條件概率和事件的相互獨(dú)立

1、1,條件概率,2,情景引入,三張獎(jiǎng)券中只有一張能中獎(jiǎng)，現(xiàn)分別由三名同學(xué)無(wú)放回地抽取一張，獎(jiǎng)品是“演唱會(huì)門票一張”，那么問最后一名同學(xué)中獎(jiǎng)的概率是否比前兩位小,3,探究: 如果已經(jīng)知道第一名同學(xué)沒有中獎(jiǎng)， 那么最后一名同學(xué)中獎(jiǎng)的概率是多少,不妨記為,4,思考： 計(jì)算 ,涉及事件A和AB，那么用事件A 和AB 的概率 P(A) 和P(AB)可以表P(B|A）嗎,5,1.定義,一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且 ，稱,為事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率,P(B|A）讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率,條件概率（conditional probability,P(B|A）相當(dāng)于把A當(dāng)做新的樣本空間來(lái)計(jì)

2、算AB發(fā)生的概率,AB,P(A|B）怎么讀？怎么理解？怎么求解,6,2.條件概率的性質(zhì),1）有界性,2）可加性：如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則,7,例1,在5道題中有3道理科題和2道文科題。如果不放回地依次抽取2道題，求,1)第1次抽到理科題的概率,解：設(shè)為“從5道題中不放回地依次抽取2道題的樣本 空間，“第1次抽到理科題”為事件A,第2次抽到理科題”為事件B，則“第1次和第2次都抽到理 科題”就是事件AB,2)第1次和第2次都抽到理科題的概率,3)在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率,8,你能歸納出求解條件概率的一般步驟嗎,想一想,求解條件概率的一般步驟,1）用字母表示有關(guān)事件,

3、2）求P(AB），P(A)或n(AB),n(A,3 )利用條件概率公式求,9,練一練,1. 擲兩顆均勻骰子,問: “ 第一顆擲出6點(diǎn)”的概率是多少？ “擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”的概率又是多少? “已知第一顆擲出6點(diǎn)，則擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”的概率呢,解：設(shè)為所有基本事件組成的全體，“第一顆擲出6點(diǎn)”為事件A，“擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”為事件B,則“已知第一顆擲出6點(diǎn)，擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”為事件AB （2) （3,10,2.2.2事件的相互獨(dú)立性,11,思考與探究,思考1：三張獎(jiǎng)券有一張可以中獎(jiǎng)。現(xiàn)由三名同學(xué)依次無(wú)放回地抽取，問：最后一名去抽的同學(xué)的中獎(jiǎng)概率會(huì)受到第一位同學(xué)是否中獎(jiǎng)的影響嗎

4、,設(shè)A為事件“第一位同學(xué)沒有中獎(jiǎng),答:事件A的發(fā)生會(huì)影響事件B發(fā)生的概率,12,思考與探究,思考1：三張獎(jiǎng)券有一張可以中獎(jiǎng)?，F(xiàn)由三名同學(xué)依次有放回地抽取，問：最后一名去抽的同學(xué)的中獎(jiǎng)概率會(huì)受到第一位同學(xué)是否中獎(jiǎng)的影響嗎,設(shè)A為事件“第一位同學(xué)沒有中獎(jiǎng),答：事件A的發(fā)生不會(huì)影響事件B發(fā)生的概率,13,相互獨(dú)立的概念,1.定義法:P(AB)=P(A)P(B,2.經(jīng)驗(yàn)判斷:A發(fā)生與否不影響B(tài)發(fā)生的概率 B發(fā)生與否不影響A發(fā)生的概率,判斷兩個(gè)事件相互獨(dú)立的方法,注意,1)互斥事件:兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生,2)相互獨(dú)立事件:兩個(gè)事件的發(fā)生彼此互不影響,14,1)必然事件 及不可能事件與任何事件A相互獨(dú)立

5、,相互獨(dú)立事件的性質(zhì),15,練習(xí)1.判斷下列事件是否為相互獨(dú)立事件,籃球比賽的“罰球兩次”中， 事件A：第一次罰球，球進(jìn)了. 事件B：第二次罰球，球進(jìn)了,袋中有三個(gè)紅球，兩個(gè)白球，采取不放回的取球. 事件A：第一次從中任取一個(gè)球是白球. 事件B：第二次從中任取一個(gè)球是白球,袋中有三個(gè)紅球，兩個(gè)白球，采取有放回的取球. 事件A：第一次從中任取一個(gè)球是白球. 事件B：第二次從中任取一個(gè)球是白球,16,練2、判斷下列各對(duì)事件的關(guān)系 （1）運(yùn)動(dòng)員甲射擊一次，射中9環(huán)與射中8環(huán),2）甲乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，甲射中9環(huán)與乙射中8環(huán),互斥,相互獨(dú)立,相互獨(dú)立,相互獨(dú)立,4）在一次地理會(huì)考中，“甲的成績(jī)合格”

