《隨機過程及其在金融領(lǐng)域中的應(yīng)用》習(xí)題二答案

1、第二章 習(xí)題 21、設(shè) X 為取非負整數(shù)值的隨機變量，證明 E ( X )=P (X k )k =1證明：E(X)= kp(x=k )= k ( p( Xk )-p(x k +1)k =1k =1 = kp(x k ) - (k +1)p(x k +1) + p(x k +1)k =1k =1k =1= p(k =1) + p(x k +1) = p(x k )k =1k =1e - x , x 0= e aX (a 0) 的數(shù)學(xué)期望。2、設(shè)隨機變量 X 的概率密度為 f (x) = ，求Y0, x 0答：E(Y ) = E(eax ) = -+ eax f (x)dx = 0+ eaxe-x

2、 dx = 0+ ex(a-1) dx=10+ de(a-1) x =1a -11- a6 xy 2 , 0 x 1, 0 y 13、設(shè)二維隨機變量（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為 f (x , y ) =，0, 其他求（X,Y）的協(xié)方差矩陣。答：邊緣概率密度為：fx=+f(x , y dy =1 6xy 2 dy = 2 x, 0 x 1X ()-)00, 其它Y()+()13 y 2 , 0 y 0 時， f Y ( y ) = F ( y ) =1f X ( y ) =1-(ln y -u )22s 2e；y2psy當(dāng) y 0 時， f Y ( y ) = 0 。6、設(shè) X 和 Y 是相互獨立

3、的 Poisson 隨機變量，其參數(shù)分別是 l1 和 l2 。試求當(dāng)給定 X + Y = n 時， X=k (k n) 的條件概率。答：P (X +Y = n)= P (X = k,Y = n - k )= l1 e-l1l2e-l2nnkn -k= e ( 1k =1k =1 k !(n - k )!2)nn!l k l n- k =e(1)2l + ln- l+ l- l+l12(1)2n !(n-)n!k =1k !k !l k- ll n -k-lP (X = kY = n - k )1e12e2 k n -kP (X = kX + Y = n )=k !(n - k )!= Cnkl

4、l1 2P (X + Y = n)- l +le(12 )(l1 + l2 )n l1 + l2 l1 + l2 n!e - y , 0 x y7、已知二維隨機變量（X,Y）的聯(lián)合分布密度為 f (x , y )，求條件= 0, 其他密度 f (x | y ) 及 f ( y | x) 。答：f X ,Y(x , y )f X ,Y (x , y )公式 f (xy ) =和 f (yx) =f Y( y )f X(x)先求邊緣概率密度：（0x 0f=-f=-e - y dy= -e - yx= 0 + e - x = e-x fxx, y dyx= 0, 其他Y ()+()yyY ()ye

5、- y , y 0 f=-f=00= ye- y f=yx, y dxe - y dx = xe - yy0, 其他f (xy ) =f X ,Y (x, y )=f Y ( y ) 1 , 0 x y f (x y ) = y0, 其他e- y ye - y1f (yx ) =f X ,Y (x , y )e- yx - y= eyf X (x )e-xf (y x) = e x - y , 0 x 0) 的指數(shù)分布，求 X 的矩母函數(shù)，并根據(jù)其矩母函數(shù)計算 X 的數(shù)學(xué)期望和方差。答：依題意，可得：X 的矩母函數(shù)：y X (t ) = E (e tx ) = -+ e tx dFX (x)(

6、)( )-l x()X 服從參數(shù)為l l 0的指數(shù)分布 fxx0=l eX 的特征函數(shù)：j X (t ) = -+ e tx dFX (x ) = -+ e tx f (x )dx= 0+ e tx l e - lx dx = l0+ e ( t -l)x dxl+l+=0e ( t - l ) x d (t - l ) x =e(t -l )xt - lt - l0=l( 0- 1) =lt - ll - tE (x ) = j X (t )= l ( l - t )-1 =l=12t =0t =0(l - t )t =0lE (x 2 ) = j X (t )= l ( l - t )-1

7、 =2l=232t =0t =0(l - t )t =0lD(x)= E(x 2)- E(x2 =2-12 =122)l lln9、如果 X 1 ,X 2 , X n 是獨立同分布的指數(shù)變量，參數(shù)為 l ，證明 X i 具有參數(shù)i=1為 (n, l) 的 G 分布，亦即證明 X i的密度函數(shù)為 f (t ) = l e- lt(lt )n-1, t 0ni=1()n -1 !證明：n令Y = X i ，則jY (u ) = j X1 (u )j X 2 (u ) jX n (u)i=1+iux- lxliu -1j X i (u ) = 0eledx = 1 -l - iul j (u ) =

