,1,1,1,1,1,1,例如,1,?,?,?,?,?,?,?,?,.,.,?,ln,2,2,3,4,5,6,7,8,是條

3、件收斂級數(shù),在以上順序下（,一正,一負(fù),），級數(shù)收斂，,和為,ln2,。,現(xiàn)在，我們按照,“,一正,二負(fù),”,重新排列,各項的順序，得一新的級數(shù)：,1,1,1,1,1,1,1,1,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,.,2,4,3,6,8,5,10,12,四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,徐小湛,July 3, 2012,級數(shù)的重排,6,1,1,1,1,1,1,1,1,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,.,2,4,3,6,8,5,10,12,1,1,1,1,1,1,1,1,?,(1,?,),?,?,(,?,),?,?,(,?,),?,?,.,.,2,4,3,6,8,5,10,1,2,1,1,1,1,

4、1,1,?,?,?,?,?,?,?,.,收斂級數(shù)可以加括號,2,4,6,8,1,0,1,2,1,1,1,1,1,1,?,(1,?,?,?,?,?,?,.),級數(shù)性質(zhì),2,2,3,4,5,6,1,?,ln,2,還是那些數(shù)相加，但結(jié)果減少一半！,2,四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,徐小湛,July 3, 2012,級數(shù)的重排,7,數(shù)學(xué)家,黎曼,證明了一個更令人吃驚的結(jié),論：,條件收斂級數(shù)的各項重排后，級數(shù)可以,收斂于任何一個實數(shù)，也可以使其發(fā)散！,黎曼,Riemann,1826-1866,德國數(shù)學(xué)家,四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,徐小湛,July 3, 2012,級數(shù)的重排,8,交錯調(diào)和級數(shù),的重排,級數(shù)的計算由數(shù)學(xué)軟件,

5、Maple,完成,四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,徐小湛,July 3, 2012,級數(shù)的重排,9,實驗表明：若將交錯調(diào)和級數(shù),1,?,1,2,?,1,3,?,1,4,?,1,5,?,1,6,?,1,1,7,?,8,?,.,.,負(fù)項（正項）提前，就可以使級數(shù)的和,減?。ㄔ龃螅?。,四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,徐小湛,July 3, 2012,級數(shù)的重排,10,先看一正,m,負(fù)的情形,四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,徐小湛,July 3, 2012,級數(shù)的重排,11,一正一負(fù),：,(1,?,1,2,),?,(,1,3,?,1,1,1,4,),?,(,5,?,6,),?,.,?,?,?,(,1,?,1,n,?,1,2,n,?,1,2,n

6、,),?,ln,2,?,0.6931,a:=n-1/(2*n-1)-1/(2*n);,Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);,evalf(%);,四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,徐小湛,July 3, 2012,級數(shù)的重排,12,一正二負(fù),：,1,1,1,1,1,1,1,1,(1,?,?,),?,(,?,?,),?,(,?,?,),?,.,2,4,3,6,8,5,10,12,1,1,1,1,?,?,(,?,?,),?,ln,2,?,0.,3466,4,n,?,1,4,n,2,n,?,1,2,n,?,1,?,a:=n-1/(2*n-1)-1/(4*n-2)

7、-1/(4*n);,Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);,evalf(%);,四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,徐小湛,July 3, 2012,級數(shù)的重排,13,一正三負(fù),：,1,1,1,1,1,1,1,(1,?,?,?,),?,(,?,?,?,),?,.,2,4,6,3,8,10,12,1,1,1,1,1,?,?,(,?,?,?,),?,ln,2,?,ln,3,6,n,?,4,6,n,?,2,6,n,2,n,?,1,2,n,?,1,?,0.1438,a:=n-1/(2*n-1)-1/(6*n-4)-1/(6*n-2)-1/(6*n);,Sum(a(n

8、),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);,evalf(%);,四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,徐小湛,July 3, 2012,?,級數(shù)的重排,14,一正四負(fù),：,1,1,1,1,1,1,1,1,1,(1,?,?,?,?,),?,(,?,?,?,?,),?,.,2,4,6,8,3,10,12,14,16,1,1,1,1,1,?,?,(,?,?,?,?,),?,0,8,n,?,6,8,n,?,4,8,n,?,2,8,n,n,?,1,2,n,?,1,?,n,?,1,?,1,1,1,1,?,?,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,2,n,1,8,n,6,8,n,4,8

9、,n,2,8,n,?,?,?,?,?,?,?,a:=n-1/(2*n-1)-1/(8*n-6)-1/(8*n-4)-1/(8*n-2)-1/(8*n);,Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);,四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,徐小湛,July 3, 2012,級數(shù)的重排,15,一正五負(fù),：,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,(1,?,?,?,?,?,),?,(,?,?,?,?,?,),?,.,2,4,6,8,10,3,12,14,16,18,20,1,1,1,1,1,1,?,?,(,?,?,?,?,?,),10,n,?,6,10,n,?,4,1

