全國(guó)高考數(shù)學(xué)“三角函數(shù)”試題分析小結(jié)

1、全國(guó)高考數(shù)學(xué)“三角函數(shù)”試題分析小結(jié)一、客觀題重基礎(chǔ)，有關(guān)三角函數(shù)的小題其考查重點(diǎn)是三角函數(shù)的概念、圖象與圖象變換、定義域與值域、三角函數(shù)的性質(zhì)和三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值.【例1】 （2007年四川）下面有五個(gè)命題：函數(shù)y=sin4x-cos4x的最小正周期是.終邊在y軸上的角的集合是a|a=|.在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有三個(gè)公共點(diǎn).把函數(shù)函數(shù)其中真命題的序號(hào)是 （寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)）解答：，正確；錯(cuò)誤；，和在第一象限無(wú)交點(diǎn)，錯(cuò)誤；正確；錯(cuò)誤故選【點(diǎn)評(píng)】 本題通過(guò)五個(gè)小題全面考查三角函數(shù)的有關(guān)概念、圖象、性質(zhì)的基礎(chǔ)知識(shí). 三角函數(shù)的概念，在今年的高考中，主要是以選

2、擇、填空的形式出現(xiàn)，每套試卷都有不同程度的考查.預(yù)計(jì)在2008年高考中，三角函數(shù)的定義與三角變換仍將是高考命題的熱點(diǎn)之一.【例2】（2007年安徽）函數(shù)的圖象為C： 圖象關(guān)于直線對(duì)稱; 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù);由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象. 以上三個(gè)論斷中正確論斷的個(gè)數(shù)為 （A）0（B）1（C）2（D）3解答 C 圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)k=1時(shí)，圖象C關(guān)于對(duì)稱；正確；x時(shí)，(，)， 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)；正確；由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到，得不到圖象，錯(cuò)誤； 正確的結(jié)論有2個(gè)，選C.【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及三角函數(shù)圖象的平移變換. 二、解答題重技能.三角函數(shù)解

3、答題是高考命題的?？汲Ｐ碌幕A(chǔ)性題型，其命題熱點(diǎn)是章節(jié)內(nèi)部的三角函數(shù)求值問(wèn)題；命題的亮點(diǎn)是跨章節(jié)的學(xué)科綜合命題.【例3】 （2007年安徽）已知為的最小正周期，且ab求的值解答：因?yàn)闉榈淖钚≌芷冢室?，又故由于，所以【點(diǎn)評(píng)】 本小題主要考查周期函數(shù)、平面向量數(shù)量積與三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查運(yùn)算能力和推理能力屬于三角函數(shù)求值問(wèn)題. 本類問(wèn)題一般有三種形式：給式求值，給值求值，給值求角.其一般解法是：將角化為特殊角或?qū)⑷呛瘮?shù)化為同角、同名函數(shù)進(jìn)行合并與化簡(jiǎn)，最后求出三角函數(shù)的值來(lái).【例4】 （2007年天津）已知函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值解答：（）解：因此，

4、函數(shù)的最小正周期為（）解法一：因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為解法二：作函數(shù)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的區(qū)間上的圖象如下：yxO由圖象得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為【點(diǎn)評(píng)】 本小題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式、特殊角三角函數(shù)值、兩角差公式、倍角公式、函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力 三、考應(yīng)用融入三角形之中.解三角形題目既考查三角形的知識(shí)與方法，又考查運(yùn)用三角公式進(jìn)行恒等變換的技能.【例5】 （2007年四川）如圖，l1、l2、l3是同一平面內(nèi)的三條平行直線，l1與l2間的距離是1， l2與l3間的距離是2，正三角形ABC的三頂點(diǎn)分別在l1、l2、l3

5、上，則ABC的邊長(zhǎng)是 （ ）（A） （B）（C） （D）解答：D 因?yàn)閘1、l2、l3是同一平面內(nèi)的三條平行直線，l1與l2間的距離是1，l2與l3間的距離是2，所以過(guò)A作l2的垂線，交l2、l3分別于點(diǎn)D、E，如圖，則BAD=BAC+CAE，即BAD=60+CAE,記正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,兩邊取余弦得：，即整理得，故選D. 【點(diǎn)評(píng)】 本題以平面幾何為平臺(tái)，主要考查運(yùn)用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.本題意圖與新課標(biāo)接軌，需引起高三備考學(xué)生的密切關(guān)注.【例6】 （2007年全國(guó)）設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，（）求的大??；（）求的取值范圍解：（）由，根據(jù)正弦定理得，所以，由為銳角三

