勾股定理詳細(xì)備課教案

1、.新人教版八年級(jí)下冊 勾股定理的探究 制作人：李佳頤課標(biāo)目標(biāo)：1.了解勾股定理的文化價(jià)值，歷史背景。激發(fā)學(xué)生興趣。2.讓學(xué)生體驗(yàn)勾股定理探索的過程。3.在證明過程中讓學(xué)生了解到數(shù)形結(jié)合（幾何與代數(shù)相結(jié)合），割補(bǔ)拼接圖形，作輔助線，等巧妙的數(shù)學(xué)證明方法，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐和獨(dú)立思考能力（通過作圖剪拼證明圖形）首先我要問一個(gè)問題，你們相信外星生物嗎？不管你們信不信，反正我是信了。 科學(xué)家們更是對尋找外星智慧生命非常感興趣。他們經(jīng)常想，能用什么方式給他們聯(lián)系，給他們打個(gè)招呼呢，讓他們知道我們的存在?？墒俏淖指Z言什么的他們不懂啊。 這時(shí)候數(shù)學(xué)家說話了，用數(shù)學(xué)圖形。圖形也許能看懂，早在1820年，德國著

2、名數(shù)學(xué)家高斯曾提出，可在西伯利亞的森林里伐出一片直角三角形的空地，然后在這片空地里種上麥子以三角形的三條邊為邊，種上三片正方形的松樹林，如果有外星人路過地球附近，看到這個(gè)巨大的數(shù)學(xué)圖形，便會(huì)知道：這個(gè)星球上有智慧生命。 我國數(shù)學(xué)家華羅庚也曾提出：若要溝通兩個(gè)不同星球的信息交往，最好利用太空飛船帶上這個(gè)圖形，并發(fā)射太空中去。那么這是一個(gè)什么樣的圖形。（圖一）這個(gè)圖形其實(shí)是包含了一個(gè)歷史很悠久的數(shù)學(xué)定理，這就是著名的勾股定理。勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別是a,b,斜邊是c,那么a2+b2=c2 為什么說他歷史很悠久呢，勾股定理是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學(xué)的基石”。世界上

3、的幾個(gè)文明古國都已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了它并做了廣泛深入的研究。 比如傳說這個(gè)2500年前，一個(gè)數(shù)學(xué)家他叫畢達(dá)哥拉斯，他去朋友家吃飯，邊吃他就邊看那個(gè)地板，可能是他這個(gè)朋友太無聊了，還不如這個(gè)地板有意思，于是他看著看著，竟然讓他看出了規(guī)律。發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理。所以你們沒事的時(shí)候也可以到處看看，去吃飯應(yīng)酬什么的無聊沒意思了，說不定也能看出什么地板定理天花板定理什么的。我們來看看讓他發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理的地板到底有多么的有趣呢？（圖二） 能從這么一堆等腰直角三角形中發(fā)現(xiàn)一個(gè)世界著名的定理，我也是醉了。所以說，同一樣?xùn)|西在不同人眼里能創(chuàng)造的價(jià)值不同，就好像同樣是蘋果在牛頓眼里是萬有引力，在喬布斯眼里是智能手機(jī)，在我們的眼里她

4、是飯后水果。思考兩個(gè)問題1.你能找出上圖中正方形A、B、C面積之間的關(guān)系嗎？（思考解答）2.下圖中正方形A、B、C所圍直角三角形三邊上的正方形面積之間有什么特殊關(guān)系?（思考解答） 這就是畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)。西方的人都認(rèn)為畢達(dá)哥拉斯定理是他們的畢達(dá)哥拉斯第一個(gè)證明出來的。傳說畢達(dá)哥拉斯證明這個(gè)定理之后，殺了一百頭牛來慶祝，所以他又叫“百牛定理”。為什么叫傳說呢，因?yàn)闆]有人能夠真正確定到底是不是他發(fā)現(xiàn)了勾股定理，就算是他發(fā)現(xiàn)的，也有人說他的道德信仰使他根本不會(huì)殺生更別說殺一百頭牛了，所以說什么的都有我們也只能當(dāng)成是一個(gè)傳說?？偠灾@個(gè)定理后來是在歐幾里得的幾何原本中被證明出來。在歐洲中世紀(jì)它又被戲

5、稱為“驢橋定理”，因?yàn)槟菚r(shí)數(shù)學(xué)水平較低，很多人學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)被卡住，難以理解和接受。所以勾股定理被戲稱為“驢橋”，意謂笨蛋的難關(guān)。埃及稱為埃及三角形。 西方人認(rèn)定這是我們畢老發(fā)現(xiàn)的，畢老不是畢姥爺啊，這時(shí)候中國人不服氣了，誰說你們先發(fā)現(xiàn)的。我們早就發(fā)現(xiàn)了。如果說大禹治水因年代久遠(yuǎn)而無法確切考證的話，那么在公元前1100年左右的西周時(shí)期，周公與商高的對話則可以確定那個(gè)時(shí)候就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)勾股定理了。商高說“句廣三，股修四，徑隅五”。這里的“句”念作“勾”指的是直角三角形的短邊，后來寫法也演變成現(xiàn)在的“勾”。“股”指的是直角三角形的長邊。古人用直角三角形來測量，將長的直角邊樹立起來以后，像腿一樣。所以叫

