條件概率和事件的相互獨立

1、1,條件概率,2,情景引入,三張獎券中只有一張能中獎，現分別由三名同學無放回地抽取一張，獎品是“演唱會門票一張”，那么問最后一名同學中獎的概率是否比前兩位小,3,探究: 如果已經知道第一名同學沒有中獎， 那么最后一名同學中獎的概率是多少,不妨記為,4,思考： 計算 ,涉及事件A和AB，那么用事件A 和AB 的概率 P(A) 和P(AB)可以表P(B|A）嗎,5,1.定義,一般地，設A，B為兩個事件，且 ，稱,為事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率,P(B|A）讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率,條件概率（conditional probability,P(B|A）相當于把A當做新的樣本空間來計

2、算AB發(fā)生的概率,AB,P(A|B）怎么讀？怎么理解？怎么求解,6,2.條件概率的性質,1）有界性,2）可加性：如果B和C是兩個互斥事件，則,7,例1,在5道題中有3道理科題和2道文科題。如果不放回地依次抽取2道題，求,1)第1次抽到理科題的概率,解：設為“從5道題中不放回地依次抽取2道題的樣本 空間，“第1次抽到理科題”為事件A,第2次抽到理科題”為事件B，則“第1次和第2次都抽到理 科題”就是事件AB,2)第1次和第2次都抽到理科題的概率,3)在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率,8,你能歸納出求解條件概率的一般步驟嗎,想一想,求解條件概率的一般步驟,1）用字母表示有關事件,

3、2）求P(AB），P(A)或n(AB),n(A,3 )利用條件概率公式求,9,練一練,1. 擲兩顆均勻骰子,問: “ 第一顆擲出6點”的概率是多少？ “擲出點數之和不小于10”的概率又是多少? “已知第一顆擲出6點，則擲出點數之和不小于10”的概率呢,解：設為所有基本事件組成的全體，“第一顆擲出6點”為事件A，“擲出點數之和不小于10”為事件B,則“已知第一顆擲出6點，擲出點數之和不小于10”為事件AB （2) （3,10,2.2.2事件的相互獨立性,11,思考與探究,思考1：三張獎券有一張可以中獎?，F由三名同學依次無放回地抽取，問：最后一名去抽的同學的中獎概率會受到第一位同學是否中獎的影響嗎

4、,設A為事件“第一位同學沒有中獎,答:事件A的發(fā)生會影響事件B發(fā)生的概率,12,思考與探究,思考1：三張獎券有一張可以中獎?，F由三名同學依次有放回地抽取，問：最后一名去抽的同學的中獎概率會受到第一位同學是否中獎的影響嗎,設A為事件“第一位同學沒有中獎,答：事件A的發(fā)生不會影響事件B發(fā)生的概率,13,相互獨立的概念,1.定義法:P(AB)=P(A)P(B,2.經驗判斷:A發(fā)生與否不影響B(tài)發(fā)生的概率 B發(fā)生與否不影響A發(fā)生的概率,判斷兩個事件相互獨立的方法,注意,1)互斥事件:兩個事件不可能同時發(fā)生,2)相互獨立事件:兩個事件的發(fā)生彼此互不影響,14,1)必然事件 及不可能事件與任何事件A相互獨立

5、,相互獨立事件的性質,15,練習1.判斷下列事件是否為相互獨立事件,籃球比賽的“罰球兩次”中， 事件A：第一次罰球，球進了. 事件B：第二次罰球，球進了,袋中有三個紅球，兩個白球，采取不放回的取球. 事件A：第一次從中任取一個球是白球. 事件B：第二次從中任取一個球是白球,袋中有三個紅球，兩個白球，采取有放回的取球. 事件A：第一次從中任取一個球是白球. 事件B：第二次從中任取一個球是白球,16,練2、判斷下列各對事件的關系 （1）運動員甲射擊一次，射中9環(huán)與射中8環(huán),2）甲乙兩運動員各射擊一次，甲射中9環(huán)與乙射中8環(huán),互斥,相互獨立,相互獨立,相互獨立,4）在一次地理會考中，“甲的成績合格”

