立體幾何專題一：空間角第一節(jié)：異面直線所成的角（2課時）

1、立體幾何專題一：空間角第一節(jié)：異面直線所成的角（2課時）一、基礎知識1.定義： 直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間一交o，分別a/a，b/b，相交直線ab所成的銳角（或直角）叫做 。2.范圍： 3.方法： 平移法、問量法、三線角公式（1）平移法：在圖中選一個恰當?shù)狞c（通常是線段端點或中點）作a、b的平行線，構造一個三角形，并解三角形求角。（2）向量法：可適當選取異面直線上的方向向量，利用公式 求出來方法1：利用向量計算。選取一組基向量，分別算出 ，代入上式方法2：利用向量坐標計算，建系，確定直線上某兩點坐標進而求出方向向量 （3）三線角公式 用于求線面角和線線角斜線和平面內(nèi)的直線與斜線的射影所成角

2、的余弦之積等于斜線和平面內(nèi)的直線所成角的余弦 即： 二、例題講練例1、（2007年全國高考）如圖，正四棱柱中， ，則異面直線與所成角的余弦值為 例2、在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=，BC=,AA1=c，求異面直線D1B和AC所成的角的余弦值。方法一：過B點作 AC的平行線（補形平移法）方法二：過AC的中點作BD1平行線方法三：（向量法）例3、 已知四棱錐的底面為直角梯形，底面，且，是的中點 （）證明：面面；（）求與所成的角；證明：以為坐標原點長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則各點坐標為 （）證明：因由題設知，且與是平面內(nèi)的兩條相交直線，由此得面 又在面上，故面面 （）解

3、：因例4、 如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側棱底面， 為的中點 求直線與所成角的余弦值；解：（）建立如圖所示的空間直角坐標系，則的坐標為、，從而設的夾角為，則與所成角的余弦值為 訓練題1、P219 T12 P234 三基能力強化 T11.正方體的12條棱和12條 面對角線中，互相異面的兩條線成的角大小構成的集合是 。2.正方體中，O是底面ABCD的中心，則OA1和BD1所成角的大小為 。3.已知為異面直線a與b的公垂線，點，若a、b間距離為2，點P到的距離為2，P到b的距離為 ，則異面直線a與b所成的角為 。4.如圖正三棱柱ABC-A1B1C1中AB=AA1，M、N分別是A1B1，A1C1的中

4、點，則AM與CN所成角為 。5.如圖PD平面ABCD,四邊形ABCD為矩形，AB=2AD=2DP，E為CD中點。（1）與BE所成的角為 （2）若直線PD，且AF與BE所成角為1. =30行嗎？2. =75時；= 。6.空間四邊形ABCD中，對角線AC，BD與各邊長均為1，O為的重心，M是AC的中點，E是 AO的中點，求異面直線OM與BE所成的角 。7.空間四邊形ABCD中AB=BC=CD，BCD=ABC=120，ABCD，M、N分別是中點（1）AC和BD所成的角為。（2）MN與BC所成的角為。8.已知正方體AC1中，（1）E、F分別是A1D1，A1C1的中點，則AE與CF所成的角為（2）M、N

5、分別是AA1，BB1的中點，則CM和D1N所成的角是。9、如圖，三棱錐PABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點，且CD平面PAB (I) 求證：AB平面PCB； (II) 求異面直線AP與BC所成角的大?。唬ǎ?解法一：(I) PC平面ABC，平面ABC，PCABCD平面PAB，平面PAB，CDAB又，AB平面PCB (II) 過點A作AF/BC，且AF=BC，連結PF，CF則為異面直線PA與BC所成的角由（）可得ABBC，CFAF由三垂線定理，得PFAF則AF=CF=，PF=，在中， tanPAF=，異面直線PA與BC所成的角為解法二：(II) 由(I) AB

6、平面PCB，PC=AC=2，又AB=BC，可求得BC=以B為原點，如圖建立坐標系則（，），（0，0，0），C（，0），P（，2）， 則+0+0=2 = 異面直線AP與BC所成的角為第二節(jié)、直線和平面所成的角 （2課時）一、基礎知識1.定義： （斜線和平面所成的角垂線與平面所成的角）2.直線與平面所成角范圍是。3.斜線與平面所成的角是此斜線與平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角。（最小值定理）4. 求法： 幾何法公式法問量法（1）幾何法：作出斜線與射影所成的角，論證所作（或所找）的角就是要滶的角，解三角形求出此角。（2）公式法：（即：與斜線射影所成的兩角的余弦的積等于斜線和平面內(nèi)的直線所成角的余弦值）