6、做“股”，也就是腿的意思。“徑”指的是斜邊。就是勾3股4弦5，所以我們稱它為勾股定理，也叫它商高定理。周髀算經(jīng)中有記載。所以我們比畢達(dá)哥拉斯要早了五百多年。但是相傳最早的還是古代巴比倫人，他們的泥板記載上就有勾股定理的印記如何證明它：勾股定理是數(shù)學(xué)上證明方法最多的定理，已經(jīng)發(fā)表的便有400多種，近500種。我們只列舉比較經(jīng)典的幾種，通過掌握他們來學(xué)習(xí)幾種常見的數(shù)學(xué)方法首先我們來看一個(gè)圖（上圖四）方法一：弦圖勾股相乘為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四，以勾股之差自相乘為中黃實(shí)，加差實(shí)，亦成弦實(shí)。這就是我國最早對勾股定理進(jìn)行的證明，三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽，他在周髀算經(jīng)內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋。這是我們古代

7、數(shù)學(xué)的驕傲所以2002年，在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)就是用這個(gè)“弦圖”作為會(huì)標(biāo)。趙爽的這個(gè)證明可謂別具匠心，數(shù)形結(jié)合，極富創(chuàng)新意識(shí)。他用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹立了一個(gè)典范。以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且有所發(fā)展。趙爽的這個(gè)證明可謂別具匠心，數(shù)形結(jié)合，極富創(chuàng)新意識(shí)。他用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹立了一個(gè)典范。以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且有所發(fā)展。

8、方法二：圖形拼接方法三：（圖六）方法四：劉徽“青朱出入圖”同一時(shí)代的數(shù)學(xué)家劉徽，也是沿用這種方法給出“青朱出入圖”，將青、朱兩塊移出，拼入，便很簡單地證明了勾股定理。方法五：總統(tǒng)證法美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德也證明過這個(gè)定理。總統(tǒng)為什么會(huì)想到去證明勾股定理呢？難道他是數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)愛好者？答案是否定的。事情的經(jīng)過是這樣的；在1876年一個(gè)周末的傍晚，在散步的時(shí)候，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神地談?wù)撝裁从捎诤闷嫘尿?qū)使伽菲爾德循聲向兩個(gè)小孩走去，問兩個(gè)小孩到底在干什么。只見一個(gè)小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個(gè)直角三角形，頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分

9、別為3和4，那么斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答到：“是5呀?！毙∧泻⒂謫柕溃骸叭绻麅蓷l直角邊分別為5和7，那么這個(gè)直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方?！毙∧泻⒂终f道：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時(shí)語塞，無法解釋了，心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步，一直有個(gè)問題困擾著很不舒服。不能被個(gè)小孩考到啊是吧。就立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。他是這樣分析的，如圖所示：（圖八）1876年4月1日，伽菲爾德在新英格蘭教育日志上發(fā)表了他對勾股定理的這一

10、證法。1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)?！弊C法。方法六：歐幾里得的方法 提示：畫垂直線構(gòu)造相似三角形。設(shè)ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點(diǎn)劃一直線至對邊，使其垂直于對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等。在定理的證明中，我們需要如下四個(gè)輔助定理：（1）如果兩個(gè)三角形有兩組對應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理）（2）三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。（3）任意一個(gè)正方形的面積等于其二邊長的乘積。（4）任意一個(gè)矩形的面積等于其二邊長的

11、乘積（據(jù)輔助定理3）。證明的思路為：把上方的兩個(gè)正方形，透過等高同底的三角形，以其面積關(guān)系，轉(zhuǎn)換成下方兩個(gè)同等面積的長方形。其證明如下：1.設(shè)ABC為一直角三角形，其直角為CAB。2.其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。3.畫出過點(diǎn)A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交于KL4.分別連接CF、AD，形成兩個(gè)三角形BCF、BDA。5.CAB和BAG都是直角，因此C、A和G都是共線的，同理可證B、A和H共線。6.CBD和FBA皆為直角，所以ABD等于FBC。7.因?yàn)锳B和BD分別等于FB和BC，所以ABD必須相等于FBC。8.因?yàn)锳與K和L在同一直線上，所以四方形BDLK必須二倍面積于ABD9.因?yàn)镃、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF必須二倍面積于FBC10.因此四邊形BDLK必須有相同的面積B