高一《三角形中邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化》教案

1、在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想教育廣東汕頭華僑中學(xué)林一平 郵編515041轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想是最重要的數(shù)學(xué)思想方法，幾乎所有的數(shù)學(xué)問題 都必須通過轉(zhuǎn)化為更簡單的或者我們所熟悉的數(shù)學(xué)問題加以解決所以我們 在日常教學(xué)中，必須堅持不懈、潛移默化地向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思 想教育，使學(xué)生能正確地分析數(shù)學(xué)問題和解決數(shù)學(xué)問題下面通過一個數(shù)學(xué) 課例，談?wù)勗诮虒W(xué)中如何滲透這種數(shù)學(xué)思想的教育.在高中解三角形一章書中，正、余弦定理是解三角形問題的基本定 理，也是三角形中邊角關(guān)系定理我在教完這兩個定理之后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行 歸納：正弦定理：一 =- = 2R （2R為也ABC外接圓直徑）sin A sin

2、B sin C變式：a=2RsinA, b=2Rsin B, c = 2RsinC.余弦定理：a2 二 b2 c2 - 2bccos A,2 2 2b =c a - 2ca cosB,c2 =a2 b2 -2abcosC.八 b2 +c2 _a2廠c2 +a2 _b2cos A, cos B =-2bc2ca,cosC =b22ab從上述可以看到，正、余弦定理是含有三角形的邊角關(guān)系的定理，但從 變式又可以得到，等式的兩邊各僅含有三角形的邊或角，從而應(yīng)用變式在解 三角形問題中進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，可以將隱蔽的條件明顯化，復(fù)雜的問題簡單化, 從而達(dá)到解決問題的目的.接著，我出示例題，對題目進(jìn)行分析、引導(dǎo)，

3、并與學(xué)生一起完成例題的 解答.例1 在 ABC中，若acosB二bcos代試判斷這個三角形的形狀.分析：由于給出的已知條件含有三角形的邊角關(guān)系，所以可以考慮應(yīng)用正、余弦定 理轉(zhuǎn)化為只含有邊或只含有角的關(guān)系，使隱蔽的條件明顯化.解法一 ：t acosB二bcos代由正弦定理，得2Rsi n AcosB =2Rs in B cos A,si n AcosB -cos As in B = 0. sjn（ A _ B） = 0A-B 二0.A 二B./ ABC是等腰三角形.解法二： acosB二bcosA,由余弦定理，得2 2,2 ,2 2 2c a -b b c -a ab2ca2bc.2 丄 2.

4、2-2 丄 22c22 c a - - b b c a, 2a 2b a二b.ABC是等腰三角形.變式1:在 ABC中，若 b ，試判斷這個三角形的形狀.cos A cos B”ab解：, acosB二bcosA顯然是例1的變形.cos A cos B變式2:在ABC中，若一ab,試判斷這個三角形的形狀.cos A cosB cosC解：由變式1易知A二B二C, .ABC是等邊三角形.例 2 在 ABC 中，a2 = b2 c2 bc, 2 3c,3.19，求厶ABC 的面積.分析：本題要求三角形的面積，而給出的條件是三邊關(guān)系，可以求出三條邊的長， 再求一個內(nèi)角，應(yīng)用三角形面積公式得解.但聯(lián)想

5、到余弦定理的形式，可以考慮直接從 已知條件轉(zhuǎn)化為求出一個角，使解題簡化.解：t a2 二 b2 c2 bc, b2 c2 -a2 - -bc .由余弦定理，得八 b2 +c2 _a2-bc 1cos A = 一2bc 2bc 22/ 0 ： A ：二， A .3b = 9, c = 6.27 32f 22又 a =3、19,由0 +c2 +bc = 171,.、2b = 3c,112S abcbcsin A 9 6 sin223 ABC的面積為 血3 .2問：如果角A不是特殊角，本題應(yīng)該如何解？ 答：可以應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系求出sin A的值.問：若將條件a2 = b2 c2 be改為a b

6、c a-b-c二-be應(yīng)該如何求解? 答：由 abca-b-c= -be，可得 a 亠b e Ha -cl- -be,a2 -(b c)2 - -be. a2 -b2 -2bc-c2 二-be./. a2 = b2 c2 be.改變后的條件與原條件等價.例3在ABC中，tan2c - b ,求a的值.tanB b角的關(guān)系.解:分析：本題要求 A的值，而給出的條件是三角形的邊角關(guān)系，可以考慮轉(zhuǎn)化為只含有.tan A _ V2c b . si nA cos B _ V2 s in C si n B , tanB bcos A si nBsi nB sin AcosB = .、2sin CcosA-

7、cosAsin B. sin AcosB cosAsin B 二 2sinCcosA. sin (A B) = 2si n CcosA ./ sin (A B)二 si n(二-C)二 s in C, sinC 二 2sinCcosA.又.0 ： C ；：*, sin C = 0 . cos A = 2算 而 0 ： A ：二， A 為所求.4評注：本題若將已知條件轉(zhuǎn)化為只含有邊的關(guān)系，則轉(zhuǎn)化后的式子太繁，又與所求不合，所以做數(shù)學(xué)題要審時度勢.例4 在 ABC中，a cos2 C ceos2 = ，求證：a、b、c成等差數(shù)列.2 2 2分析：本題即證2b = a c,而已知條件給出三角形的邊角

8、關(guān)系，可以考慮轉(zhuǎn)化為只含有邊的關(guān)系.(1 cosC) -c(1 cosA)23b2證明： acos2C ccos2A.?b，2 2 2由余弦定理，得2 .2 21aa a b -C1c2 +b2 _a2、3b2ab.丄a2 +b2 -c2丄丄a2b22ba c 竺=3b .2b a、b、c成等差數(shù)列.評注：注意到 2b = a c應(yīng)用正弦定理可以等價轉(zhuǎn)化為2 sin B = sin A - sin C,所以本題也可以將已知條件轉(zhuǎn)化為只含角的關(guān)系得以證明.留給學(xué)生作練習(xí).通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，向?qū)W生指出三角形中邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，能使隱蔽 的問題明顯化，復(fù)雜的問題簡單化.實質(zhì)上，一般的數(shù)學(xué)問題，幾乎都要經(jīng) 過轉(zhuǎn)化才能得以解決，從這個意義上講，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法是最重 要的數(shù)學(xué)思想方法，所以我們要認(rèn)真領(lǐng)會、掌握、應(yīng)用這種數(shù)學(xué)思想方法， 并通過觀察、聯(lián)想、等價轉(zhuǎn)化這三個環(huán)節(jié)去解決數(shù)學(xué)問題.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)思維的基本方法.數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容始終反映著數(shù)學(xué)基 礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)思想方法這兩個方面，沒有脫離數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)思想方法，也 沒有不包含數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識.而在數(shù)學(xué)課上，由于能力、心理發(fā)展 的限制，學(xué)生往往只注意了數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，而忽視了聯(lián)結(jié)這些知識的線索, 以及由此產(chǎn)生的解決問題的方法與策略.所以，我們在教學(xué)