6、與“乙的成績(jī)優(yōu)秀,17,即兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率， 等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積,2.推廣：如果事件A1，A2，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率,P(A1A2An)= P(A1)P(A2)P(An,1.若A、B是相互獨(dú)立事件，則有P(AB)= P(A)P(B,應(yīng)用公式的前提： 1.事件之間相互獨(dú)立 2.這些事件同時(shí)發(fā)生,相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式,等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積.即,18,例題舉例,例1、某商場(chǎng)推出兩次開獎(jiǎng)活動(dòng)，凡購(gòu)買一定價(jià)值的商品可以獲得一張獎(jiǎng)券。獎(jiǎng)券上有一個(gè)兌獎(jiǎng)號(hào)碼，可以分別參加兩次抽獎(jiǎng)方式相同的兌獎(jiǎng)活動(dòng)。如果兩次兌獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)概率都為0.05，求兩次抽獎(jiǎng)中

7、以下事件的概率： （1）“都抽到某一指定號(hào)碼”； （2）“恰有一次抽到某一指定號(hào)碼”； （3）“至少有一次抽到某一指定號(hào)碼,19,例題解析,解: (1)記“第一次抽獎(jiǎng)抽到某一指定號(hào)碼”為事件A， “第二次抽獎(jiǎng)抽到某一指定號(hào)碼”為事件B，則“兩次抽獎(jiǎng)都抽到某一指定號(hào)碼”就是事件AB,1）“都抽到某一指定號(hào)碼,由于兩次的抽獎(jiǎng)結(jié)果是互不影響的,因此A和B相互獨(dú)立.于是由獨(dú)立性可得,兩次抽獎(jiǎng)都抽到某一指定號(hào)碼的概率為 P(AB)=P(A)P(B)=0.050.05=0.0025,20,例題舉例,2）“恰有一次抽到某一指定號(hào)碼,解: “兩次抽獎(jiǎng)恰有一次抽到某一指定號(hào)碼”可以用 表示。由于事件 與 互斥，

8、根據(jù)概率加法公式和相互獨(dú)立事件的定義，所求的概率為,21,例題舉例,3）“至少有一次抽到某一指定號(hào)碼,解: “兩次抽獎(jiǎng)至少有一次抽到某一指定號(hào)碼”可以用 表示。由于事件 與 兩兩互斥，根據(jù)概率加法公式和相互獨(dú)立事件的定義，所求的概率為,另解：(逆向思考)至少有一次抽中的概率為,22,練習(xí)1、若甲以10發(fā)8中，乙以10發(fā)7中的命中率打靶， 兩人各射擊一次，則他們都中靶的概率是(,練習(xí)2.某產(chǎn)品的制作需三道工序，設(shè)這三道工序出現(xiàn)次品的概率分別是P1,P2,P3。假設(shè)三道工序互不影響，則制作出來(lái)的產(chǎn)品是正品的概率是,D,1P1) (1P2) (1P3,練習(xí)3.甲、乙兩人獨(dú)立地解同一問題,甲解決這個(gè)問

9、題的概率是P1, ，乙解決這個(gè)問題的概率是P2，那么其中至少有1人解決這個(gè)問題的概率是多少,P1 (1P2) +(1P1)P2+P1P2,P1 + P2 P1P2,23,練習(xí)4: 已知諸葛亮解出問題的概率為0.8,臭皮匠老大解出問題的概率為0.5,老二為0.45,老三為0.4,且每個(gè)人必須獨(dú)立解題，問三個(gè)臭皮匠中至少有一人解出的概率與諸葛亮解出的概率比較，誰(shuí)大,略解: 三個(gè)臭皮匠中至少有一人解出的概率為,所以，合三個(gè)臭皮匠之力把握就大過諸葛亮,24,一個(gè)元件能正常工作的概率r稱為該元件的可靠性。 由多個(gè)元件組成的系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可 靠性。今設(shè)所用元件的可靠性都為r(0r1)，且各

10、元件能 否正常工作是互相獨(dú)立的。試求各系統(tǒng)的可靠性,P1=r2,P2=1(1r)2,P3=1(1r2)2,P4=1(1r)22,25,2. 如圖,在一段線路中并聯(lián)著3個(gè)自動(dòng)控制的常開開關(guān)，只要其中有1個(gè)開關(guān)能夠閉合，線路就能正常工作.假定在某段時(shí)間內(nèi)每個(gè)開關(guān)能夠閉合的概率都是0.7，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率,解：分別記這段時(shí)間內(nèi)開關(guān)JA,JB,JC能夠閉合為事件A，B，C.由題意，這段時(shí)間內(nèi)3個(gè)開關(guān)是否能夠閉合相互之間沒有影響,根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，這段時(shí)間內(nèi)3個(gè)開關(guān)都不能閉合的概率是,這段時(shí)間內(nèi)至少有1個(gè)開關(guān)能夠閉合，從而使線路能正常工作的概率是,26,不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事