8、 1 - iu -nY l 令T 是具有參數(shù)為(n, l)的G分布，則+iut l e - l t (l t )n -1+iutl e - lt(lt )n-1jT (u ) = 0edt = 0edt()G(n)n - 1 !iuniu n -1-nl 1 -iu nl+- l 1-l tl tiu +- l 1-t=0e dt = 1-0t n -1el dtG ( n )G(n)l + iu n-1iu iu G ( n )+n -1 - tn -1 - l 1-tl= 0tedt= 0 l 1- ted l 1-tl l iu -n由（1）（2）得jY(u ) = 1 -l 由此可知，

9、jT (u ) = jY (u )（1）（2）10、試證明連續(xù)型隨機變量 X 的特征函數(shù)jX (u ) 為實函數(shù)的充要條件是：它的密度函數(shù) f (x)是對稱的，即 f (x ) = f (-x)證明：j X (u ) = -+ e iux f (x )dx = -+ cos ux + i sin ux f (x )dx= -+ cos (ux ) f (x )dx + -+ i sin (ux ) f (x )dx（a）充分性：當(dāng)f (x ) = f (-x ) 時,sin (ux ) f (x)為奇函數(shù)， 則i -+ sin (ux ) f (x )dx為0即 jX (u ) = -+ co

10、s (ux ) f (x )dx連續(xù)型隨機變量 X 的特征函數(shù)jX (u ) 為實函數(shù)。（b）必要性：j X (u ) = -+ cos (ux ) f (x )dx 為實函數(shù)，由（a）得 i -+ sin (ux ) f (x )dx = 0 即 -0 sin (ux ) f (x )dx + 0+ sin (ux ) f (x )dx = 0-0 sin (u (- x ) ) f (x )dx + 0+ sin (ux ) f (x )dx = 0令其中一式中的 x = -t0+ sin (ut ) f (-t )d (-t )+ 0+ sin (ux ) f (x )dx = 0 -

11、0+ sin (ut ) f (-t )dt + 0+ sin (ux ) f (x )dx = 0- 0+ sin (ux ) f (- x )dx + 0+ sin (ux ) f (x )dx = 0 + sin (ux ) - f (- x ) + f (x ) dx = 00f (x ) - f (- x ) = 0f (x ) = f (-x)11、考慮離散時間股票價格過程 S (n )(n =1, 2,)， S (0) 是初始價格， S (n) 是股票 n 周后的價格，假設(shè)價格過程 S (n ) / S (n - 1)(n 1) 是獨立同分布的對數(shù)正態(tài)隨機變量，設(shè)參數(shù) m = 0

12、.0165, s = 0.0730 ，求以下事件的概率：（1）此后兩周股票價格連續(xù)上升；（2）兩周后的股票價格高于今天的價格。答：（1）依題意，可得 lnS (n)N (0.0165, 0.07302)S(n -1)(2)( ) S(0)由于兩周價格連續(xù)上升， P S S 1()()P S (2 ) S (1) S (0 ) = P S2 1,S 11S(1)S (0)() ( )()( ) S2 S 1S 2 S 1= P 1 P 1 = P ln 0 P ln 0(1)S (1)S (0) S S (0 ) 0 - 0.0165 2222= P Z = ( P Z 0.226)= F (

13、0.2 ) ( 0.5894 )= 0.34740.0730)(2) S(（2）由于兩周后的價格高于如今， P S0()() S2S2P S (2 ) S (0 ) = P 1= P ln0(0 )S(0) S S (2) S (1) S (2)S (1) = P ln 0 = P ln+ ln 0S 1S0 S 1 S 0)() ()()2 ( )S2S 1( 0.1) - F ( 0.2828 ) = 0.6254= P ln ln= P FS (1)S(0 )512、考慮股價波動二項式模型。若現(xiàn)在某股票的股價 S，則過一個單位時間，它會以概率 p 變?yōu)?uS 或以概率 1-p 變?yōu)?dS，設(shè)每個時間段的價格變化是獨立的，試估計 1000 個單位時間后股價至少上升 30%的概率，其中 u=1.012，d=0.990，p=0.52.答：設(shè) S (0 ) = S 0 ， S (n) 表示經(jīng)過 n 個單位時間后的股價，則uS (n -1) , PS (n ) = , n =1, 2,dS (n - 1) ,1- P()S nu , P令 X n=, n =