6、與“乙的成績優(yōu)秀,17,即兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率， 等于每個事件發(fā)生的概率的積,2.推廣：如果事件A1，A2，An相互獨立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率,P(A1A2An)= P(A1)P(A2)P(An,1.若A、B是相互獨立事件，則有P(AB)= P(A)P(B,應用公式的前提： 1.事件之間相互獨立 2.這些事件同時發(fā)生,相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式,等于每個事件發(fā)生的概率的積.即,18,例題舉例,例1、某商場推出兩次開獎活動，凡購買一定價值的商品可以獲得一張獎券。獎券上有一個兌獎號碼，可以分別參加兩次抽獎方式相同的兌獎活動。如果兩次兌獎活動的中獎概率都為0.05，求兩次抽獎中

7、以下事件的概率： （1）“都抽到某一指定號碼”； （2）“恰有一次抽到某一指定號碼”； （3）“至少有一次抽到某一指定號碼,19,例題解析,解: (1)記“第一次抽獎抽到某一指定號碼”為事件A， “第二次抽獎抽到某一指定號碼”為事件B，則“兩次抽獎都抽到某一指定號碼”就是事件AB,1）“都抽到某一指定號碼,由于兩次的抽獎結果是互不影響的,因此A和B相互獨立.于是由獨立性可得,兩次抽獎都抽到某一指定號碼的概率為 P(AB)=P(A)P(B)=0.050.05=0.0025,20,例題舉例,2）“恰有一次抽到某一指定號碼,解: “兩次抽獎恰有一次抽到某一指定號碼”可以用 表示。由于事件 與 互斥，

8、根據概率加法公式和相互獨立事件的定義，所求的概率為,21,例題舉例,3）“至少有一次抽到某一指定號碼,解: “兩次抽獎至少有一次抽到某一指定號碼”可以用 表示。由于事件 與 兩兩互斥，根據概率加法公式和相互獨立事件的定義，所求的概率為,另解：(逆向思考)至少有一次抽中的概率為,22,練習1、若甲以10發(fā)8中，乙以10發(fā)7中的命中率打靶， 兩人各射擊一次，則他們都中靶的概率是(,練習2.某產品的制作需三道工序，設這三道工序出現次品的概率分別是P1,P2,P3。假設三道工序互不影響，則制作出來的產品是正品的概率是,D,1P1) (1P2) (1P3,練習3.甲、乙兩人獨立地解同一問題,甲解決這個問

9、題的概率是P1, ，乙解決這個問題的概率是P2，那么其中至少有1人解決這個問題的概率是多少,P1 (1P2) +(1P1)P2+P1P2,P1 + P2 P1P2,23,練習4: 已知諸葛亮解出問題的概率為0.8,臭皮匠老大解出問題的概率為0.5,老二為0.45,老三為0.4,且每個人必須獨立解題，問三個臭皮匠中至少有一人解出的概率與諸葛亮解出的概率比較，誰大,略解: 三個臭皮匠中至少有一人解出的概率為,所以，合三個臭皮匠之力把握就大過諸葛亮,24,一個元件能正常工作的概率r稱為該元件的可靠性。 由多個元件組成的系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可 靠性。今設所用元件的可靠性都為r(0r1)，且各

10、元件能 否正常工作是互相獨立的。試求各系統(tǒng)的可靠性,P1=r2,P2=1(1r)2,P3=1(1r2)2,P4=1(1r)22,25,2. 如圖,在一段線路中并聯著3個自動控制的常開開關，只要其中有1個開關能夠閉合，線路就能正常工作.假定在某段時間內每個開關能夠閉合的概率都是0.7，計算在這段時間內線路正常工作的概率,解：分別記這段時間內開關JA,JB,JC能夠閉合為事件A，B，C.由題意，這段時間內3個開關是否能夠閉合相互之間沒有影響,根據相互獨立事件的概率乘法公式，這段時間內3個開關都不能閉合的概率是,這段時間內至少有1個開關能夠閉合，從而使線路能正常工作的概率是,26,不可能同時發(fā)生的兩個事