廣州等七地2019年中考壓軸題解析匯編

1、數(shù)學(xué)試卷廣州等七地2019年中考壓軸題解析匯編【2019 廣州 24題】已知AB是O O的直徑，AB=4，點C在線段AB的延長線上運(yùn)動， 點D在O O上運(yùn)動(不與點 B重合)，連接CD，且CD=OA.(1) 當(dāng)OC=2.,2時，求證：CD是O O的切線；(2) 當(dāng)OC 2 2時，CD所在直線于O O相交，設(shè)另一交點為 E，連接AE. 當(dāng)D為CE中點時，求 ACE的周長； 連接OD，是否存在四邊形 AODE為梯形？若存在，請說明梯形個數(shù)并求此時 AE ED 的值；若不存在，請說明理由。解：(1)連接OD。/ AB是O O的直徑，AB=4 OA=OB=OD=2 OD2=4/ OA=CD - CD=

2、2- CD2=4/ OC=2.2OC2=8 oc2=od2+cd2 ODC是直角三角形，且/ ODC=90 OD 丄 CD CD是O O的切線(2)連接OE、OD。/ D為CE的中點 DE=CD/ CD=OA=2 , OA=OD=OE DE=OD=OE=2 ODE是等邊三角形DOE= / ODE=60/ CD=OD=2DOC= / OCD/ ODE= / DOC+ / OCD=60/ DOC= / OCD=30過點D作DF丄OC于FOF=CF=OD cos/ DOC=2 X OC=OF+CF=2 .3/ DOC=30 , / DOE=60AOE=90 ACE 的周長=AE+DE+CD+OC+O

3、A=22+2+2+2 , 3 +2 =22 +2 J3 +6存在四邊形AODE為梯形。存在兩個這樣的梯形,由題意知，當(dāng)OD/ AE時，四邊形AODE為梯形。由對稱性知,即在AC的上下方各一個。/ OD / AEDOC= / EAO/ ODC、 AOE是等腰三角形又 0A=0E=0D=CD=2 ODC AOE OC=AE設(shè) OC=AE= m(m 2 2)，貝U AC= m+2/ OD / AEODAEOCAC，即 m2- 2m- 4=0m 2解得m= .5 1或-1（舍去） AE= .51/ DOC= / EAO= / OCD CE=AE ED=CE-CD=AE -CD=、51-2=、, 5 -

4、1 AE ED=( i 5 1)( i 5 -1)=4【2019 廣州 25題】已知拋物線yi=ax2 bx c(a = 0, a = c)過點A(i,o)，頂點為B，且拋物線不經(jīng)過第三象限。(1) 使用a、c表示b;(2) 判斷點B所在象限，并說明理由；c(3) 若直線y2=2x+m經(jīng)過點B，且于該拋物線交于另一點C( ,b 8)，求當(dāng)x 1時yia的取值范圍。解：(1)T拋物線過點 A ( 1, 0) a+b+c =0-b=-a-c(2) 點B在第四象限。理由如下：當(dāng) y1=0 時，ax +bx+c=0由韋達(dá)定理得，X1 x2=a/c x1 x2m 1拋物線過點A (1 , 0) 1是方程

5、的根，令冷=1- x2m 1拋物線與x軸有兩個交點拋物線不經(jīng)過第三象限拋物線開口向上，即a 0頂點B在第四象限c(3) 點C( ,b 8)在拋物線上ac 2c b+8=a ( ) +b +caa2c c=(_a -c) ca a2 2ccc= c c = 0 aa b=-8 a+c=8c點C( ,b 8)在直線y2= 2x+m上 a _ 2c-m=- a4即 B (-,aC ）,且在直線y2上 a二 c -16 = 8 - 2ca a a頂點B的坐標(biāo)為（-B ,2a由解方程組得:a =4la = 2或c =4lc = 64ac -b24a/c a=2, c=6拋物線的解析式為 yi=2x2-8

6、x+6易知A（ 1，0）和C（ 3，0）是拋物線與x軸的交點，頂點B坐標(biāo)為（2，-2）拋物線開口向上 當(dāng)x 1時，yi的取值范圍為y&-2【20佃福州 21題】如圖，等腰梯形 ABCD中，AD II BC,/ B=45 , P是BC邊上一點,1 PAD的面積為，設(shè)AB= X，AD= y2(1 )求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2) 若/ APD=45，當(dāng) y =1 時，求 PB?PC 的值；(3) 若/ APD=90，求y的最小值。解：(1)過點A作AE丄BC于E。/ B=45 , AB= x AE=ABsin / B=.2X2 AD=y,Sa APD = c 11 恵 1 - Saapd= _ AD

7、 AE= _ y x = _2 2 2 2 y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y= 一x(2)/ APD=45/ APB+ / DPC=135/ B=45 , AD II BC/ BAD=180 - / B=135/ BAP+ / PAD=135/ AD II BC/ PAD= / APB/ BAP+ / APB=135/ BAP= / DPC四邊形ABCD是等腰梯形/ B= / C, AB=CD ABP sA PCDPB AB 剛，即 PB PC=AB CDCD PC/ y=1 x= . 2 AB=CD= PB PC=2 2 =2PFC(3)取AD的中點F,連接FP,過點P作PH丄AD于H，貝U PF

8、PH。當(dāng)PF=PH時，PF有最小值/ APD=90 ，點F為AD的中點1 1PF= AD= y2 2/ PH=AE=1 - 2當(dāng)一y= x時，PF有最小值，即y有最小值2 2/ y=丄，即x=三x y 1 近血得宀 y= ，得 y =222 y/ y 0 y2, 即y的最小值為2【2019 福州 22題】我們知道，經(jīng)過原點的拋物線的解析式可以是yi=ax2+bx（a工0）（1）對于這樣的拋物線：當(dāng)頂點坐標(biāo)為（1，1）時，a=;當(dāng)頂點坐標(biāo)為（m, m）, m0時，a與m之間的關(guān)系式是（2） 繼續(xù)探究，如果b豐0,且過原點的拋物線頂點在直線y=kx（kz 0）上，請用含k的代 數(shù)式表示b;（3）

9、現(xiàn)有一組過原點的拋物線，頂點 Ai, A2,，An在直線y=x上，橫坐標(biāo)依次為1, 2,，n（n為正整數(shù)，且n 12）,分別過每個頂點作 x軸的垂線，垂足記為 B1, B2,， Bn,以線段AnBn為邊向右作正方形 A nBnCnDn ,若這組拋物線中有一條經(jīng)過 Dn,求所有滿 足條件的正方形邊長。解：（1）當(dāng)頂點為（1 , 1 ）時，貝U有-=1, a+b =12aa=-1當(dāng)頂點為（m, m）時，則有- -=m, am2+bm=m2a消去b后即得：am+仁0bb2（2）由拋物線頂點坐標(biāo)公式可得，過原點的拋物線的頂點坐標(biāo)為（,-一）2a4a頂點在直線 y=kx（kz 0）上.kb b2= 2a

10、 4aa工 0, b 工 0 b=2k（3）T頂點An在直線y=x上由可知，b=2拋物線解析式為y=ax2+2x由題意可設(shè)，An坐標(biāo)為（n, n）,并設(shè)點Dn所在的那條拋物線的頂點坐標(biāo)為（m, m）1由（1）可知，a=-m1 2這條拋物線的解析式為y=- x2+2xmT四邊形A nBnCnDn是正方形，AnBn丄X軸，且CnDn在AnBn右側(cè)點Dn的坐標(biāo)為（2n, n）1 2二 n= （2n） +2X 2nm得 4n=3m/ m、n都是正整數(shù)，且 mW 12, n c2時， ABC為銳角三角形當(dāng)a2+b2 c c 6/ b- a2 2 c 6/ a=2， b=42 2- a +b =20當(dāng)c2

11、=20時，a2+b2=c2， ABC是直角三角形，此時，c=2 5當(dāng)c2 c2， ABC是銳角三角形，此時，0 c 2、雖則c的取值范圍為2 c 20時，a2+b2v， ABC是鈍角三角形，此時，c 2、5則c的取值范圍為2、. 5 v cv 6【2019 貴陽 25題】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一條直線I: y=-3 x+4與x軸、3軸分別交于點 M、N, 個高為3的等邊三角形 ABC，邊BC在x軸上，將此三角形沿著 x 軸的正方向平移。（1） 在平移過程中，得到，此時頂點 A!恰好落在直線I上，寫出 A!點的坐標(biāo)；（2） 繼續(xù)向右平移，得到 A2B2C2，此時它的外心P恰好落在直線I上，

12、求P點的坐標(biāo)；（3） 在直線I上是否存在這樣的點，與（2）中的A2、B2、C2任意兩點能同時構(gòu)成三個等腰 三角形。如果存在，求出點的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由。解：（1）過Ai作x軸的垂線，垂足為 D。貝U A1D=A 1B1x sin60 3 x、3 _2=2 點A1恰好落在直線I上當(dāng) y=3i時，31=1 x+4，得 x=4、3-92232 A1點的坐標(biāo)為（4 .3- 9 , 込）2 2（2）過A2作x軸的垂線，垂足為 E;過點B2作A2C2的垂線，垂足為F。由等邊三角形性 質(zhì)可知，A2E與B2F的交點就是 A2B2C2的外心P。1 3/ B2E= B2C2=，/ PB2E=302 2-

13、PE=B2E tan30 =色2點P恰好落在直線I上當(dāng)時，邁=-邁x+4，得 x=4:2232 p點的坐標(biāo)為（3 -,邁）22（3）存在滿足題述條件的點。由直線 I 得，OM=4 .3 , ON=4，易得/ OMN=30在的條件下，點C2與點M重合點P是厶A2B2C2的外心，且在直線 I上 PA2=PB2=PC2點 P （4 .3-3，山 ）是滿足條件的點2 2以A2B2為邊，在 A2B2C2的另一側(cè)作等邊厶 A2B2Q1，因為直線I丄A2B2,所以點 Qi在直線I上，顯然點Qi是滿足條件的點。過點Qi作QiHi丄x軸于Hi,易得QiHi=3-3，由知，點Qi與點Ai重合，坐標(biāo)為2以C2為圓心

14、，3為半徑畫圓,過點Q?作Q2H2丄x軸于H2,過點Q3作Q3H3丄x軸于 出,與直線I交于Q2、Q3,顯然點Q2、Q3是滿足條件的點。易得 Q2H2=- , C2H2= S3 , Q2 的坐標(biāo)為（lh3 , - 3 ）2 2 2 2易得 Q3H3=3 , C2H3= , Q3 的坐標(biāo)為（5 3 ,-）2 2 2 2故,滿足條件的點的坐標(biāo)為（4.3-92並）、（4靈23（一2-I）、5.3（一2【20佃昆明 22題】已知：如圖，AC是O O的直徑，BC是O O的弦，點P是O O外一 點，/ PBA= / C。(1) 求證：PB是O O的切線；(2) 若 OP/ BC,且 0P=8, BC=2，

15、求O O 的半徑。解：(1)連接OB。/ AC是O O的直徑/ ABC=90/ OBA+ / OBC=90/ OB=OC/ OBC= / C/ OBA+ / C=90/ PBA= / C/ PBA+ / OBA=90/ OBP=90 OB 丄 PB PB是O O的切線(2 )令OP與AB交于點D/ OP / BC, OA=OC , BC=21 AD=BD , OD= BC=12/ OP=8 PD=OP-OD=7/ ABC=90 ，即 AB 丄 BC，且 OP / BC BD 丄 OP/ OBP=90- BD2=OD PD(射影定理) AD=BD= . OD PD =、7- OA= . OD2

16、AD SV? -2.2 O O的半徑為2 2【20佃昆明 23題】如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點A在x的正半軸上， 點C在y軸的正半軸上，OA=4，OC=3，若拋物線的頂點在 BC邊上，且拋物線經(jīng)過 O、A 兩點，直線AC交拋物線于點 D。（1）求拋物線的解析式；（2）求點D的坐標(biāo)；（3） 若點M在拋物線上，點 N在x軸上，是否存在以 A、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點 N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。解：（1）由題意得，A（ 4，0）, C（ 0，3），B（ 4，3）拋物線經(jīng)過 O、A兩點可設(shè)拋物線的解析式為y=ax（x- 4）拋物線的頂點在 BC邊上

17、由拋物線和矩形的對稱性可知，頂點E為BC的中點，點E坐標(biāo)為（2, 3）3將點E坐標(biāo)代入解析式可求得a=- 34拋物線的解析式為 y=- - x2+3x4（2）設(shè)直線AC的解析為y=kx+b，貝U丄 4k b = 03/解得 k=- , b=3b =343直線AC的解析式為y=- - x+34y = -x 34貝y,解方程組43 2 y x 3xL 4x =1x = 4得：9 或/（此為點A）y =.y =o-4點D坐標(biāo)為（1 , 9 ）4（3）存在。過點D作DM / x軸交拋物線于 M,在x軸上取AN=DM，則四邊形ANMD是平行四邊形易得 DM=2，貝U AN=2當(dāng)點N在點A右側(cè)時，點 N坐

18、標(biāo)為（6, 0）當(dāng)點N在點A左側(cè)時，點N坐標(biāo)為（2, 0）向左平移AC,與x軸交于點N3,與拋物線交于點 M ,當(dāng)M N3=AD時，四邊形 ADN 3M是平行四邊形。過點D作DH丄x軸于H，過點 M作M K丄x軸于K，易證得厶AHD N3KM M K=DH= 9 , N3K=AH=34點M在x軸下方9點M的縱坐標(biāo)為-一4由-3 x2+3x =-得 x=2+ . 7 或 2- r74 4當(dāng) x=2+“ 時，M N3* AD，故舍去點M的坐標(biāo)為（2- , 7 ,-）4點K的坐標(biāo)為（2- .,7 , 0）T N3K=3點N3的坐標(biāo)為(-1- ,7 , 0)綜上所述，存在以A、D、M、N為頂點的四邊形

19、是平行四邊形，點N的坐標(biāo)為（-1- .7 ,0）或（2, 0）或（6, 0）數(shù)學(xué)試卷【2019 南寧 25題】如圖，在 ABC中，/ BAC=90 , AB=AC , AB是O O的直徑，OO交BC于點D, DE丄AC于點E, BE交O O于點F,連接AF , AF的延長線交O O于點P。(1) 求證：DE是O O的切線；(2) 求 tan/ ABE 的值；(3) 若OA=2，求線段AP的長。解：(1)連接 AD , OD。/ AB是O O的直徑/ ADB=90 AD 丄 BC/ BAC=90 , AB=AC ABC是等腰直角三角形點D是BC的中點/ DE 丄 AC , BA 丄 AC DE

20、/ BA點E是AC的中點1- DE= AB=OA2/ DE / OA四邊形AODE是平行四邊形/ OAE=90 , OA=OD四邊形AODE是正方形 OD 丄 DE DE是O O的切線(2)四邊形AODE是正方形 AE=OA= -AB2 tan / ABE=AEAB 2(3 ) AB是O O的直徑 / AFB=90 / ABE+ / FAB=90 / FAB+ / PAE= / BAC=90 / PAE= / ABE1 tan / PAE=tan/ ABE=PE/ tan / PAE= LE，且 AE=OA=2AE PE=1 AP=、AE2 PE2【20佃南寧 26題】如圖，拋物線 尸ax2+

21、c(a0)經(jīng)過C (2, 0), D (0,-1)兩點，并 與直線y=kx交于A、B兩點。直線I過點E (0, -2)且平行與x軸，過A、B兩點分別作 直線I的垂線，垂足分別為點 M、N。(1) 求此拋物線的解析式；(2) 求證：AO=AM ；1 1(3) 探究： 當(dāng)k=0時，直線y=kx與x軸重合，求出此時的值；AM BN 試說明無論k取何值，丄 的值都等于同一個常數(shù)。AM BN解：(1)v拋物線過 C (2, 0), D (0, -1)兩點丄 4a c = 01二解得 a= , c=-1C = -141 2拋物線的解析式為 y= - x2-141 2(2)設(shè)點A坐標(biāo)為(m , - m2-1

22、)，貝U4OA2=m2+( m2-1)2= m4+ m2+14162由題意得，AM= 1 m2-1+2= m2+1442 . 1221412.AM =( m +1) = m + m+141622 2- OA =AM OA=AM1 2(3由 y= x -1=0 得 x=- 2 或 24當(dāng) k=0 時，A (-2, 0) , B (2, 0) AM=2 , BN=2111 1= =1AMBN 2 2122由一x-仁kx 得，x - 4kx-4=04設(shè)A的坐標(biāo)為(m, km), B的坐標(biāo)為(n, kn)由韋達(dá)定理得， m+n=4k , mn=-4由題意得,AM= km+2 , BN= kn+21 1

23、 1 1=AM BN km 2 kn 2k(m n) 4(km 2)(k n 2)_ k(m+ n)+4=2k mn 2k(m n) 424k 4=_4k2 8k2 44k24= 2 4k 4.1AM無論=11=1，與k無關(guān)BN1 1k取何值，的值都等于同一個常數(shù)，此常數(shù)為1.AM BN數(shù)學(xué)試卷【20佃海南 23題】如圖1,點P是正方形 ABCD的邊CD上的一點(點 P與點C、D 不重合)，點E在BC的延長線上，且 CE=CP，連接BP、DE。(1) 求證： BCP DCE ;(2) 如圖2,直線EP交AD于點F,連接BF、FC,點G是FC與BP的交點。 當(dāng)CD=2PC時，求證：BP丄CF;

24、當(dāng)CD=n PC ( n是大于1的實數(shù))時，記 BPF的面積為 , DPE的面積為S2, 求證：Si=( n+1)S2.解：(1)v ABCD是正方形 BC=DC，/ BCP= / DCE=90/ CE=CP BCP DCE ( SAS)(2) / CD=2PC P是CD的中點 PD=PC/ PDF= / PCE=90，/ FPD= / EPC PDF也厶 PCE DF=CE DF=CP/ BC=CD，/ BCP= / CDF=90 BCP 也厶 CDF / PBC= / FCD/ PBC+ / BPC=90 / FCD+ / BPC=90 / CGP=90 BP 丄 CE 因為CD=n PC

25、,不妨設(shè) PC=m則 CE=m, CD=AD=AB=nm , DP=(n-1)mSdpe= DP CE2o 1 1S2= (n- 1)m m= (n- 1)m2 2/ CP=CE PCE是等腰直角三角形 / FPD= / CPE=45 PDF是等腰直角三角形2數(shù)學(xué)試卷DF=DP=(n - 1)m c11:-pdf= DF DP= (n-1)2 2/ AF=AD - DF=nm-(n-1)m=m1 2 m= nm2o 1 1 Saabf= AB AF= nm 2 21 -S 梯形 ABPD = (AB+DP) AD21= nm+(n - 1)m nm21 2 、 2=(2n - n) m2-S1= Sa BPF= S 梯形 ABPD - SaABF- SaPDF1222 12 2=(2n - n) m nm (n-1) m2 2 2=1 (n 2-1 ) m221=(n -1)( n+1) m2.S1=(n+1)S2AAFDE圖1圖2數(shù)學(xué)試卷【2019 海南 24題】如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點A （-3, 0）、B （-1, 0），與y軸交于點C （ 0， 3）,點P是該函數(shù)圖象上的動點；一次函數(shù)y=kx-4k（0）的圖象過點P交x軸于點Q。（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)點P的坐標(biāo)為（-4, m）時，求證：/ OPC= /