10、0,n,?,2,1,0,n,n,?,1,2,n,?,1,10,n,?,8,?,?,0.1116,?,a:=n-1/(2*n-1)-1/(10*n-8)-1/(10*n-6)-1/(10*n-4)-1/(10*n-2)-1/(10*n);,Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);,evalf(%);,四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,徐小湛,July 3, 2012,級數(shù)的重排,16,一正,m,負(fù),：,1,1,1,1,(,?,?,.,?,?,),?,2,mn,?,(2,m,?,2),2,mn,?,2,2,mn,n,?,1,2,n,?,1,?,1,1,即,?,(

11、,?,?,),n,?,1,2,n,?,1,k,?,0,2,m,n,?,2,k,m:=8:,a:=n-1/(2*n-1)-sum(1/(2*m*n-2*k),k=0.m-1);,Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity):,evalf(%);,四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,徐小湛,July 3, 2012,?,m,?,1,級數(shù)的重排,17,一正八負(fù),：,m=8,1,1,(,?,),?,?,0.3466,?,?,n,?,1,2,n,?,1,k,?,0,2,?,8,?,n,?,2,k,?,8,?,1,m:=8:,a:=n-1/(2*n-1)-sum(1/(2*m*

12、n-2*k),k=0.m-1);,Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);,evalf(%);,四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,徐小湛,July 3, 2012,級數(shù)的重排,18,一正,15,負(fù),：,m=15,1,1,(,?,),?,?,0.66,?,?,n,?,1,2,n,?,1,k,?,0,2,?,15,?,n,?,2,k,?,1,5,?,1,m:=15:,a:=n-1/(2*n-1)-sum(1/(2*m*n-2*k),k=0.m-1);,Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity):,evalf(%);

13、,四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,徐小湛,July 3, 2012,級數(shù)的重排,19,再看,m,正一負(fù)的情形,四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,徐小湛,July 3, 2012,級數(shù)的重排,20,二正一負(fù),：,1,1,1,1,1,1,1,1,(1,?,?,),?,(,?,?,),?,(,?,?,),?,.,3,2,5,7,4,9,11,6,1,1,1,3,?,?,(,?,?,),?,l,n,2,4,n,?,1,2,n,2,n,?,1,4,n,?,3,?,a:=n-1/(4*n-3)+1/(4*n-1)-1/(2*n);,Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);,evalf

14、(%);,四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,徐小湛,July 3, 2012,級數(shù)的重排,21,三正一負(fù),：,1,1,1,1,1,1,1,(1,?,?,?,),?,(,?,?,?,),?,.,3,5,2,7,9,11,4,1,1,1,1,1,?,?,(,?,?,?,),?,ln,2,?,ln,3,6,n,?,3,6,n,?,1,2,n,2,n,?,1,6,n,?,5,?,a:=n-1/(6*n-5)+1/(6*n-3)+1/(6*n-1)-1/(2*n);,Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);,evalf(%);,四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,徐小湛,July 3,

15、 2012,級數(shù)的重排,22,四正一負(fù),：,1,1,1,1,1,1,1,1,1,(1,?,?,?,?,),?,(,?,?,?,?,),?,.,3,5,7,2,9,11,13,15,4,1,1,1,1,1,?,?,(,?,?,?,?,),?,1.3863,8,n,?,5,8,n,?,3,8,n,?,1,2,n,n,?,1,8,n,?,7,?,a:=n-1/(8*n-7)+1/(8*n-5)+1/(8*n-3)+1/(8*n-1)-1/(2*n);,Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);,evalf(%);,四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,徐小湛,July

16、3, 2012,級數(shù)的重排,23,m,正一負(fù),：,1,1,(,?,),?,?,2,n,n,?,1,k,?,0,2,m,n,?,(2,k,?,1),m:=8:,a:=n-sum(1/(2*m*n-2*k-1),k=0.m-1)-1/(2*n);,Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);,evalf(%);,四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,徐小湛,July 3, 2012,?,m,?,1,級數(shù)的重排,24,8,正一負(fù),：,1,1,(,?,),?,1.7329,?,?,2,n,n,?,1,k,?,0,2,?,8,?,n,?,(2,k,?,1),?,8,?,1,m:=8:,a:=n-sum(1/(2*m*n-2*k-1),k=0.m-1)-1/(2*n);,Sum(a(n),n=1.infinity)=sum(a(n),n=1.infinity);,evalf(%);,四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,徐小湛,July 3, 2012,級數(shù)的重排,25,