7、（3）向量法：設直線與平面所成角為，直線的方向向量與面的法向量分別是, 則的余角或其補角的余角即為與所成的角，二、例題講解例1、在長方體AC1中，AB=2，BC=CC1=1，求（1）CD與面ABC1D1所成的角（2）A1C與平面ABC1D1所成的角（3）A1C與平面BC1D所成的角例2、四面體ABCD中，所有棱長都相等，M為AD的中點，求CM與平面BCD所成角的余弦值。例3、（P236例2）（2007高考全國卷1）四棱錐中，底面為平行四邊形，側面底面已知，（）證明；（）求直線與平面所成角的大小例4、如圖,是互相垂直的異面直線，M、N分別在上，且MN，MN，點AB在上，C在上，AM=MB=MN。

8、（1）證明：AC NB（2）若ABC=60，求NB與平面ABC所成角的余弦值。()訓練題1、三基能力強化 T32、P239 T7 (利用公式求解)3、P239 T3（2008年高考全國卷1）已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為三角形ABC的中心，則AB1與底面ABC所成的角的正弦值等于 4、P240 T10AEB1D1DC1A1BC（2008上海高考）如圖，在棱長為2的正方體中，是的中點。求直線與平面所成角的大?。ńY果用反三角函數(shù)值表示）.5.過點P作平面的兩條斜線段PA和PB，則PA=PB是斜線PA和PB與平面成等角的 條件。6.如圖所示，BOC在

9、平面內(nèi)，OA是的斜線，AOB=AOC=60，OA=OB=OC=a，BC=a，求OA和平面所成的角的大小。7.如圖，已知正方形ABCD，SA現(xiàn)面ABCD，且SA=AB，M、N分別為SB、SD的中點，求SC和平面AMN所成的角第6題圖第7題圖8.給出下列命題，其中正確命題序號是。（1）若PA、PB、PC與平面成等角，則迠P在平面上的射影O是ABC的外心（2）已知直線上與平面所成角是，直線a是內(nèi)與異面的任一直線，則與平面 所成角范圍是(3)在三棱錐P-ABC中，若二面角P-AB-C，P-BC-A，P-CA-B，大小相等，則點P在平面ABC上射影O是ABC內(nèi)心。（4）坡度為的斜坡，有一條與坡腳水平線成

10、30的小道，若沿小道每前進100m，高度就上升25m,那么此坡坡度為30。BVADC9、（2007湖北高考）如圖，在三棱錐中，底面，是 的中點，且，（I）求證：平面；（II）試確定的值，使得直線與平面所成的角為。（）當解變化時，求直線與平面所成的角的取值范圍 第三節(jié) 平面與平面所成的角一、基礎知識1.定義：二面角:由一條直線出發(fā)的 所組成的圖形叫做二面角平面角：過棱上同一點分別位于二面角的兩個面內(nèi)，且與棱同時垂直的兩條射線所成的角叫做二面角的平面角，二面角的取值范圍是 .注:二面角是空間圖形，平面角是平面圖形。在書寫時不要寫成”AOB為所求二面角”，而應寫成”AOB為二面角的平面角”。2.求法

11、：幾何法 向量法 公式法（1）幾何法：作出二面角的平面角，再求解，常見的有作 法圖 形定義法在棱CD上找一點O，在兩個面內(nèi)分別作棱的垂線AO,BOAOB為二面角的平面角垂面法過棱上一點O作棱的垂直平面與兩個半平面的交線分別為AOBOAOB為的平面角三垂線法過B內(nèi)一點A，作AB交于B，作BOCD于O，連結AO,AOB的平面角或其補角（2）向量法：分別求出和的法向量，則二面角的大小為或 用此法須知：1需建空間直角坐標系，定準相應點的坐標2通常容易找到一個面的法向量，只需通過二次垂直，求另一個平面的法向量3當為銳角時 （為銳角）或 （為鈍角）在平面內(nèi) 在平面內(nèi)，BDEF，且BEF分別求出，則即為二面

12、角的大小（3）公式法：設二面角的大小為令則注意：與所成的角一定與二面角的平面角大小相等，但不一定是異面直線BA和CD所成角的大小。 面積法： 設二面角的平面內(nèi)某一圖形（一般取三角形）面積為S，該圖形在平面上射影面積為，二面角的大小為，則 二、例題講練ABCDA1B1C1D1FMOE例1、如圖，已知棱柱的底面是菱形，且面，為棱的中點，為線段的中點，（1）求證：面；（2）求面與面所成二面角的大?。?）證明：底面是菱形， 又面，面 ，面 又面 （2）延長、交于點 是的中點且是菱形又 由三垂線定理可知 為所求角 在菱形中， 例2、如圖，直二面角DABE中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，

13、F為CE上的點，且BF平面ACE。（1）求證：AE平面BCE；（2）求二面角BACE的大??；解：（1）如圖， BF平面ACE BFAE又 二面角DABE為直二面角，且CBAB CB平面ABE CBAE AE平面BCE（2）連BD交AC于G，連FG 正方形ABCD邊長為2 BGAC， BF平面ACE 由三垂線定理逆定理得FGAC BGF是二面角BACE的平面角由（1）AE平面BCE AEEB又 AE=EB 在等腰直角三角形AEB中，又 RtBCE中，QONPEDCBAAMA 在RtBFG中， 二面角BACE等于例3、如圖所示的幾何體中,平面， ,，是的中點.()求證:;()求二面角的余弦值.解法

14、一:()證明:取的中點,連接,則,故四點共面，平面，. 又 由，平面 ; ()取的中點,連,則平面過作,連,則是二面角的平面角. 設, 與的交點為,記 ,則有, 又在中,即二面角的余弦值為. zyxEDCBAAMA解法二: 分別以直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，所以. ()證:,即.()解:設平面的法向量為, ，由,得取得平面的一非零法向量為 又平面BDA的法向量為 ，二面角的余弦值為. 例4、 已知四棱錐的底面為直角梯形，底面，且，是的中點 （）證明：面面；（）求面與面所成二面角的大小 證明：以為坐標原點長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則 各點坐標為 （）證明：

15、因由題設知，且與是平面內(nèi)的兩條相交直線，由此得面 又在面上，故面面 （）解：在上取一點，則存在使要使 所求二面角的平面角 例5、如圖，三棱錐PABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點，且CD平面PAB (I) 求證：AB平面PCB； (II) 求二面角C-PA-B的大小解法一：(I) PC平面ABC，平面ABC，PCABCD平面PAB，平面PAB，CDAB又，AB平面PCB (II) 取AP的中點E，連結CE、DEPC=AC=2，CE PA，CE=CD平面PAB，由三垂線定理的逆定理，得 DE PA為二面角C-PA-B的平面角由(I) AB平面PCB，又AB=BC

16、，可求得BC=在中，PB=， 在中， sinCED=二面角C-PA-B的大小為arcsin解法二：（I）同解法一(II) 設平面PAB的法向量為m= (x，y，z)，則 即解得 令= -1, 得 m= (，0，-1) 設平面PAC的法向量為n=()， 則 即解得 令=1, 得 n= (1，1，0) = 二面角C-PA-B的大小為arccos訓練題1.如圖：三棱錐A-BCD中，AC=AB=BD=DA=2，BC=CD=，則二面角A-BD-C大小為 。二面角B-AC-D大小為 2.已知，所成角為，與所成角為2，大小為3則恒成立的是（ ）A. B. C. D. 3.如圖，四邊形BCEF、AFED都是矩

17、形，且平面AFED平面BCEF，則下列結論中正確的是ABCD3.如圖，四棱錐P-ABCD中所有的棱長都相等。求：二面角C-PD-B大小設M、N分別為AD、PC中點，試求MN與底面AC及平面BDP所成的角平面PAB與平面PCD所成二面角的大小4. 如圖，四邊形ABCD為直角梯形，AD/BC BAD=90，PA底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分別為PC、PB的中點求證：PBDM求BD與平面ADMN所成角的大小求二面角A-PB-C5.如圖所示多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截而得到的，其中AB=4，BC=2，C C1=3，BE=1 （補形成正方體）求BF求二面角A-

18、EF-B6.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E在棱CC1上求證：AEBD當A1E與面BED所成角為多大時，面A1BD面EBD在（2）的結論下，求此時二面角A-A1D-E的大小8.如圖，在棱長AB=AD=2，AA1=3的長方體AC1中點E是平面BCC1B1上動點，點F是CD的中點試確定E的位置，使D1E平面AB1F求二面角B1-AF-B的大小9、 如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側面是正三角形,平面底面 （）證明：平面； （）求面與面所成的二面角的大小 證明：以為坐標原點，建立如圖所示的坐標圖系 （）證明：不防設作，則， ， 由得，又，因而與平面內(nèi)兩條相交直線，都垂直 平面 （）解

19、：設為中點，則，由因此，是所求二面角的平面角，解得所求二面角的大小為ABCDP10、（2008年高考天津卷）如圖，在四棱錐中，底面是矩形已知，（）證明平面；（）求異面直線與所成的角的大??；（）求二面角的大小11、（2008高考山東卷）如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，,E，F(xiàn)分別是BC, PC的中點.（）證明：AEPD; （）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角EAFC的余弦值.（）證明：由四邊形ABCD為菱形，ABC=60，可得ABC為正三角形.因為E為BC的中點，所以AEBC. 又 BCAD，因此AEAD.因為PA平面ABCD，AE平面ABC