6、角形得（）由為銳角三角形知， ，所以由此有，所以，的取值范圍為【點(diǎn)評(píng)】 (1)問(wèn)考查正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，當(dāng)屬容易題，（2）問(wèn)主要考查了三角函數(shù)兩角和與差的正余弦公式應(yīng)用，但題干中ABC為銳角三角形是不可忽略的條件，必須在分析題目時(shí)引起足夠的重視.四、綜合體現(xiàn)三角函數(shù)的工具性作用.雖然工具性作用有所減弱，但是對(duì)它的考查還會(huì)存在.這是由于近年高考出題突出以能力立意，加強(qiáng)了對(duì)知識(shí)的應(yīng)用性地考查經(jīng)常在知識(shí)的交匯點(diǎn)處出題.【例7】 如圖，甲船以每小時(shí)海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距海里，當(dāng)甲船航行分鐘到達(dá)處時(shí)，乙船航行到甲船的

7、北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距海里，問(wèn)乙船每小時(shí)航行多少海里？北甲乙解法一：如圖，連結(jié)，由已知，又，是等邊三角形，由已知，在中，由余弦定理，因此，乙船的速度的大小為（海里/小時(shí)）答：乙船每小時(shí)航行海里解法二：如圖，連結(jié)，由已知，北乙甲，在中，由余弦定理，由正弦定理，即，在中，由已知，由余弦定理，乙船的速度的大小為海里/小時(shí)答：乙船每小時(shí)航行海里【點(diǎn)評(píng)】 本題是解斜三角形的應(yīng)用題，考查了正、余弦定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定.求解本類問(wèn)題時(shí)應(yīng)按照由易到難的順序來(lái)求解，最重要的是首先要對(duì)圖形進(jìn)行有效分割，便于運(yùn)用正、余弦定理. 由于近年高考題突出以能力立意，加強(qiáng)對(duì)知識(shí)和應(yīng)用性的考查，故常常在知識(shí)的交匯

8、點(diǎn)處出題.用三角函數(shù)作工具解答應(yīng)用性問(wèn)題雖然是高考命題的一個(gè)冷點(diǎn)，但在備考時(shí)也需要我們?nèi)リP(guān)注.【例8】 已知函數(shù)，（I）證明：當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；（II）對(duì)于給定的閉區(qū)間，試說(shuō)明存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，在閉區(qū)間上是減函數(shù)；（III）證明：解答：()證明：由題設(shè)得又由,且t得t，即0由此可知，為R上的增函數(shù)()證法一：因?yàn)?是為減函數(shù)的充分條件，所以只要找到實(shí)數(shù)k，使得0，即t在閉區(qū)間a,b上成立即可因此y=在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，故在閉區(qū)a,b上有最大值，設(shè)其為k，tk時(shí), 0在閉區(qū)間a,b上恒成立，即在閉區(qū)間a,b上為減函數(shù)證法二：因?yàn)?是為減函數(shù)的充分條件，所以只要找到實(shí)數(shù)k，使得tk時(shí)0，在閉區(qū)間a,b上成立即可令則0()當(dāng)且僅當(dāng)0()而上式成立只需即成立取與中較大者記為k，易知當(dāng)tk時(shí)，0在閉區(qū)a,b成立，即在閉區(qū)間a,b上為減函數(shù)()證法一：設(shè)易得令則易知當(dāng)x0時(shí), 0;當(dāng)x0, 0故當(dāng)x=0時(shí)，取最小值，所以，于是對(duì)任意x、t，有，即證法二：設(shè)=，當(dāng)且僅當(dāng)0只需證明0，即1以下同證法一證法三：設(shè)=，則易得當(dāng)t時(shí), 0; t時(shí), 0，故當(dāng)t=取最小值即以下同證法一證法四: