高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第七版

1、第二章,微積分學(xué)的創(chuàng)始人,德國數(shù)學(xué)家,Leibniz,微分學(xué),導(dǎo)數(shù),描述函數(shù)變化快慢,微分,描述函數(shù)變化程度,都是描述物質(zhì)運(yùn)動的工具,從微觀上研究函數(shù),導(dǎo)數(shù)與微分,導(dǎo)數(shù)思想最早由法國,數(shù)學(xué)家,Ferma,在研究,極值問題中提出,英國數(shù)學(xué)家,Newton,一、引例,二、導(dǎo)數(shù)的定義,三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,五、單側(cè)導(dǎo)數(shù),第一節(jié),機(jī)動,目錄,上頁,下頁,返回,結(jié)束,導(dǎo)數(shù)的概念,第二章,一,引例,1,變速直線運(yùn)動的速度,設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動位置的函數(shù)為,0,t,則,到,的平均速度為,v,0,t,f,t,f,0,t,t,而在,時(shí)刻的瞬時(shí)速度為,lim,0,t,t,v,0,t,f,t

2、,f,0,t,t,2,2,1,t,g,s,s,o,0,t,f,t,f,t,自由落體運(yùn)動,機(jī)動,目錄,上頁,下頁,返回,結(jié)束,x,y,o,x,f,y,C,2,曲線的切線斜率,曲線,N,T,0,x,M,在,M,點(diǎn)處的切線,x,割線,M N,的極限位置,M T,當(dāng),時(shí),割線,M N,的斜率,tan,0,x,f,x,f,0,x,x,切線,MT,的斜率,tan,lim,lim,0,x,x,k,0,x,f,x,f,0,x,x,機(jī)動,目錄,上頁,下頁,返回,結(jié)束,兩個(gè)問題的,共性,s,o,0,t,0,t,f,t,f,t,瞬時(shí)速度,切線斜率,x,y,o,x,f,y,C,N,T,0,x,M,x,所求量為函數(shù)增量

3、與自變量增量之比的極限,類似問題還有,加速度,角速度,線密度,電流強(qiáng)度,是速度增量與時(shí)間增量之比的極限,是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限,是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限,是電量增量與時(shí)間增量之比的極限,變,化,率,問,題,機(jī)動,目錄,上頁,下頁,返回,結(jié)束,二、導(dǎo)數(shù)的定義,定義,1,設(shè)函數(shù),在點(diǎn),0,lim,x,x,0,0,x,x,x,f,x,f,x,y,x,0,lim,0,x,f,x,f,y,0,x,x,x,存在,并稱此極限為,記作,0,x,x,y,0,x,f,d,d,0,x,x,x,y,0,d,d,x,x,x,x,f,即,0,x,x,y,0,x,f,x,y,x,0,lim,則稱函數(shù),若,的某

4、鄰域內(nèi)有定義,在點(diǎn),處,可導(dǎo),在點(diǎn),的,導(dǎo)數(shù),機(jī)動,目錄,上頁,下頁,返回,結(jié)束,運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù),t,f,s,s,o,0,t,0,t,f,t,f,t,在,時(shí)刻的瞬時(shí)速度,0,t,曲線,x,f,y,C,在,M,點(diǎn)處的切線斜率,x,y,o,x,f,y,C,N,T,0,x,M,x,0,t,f,0,x,f,說明,在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,邊際成本率,邊際勞動生產(chǎn)率和邊際稅率等從數(shù)學(xué)角度看就是導(dǎo)數(shù),機(jī)動,目錄,上頁,下頁,返回,結(jié)束,0,x,f,x,f,y,0,x,x,x,若上述極限不存在,在點(diǎn),不可導(dǎo),0,x,若,lim,0,x,y,x,也稱,在,若函數(shù)在開區(qū)間,I,內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函

5、數(shù),記作,y,x,f,d,d,x,y,d,d,x,x,f,注意,0,x,f,0,x,x,x,f,x,x,f,d,d,0,就說函數(shù),就稱函數(shù)在,I,內(nèi)可導(dǎo),的導(dǎo)數(shù)為無窮大,機(jī)動,目錄,上頁,下頁,返回,結(jié)束,例,1,求函數(shù),C,為常數(shù),的導(dǎo)數(shù),解,y,即,例,2,求函數(shù),解,a,x,a,f,x,f,a,x,lim,a,x,a,x,n,n,a,x,lim,lim,a,x,1,n,x,2,n,x,a,3,2,n,x,a,1,n,a,x,x,f,x,x,f,0,lim,x,機(jī)動,目錄,上頁,下頁,返回,結(jié)束,0,lim,h,f,x,h,f,x,f,x,h,y,f,x,x,對于一般冪函數(shù),1,0,1,1

6、,lim,h,h,x,x,h,x,g,0,lim,h,x,h,x,h,1,x,0,1,1,x,x,x,當(dāng),時(shí),對一般冪函數(shù),x,y,為常數(shù),1,x,x,例如,x,2,1,x,2,1,2,1,x,x,2,1,x,1,1,x,1,1,x,2,1,x,1,x,x,4,3,x,4,7,4,3,x,機(jī)動,目錄,上頁,下頁,返回,結(jié)束,h,x,h,x,h,sin,sin,lim,0,例,3,求函數(shù),的導(dǎo)數(shù),解,h,x,f,h,x,f,0,lim,h,0,lim,h,2,cos,2,h,x,2,cos,lim,0,h,x,h,x,cos,即,x,x,cos,sin,類似可證得,x,x,sin,cos,機(jī)動,

7、目錄,上頁,下頁,返回,結(jié)束,例,4,求函數(shù),的導(dǎo)數(shù),解,h,x,f,h,x,f,0,lim,h,0,lim,x,h,x,h,a,a,h,0,1,lim,h,x,h,a,a,h,即,ln,x,x,a,a,a,ln,x,a,a,機(jī)動,目錄,上頁,下頁,返回,結(jié)束,x,x,e,e,例,5,求函數(shù),的導(dǎo)數(shù),解,h,x,f,h,x,f,0,lim,h,0,log,log,lim,a,a,h,x,h,x,h,h,h,1,lim,0,即,1,log,ln,a,x,x,a,0,lim,h,h,1,x,1,x,0,lim,h,log,e,a,機(jī)動,目錄,上頁,下頁,返回,結(jié)束,x,x,1,ln,則,令,0,h

8、,x,t,原式,是否可按下述方法作,例,6,證明函數(shù),在,x,0,不可導(dǎo),證,h,f,h,f,0,0,h,h,0,h,1,0,h,1,h,f,h,f,h,0,0,lim,0,不存在,例,6,設(shè),存在,求極限,2,lim,0,0,0,h,h,x,f,h,x,f,h,解,原式,0,lim,h,0,x,f,h,h,x,f,2,0,0,x,f,2,1,0,x,f,2,1,0,x,f,0,x,f,2,0,h,h,0,x,f,機(jī)動,目錄,上頁,下頁,返回,結(jié)束,三,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,x,y,o,x,f,y,C,T,0,x,M,曲線,在點(diǎn),的切線斜率為,tan,0,x,f,若,曲線過,上升,若,曲線過,下降,

9、x,y,o,0,x,0,0,y,x,若,切線與,x,軸平行,稱為,駐點(diǎn),若,切線與,x,軸垂直,曲線在點(diǎn),處的,切線方程,法線方程,0,0,x,f,x,y,o,0,x,機(jī)動,目錄,上頁,下頁,返回,結(jié)束,1,1,1,1,例,7,問曲線,哪一點(diǎn)有垂直切線,哪一點(diǎn)處,的切線與直線,平行,寫出其切線方程,解,3,2,3,1,x,0,x,y,令,3,1,1,3,1,3,2,x,得,1,x,對應(yīng),1,y,則在點(diǎn),1,1) ,1,1,處與直線,平行的切線方程分別為,即,故在原點(diǎn),0 , 0,有垂直切線,機(jī)動,目錄,上頁,下頁,返回,結(jié)束,四,函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,定理,1,證,設(shè),在點(diǎn),x,處可導(dǎo),

10、存在,因此必有,其中,故,0,x,所以函數(shù),在點(diǎn),x,連續(xù),注意,函數(shù)在點(diǎn),x,連續(xù)未必可導(dǎo),反例,x,y,o,x,y,在,x,0,處連續(xù),但不可導(dǎo),即,機(jī)動,目錄,上頁,下頁,返回,結(jié)束,在點(diǎn),的某個(gè),右,鄰域內(nèi),五,單側(cè)導(dǎo)數(shù),若極限,則稱此極限值為,在,處的,右,導(dǎo)數(shù),記作,0,x,f,即,0,x,f,左,左,0,x,0,x,0,x,f,0,x,例如,x,x,f,在,x,0,處有,x,y,o,x,y,定義,2,設(shè)函數(shù),有定義,存在,機(jī)動,目錄,上頁,下頁,返回,結(jié)束,定理,2,函數(shù),在點(diǎn),且,0,x,f,存在,0,x,f,簡寫為,在點(diǎn),處,右,導(dǎo)數(shù)存在,定理,3,函數(shù),在點(diǎn),必,右,連續(xù),

11、左,左,若函數(shù),b,f,與,都存在,則稱,顯然,在閉區(qū)間,a,b,上可導(dǎo),在開區(qū)間,內(nèi)可導(dǎo),在閉區(qū)間,上可導(dǎo),可導(dǎo)的充分必要條件,是,且,機(jī)動,目錄,上頁,下頁,返回,結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1,導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì),3,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,4,可導(dǎo)必連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo),5,已學(xué)求導(dǎo)公式,6,判斷可導(dǎo)性,不連續(xù),一定不可導(dǎo),直接用導(dǎo)數(shù)定義,看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等,C,cos,x,a,x,f,0,2,a,x,f,x,f,0,0,ln,x,0,sin,x,x,1,增量比的極限,切線的斜率,機(jī)動,目錄,上頁,下頁,返回,結(jié)束,1,log,ln,a,x,x,a,思考與練習(xí),1,函數(shù),在某點(diǎn),處的導(dǎo)數(shù),區(qū)別,x,f,是

12、函數(shù),0,x,f,是數(shù)值,聯(lián)系,0,x,x,x,f,0,x,f,注意,有什么區(qū)別與聯(lián)系,0,0,x,f,x,f,與導(dǎo)函數(shù),機(jī)動,目錄,上頁,下頁,返回,結(jié)束,2,設(shè),存在,則,_,lim,0,0,0,h,x,f,h,x,f,h,3,已知,則,0,x,f,0,k,4,若,時(shí),恒有,問,是否在,可導(dǎo),解,由題設(shè),由夾逼準(zhǔn)則,故,在,可導(dǎo),且,機(jī)動,目錄,上頁,下頁,返回,結(jié)束,5,設(shè),問,a,取何值時(shí),在,都存在,并求出,解,0,f,0,0,sin,lim,0,x,x,x,1,0,f,0,0,lim,0,x,x,a,x,a,故,1,a,時(shí),此時(shí),在,都存在,顯然該函數(shù)在,x,0,連續(xù),機(jī)動,目錄,上頁,下頁,返回,結(jié)束,作業(yè),P83,6, 9(4