第4章線性方程組習題

1、第4章 線性方程組一、知識結構分析 （1）線性方程組求解和線性相關性，矩陣的秩和矩陣的變換之間的關系。線性方程組一章的內(nèi)容是線性代數(shù)發(fā)展的淵源，正是線性方程組的求解研究導致了向量線性相關性的研究，就是確定多余方程和保留方程，保留未知量和自由未知量的問題。這些問題可通過矩陣的秩和子式的計算來確定。第三章的內(nèi)容，無論是線性相關性還是矩陣的秩，都是和方程組求解密切相關，要通過知識結構的聯(lián)系，使學生整體掌握知識體系。 矩陣的初等行變換應是初等變換的重點，它對應與方程的恒等變換（保持同解）。行階梯型矩陣對應的方程組可通過把自由未知量移到右邊，再通過回代求解。而行最簡形不用回代可直接寫出解的表示式。如果僅

2、求矩陣的秩或確定向量組的最大無關組，把矩陣化簡到階梯型即可。 （2）方程組的解結構和相應的行向量組或列向量組的相關性分析是該理論的難點，齊次方程組有非零解與對應的行向量組或列向量組線性相關性有對應關系，非齊次方程組有解和向量的表示有一種對應關系，要學會靈活的應用這些關系來分析問題。二、重點難點分析與教材處理：（1） 齊次方程組解的結構部分要結合向量空間，向量空間的基與向量組的最大無關組的回顧，加深上章基本概念的理解。（2） 齊次方程組的矩陣表示和向量表示要闡明有非零解與列向量組線性相關性的關系。（3）方程求解的變換化簡對應的行最簡型，結合初等變換的內(nèi)容使對初等變換的理解更具體。（4）方程組通解

3、的兩種表示方法，用基礎解系表示的間接方法和用自由未知量表示的直接方法。（5）解空間用基礎解系聯(lián)系向量空間用基表示的關系，闡明向量空間和向量組的不同。（6）非齊次方程組的矩陣和向量表示與向量組線性相關性的關系，增廣矩陣和系數(shù)矩陣的列向量組之間的關系。（7）含有參數(shù)的方法的參數(shù)識別，即方程組的反問題，了解正問題的和反問題的初步概念。三、常見的問題和易犯的錯誤 （1）帶參數(shù)的矩陣化簡忽略帶參數(shù)的分母為零的討論。 （2）不能掌握方程化簡分析的一般步驟。四、參考資料與數(shù)學實驗五、 學習指導與提示1 1 求下列齊次線性方程組的一個基礎解系及一般解：（1）解：對系數(shù)矩陣做初等行變換（相當于對方程做化簡），化

4、簡后的方程組為分別取和代入方程組求解得到基礎解系為，通解為或者直接寫出通解為基礎解系為（2）解：對系數(shù)矩陣做初等變換,因此，只有零解。2 2 求解下列非齊次線性方程組：（1） （1） ，（2）解：對增廣矩陣做初等行變換，方程組無解3 3 討論取什么值時下列方程組有解，并求解：（1），解：法一、對增廣矩陣作行變換，把方程組化簡若，則方程組化簡為，其解為若，則有若，此時無解如，即方程組有唯一解 法二（分析）根據(jù)Gramer法則，如果系數(shù)行列式非零，則有唯一解，對于行列式等于零的情況再分析是無解還是多解系數(shù)行列式為因此方程組有唯一解，其解為易知時方程組無解，時，方程組有無窮多解，其解為（2）解：對增

5、廣矩陣作行變換當時，無解。當時若，則有唯一解時，無解（3）解：方法一、系數(shù)行列式為根據(jù)Gramer法則可知，當時，方程組有唯一解。其解為當時，增廣矩陣為，方程組無解。當時，方程組無解4 4 設問為何值時此方程組有唯一解、無解或有無窮多解？并在有解時求其通解。分析：求系數(shù)行列式，如果則有唯一解。對于的情況分別討論，這種方法思路清晰，但計算量大。另一種方法是用初等變換化簡方程，但要注意分母為零的情況。解：法一、系數(shù)行列式為，因此當時，方程組有唯一解當時方程組無解。當時通解為，其中為任意實數(shù)。5設四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知是它的三個解向量，且 求該方程組的通解。解：四元非齊次線性方

6、程組的系數(shù)矩陣的秩為3 ,對應的齊次方程組的基礎解系只含有一個解向量，故只需求出一個特解和對應的齊次方程的一個非零解。為非齊次方程組的特解，也是非齊次方程組的解，因此因此通解為其中為任意實數(shù)。6.設，證明這個方程組有解的充分必要條件是 解：對方程組的增廣矩陣做初等變換由非齊次方程組解的判定定理知，方程組有解的充分必要條件是，即7證明：與基礎解系等價的線性無關的向量組也是基礎解系。證明：設是與基礎解系等價的線性無關的向量組，因為可用基礎解系線性表示，故是齊次方程組的解。由條件知，它們是線性無關的。由任一解可由基礎解系線性表示，由等價性可知，可由線性表示，因此是基礎解系。注：實際上基礎解系所含解向

7、量的個數(shù)均為。8設A，B都是n階方陣，且AB=0，證明。證明：考慮矩陣方程與方程組解的關系，將按列分塊，即考慮B的列向量可表示為 即，也就是說是方程的解。（1）如果的秩，則知只有零解，而又是的解，故知，即，結論成立。（2）如果，則的基礎解系含有個解向量，設為，又為的解，故向量組可由基礎解系線性表示，由定理知即，故9設是非齊次線性方程組的一個解，是對應的齊次方程組的一個基礎解系。證明： （1）線性無關; (2)線性無關。證明：（1）設用去左乘方程兩端，有因此，代入上式得到 因是線性無關的，因此，即線性無關;（2） （2） 類似的考慮，即用去左乘方程兩端得到，代入上式，由的線性無關性可知，因而，故線性無關。10設是非齊次線性方程組的s個解，為實數(shù)，滿足，證明 ：也是它的解。證明：將表示式代入則有故是方程組的解。11 設非齊次方程組的系數(shù)矩陣秩為r,是它的個線性無關的解（由題9知它確有n-r+1個線性無關的解）。試證它