文科第七章不等式第3節(jié)基本不等式及其應(yīng)用

1、第3節(jié)基本不等式及其應(yīng)用題型86利用基本不等式求函數(shù)最值則當(dāng)翌取得最大z2 21. （ 2013山東文12）設(shè)正實(shí)數(shù)x， y， z滿足x -3xy 4y2 1 2值時(shí)，的最大值為（）.x y z25A.1.分析B. 98含三個(gè)參數(shù)x, y,z，消元，利用基本不等式及配方法求最值C. 2D.解析z=x2 _ 3xy 4y2 x, y, z R ，所以= xy2 2x -3xy 4yxy也一3y x 2 x 4y-1. .y x當(dāng)且僅當(dāng)x =絲，即x =2y時(shí)“=”成立，此時(shí)y x2 2 2 2 2 2z=x _3xy 4y =4y-6y 4y =2y.2 2 2所以 x 2y_z=2y 2y_2

2、y - -2y 4y-2y_i 亠2.所以當(dāng)y =1時(shí)，x，2y-z取最大值2.故選C.2 22. （2013重慶文7）關(guān)于x的不等式x -2ax-8a 0的解集為 xb X2，且x2= 15，則 a =（）.5A.27b.-215C.415D.22.分析利用因式分解法解一元二次不等式尋求a的關(guān)系式后代入求解.解析 由 x2 -2ax -8a2 ： 0 a 0 得 x 2a x 4a ： 0 a 0，即2a ： x 4a，故原不等式的解集為-2a,4a .丄5由 x2 -為=15 得 4a-2a =15，即 6a = 15，所以 a .故選 A.a *3. （2013四川文13）已知函數(shù)f x

3、 =4x x0, a0在X=3時(shí)取得最小值，則xa =.3 分析借助基本不等式求最值的條件求解.解析f x =4x 旦 2x4x a=4ja(x 0, a 0 )，當(dāng)且僅當(dāng) 4x =空，即 x = 時(shí) V xx2等號(hào)成立，此時(shí)f (x )取得最小值4 ja.又由已知X =3時(shí)，f (x )min = 4ja，所以 弓 =3 , 即 a =36.4.(2013天津文設(shè)a 2，b 0，則靑普的最小值為綜上所述,丄2a12 ab12a+ an ba +b a4a b4(4ab丿4a1-aa + b-a1( b-a 、1+ -+ i+ 1b-2ab-4ab4 V4ab丿44.分析 分a 0和a 0，去

4、掉絕對(duì)值符號(hào)，用均值不等式求解解析當(dāng)a 0時(shí),1-的最小值是3.b42a5.( 2013遼寧文21)( 1)證明：當(dāng)3(2)若不等式ax x2 2 x 2 cosx 4對(duì)x：=0,1 I恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.5.分析 利用構(gòu)造法，分別判斷 sinx與x，sinx與x的大小關(guān)系；利用比較法或構(gòu)造函2數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求解范圍 解析 (1 )證明：記 F x = sinx 2 x，則 F x = cosx ,2 2當(dāng) x 0, nFx Fx在少上是增函數(shù);(討時(shí)，L(x) 0，即 sin x x.又F 0 1=0, F 10,所以當(dāng)x 0,11時(shí),記H x =sin x _ x，則當(dāng)x三0,1時(shí)，

5、H x = cosx _1 ： 0 ,所以H x在0,11上是減函數(shù)，貝V H x w H 0 =0 ,即卩 sinx a 2 x x2+ 2：_4(x+2斗22 2332a 22x-2xx-2a 2ia 十 21所以存在x0 0,1例如x0取=和丄中的較小值I323x滿足 ax0 xg2 x0 2 cosx0 -4 0,23即當(dāng)a -1時(shí)，不等式ax x2 x 2x2 cosx - 4 w 0對(duì)x ：=(0,1不恒成立. 2綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是-：，-2 1.32 X解法二：記f x = ax x2 x 2 ，則f x =a2x3x22cosx - 2 x 2 sin x .記 G x

6、=f x，則 Gx=23x -4si n x -2 x 2 cosx.1當(dāng) x 0,1 時(shí)，cosx 3，因此 G x ： 2 3x -4x - x 2 二 2-2,2 x 0 .于是x在1.0,1 上是減函數(shù)，因此，當(dāng) x 0,11時(shí)，r x :： f 0 = a 2，故當(dāng)a -2時(shí)，f x ： 0，從而f x在0,11上是減函數(shù)，所以f x f 0 = 0，即當(dāng)3a -2 時(shí)，不等式 ax x22 x 2 cos 4對(duì)x：=【0,11不恒成立.當(dāng) a 6sin1-2cos1-?時(shí)，f 1 0 ,所以當(dāng) x0,1 時(shí)，f x 0,因此f x在1.0,11上是增函數(shù)，故f 1 f 0 = 0

7、；7-2 : a : 6sin a 2cos1 時(shí),2又00 ,故存在 x i 0,1 使xq = 0,則當(dāng) 0 ： x ： x0 時(shí)，x ，xq = 0 ,所以f x在Lo,xo 1上是增函數(shù)，所以當(dāng)O,xo時(shí)，f x f 0=0 3 2 cosx 4，對(duì) x：= 10,11 不恒成立所以當(dāng)a % 2時(shí)，不等式ax x2_21 x2綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是丨-Q,-2 .6. （2014 重慶文 9）若 log4（3a - 4b）二 log. ab,則 a b 的最小值是（）A.6 2 .3 B.7 2 .3 C.6 4 -3 D.7 4、. 37. （2014江蘇14 ）若 ABC的內(nèi)角滿

8、足 si nA-2si nB =2s in C，貝U cosC的最小值是8. （2014江西文13）在等差數(shù)列：an 中，ai = 7 ,公差為d，前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)且僅當(dāng)n = 8時(shí)Sn取得最大值，則d的取值范圍 .9. （ 2014江蘇14 ）若厶ABC的內(nèi)角滿足si nA 2si n B = 2s in C，貝U cosC的最小值是.10. （2014江西文13）在等差數(shù)列：an /中，a1 = 7 ,公差為d，前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)且僅當(dāng)n = 8時(shí)Sn取得最大值，則d的取值范圍 2 211. （2014遼寧文16）對(duì)于c 0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a , b滿足4a -2ab b -c = 0，且使

9、12a b|最大時(shí)，1-的最小值為 a b c12（ 2015福建文5）若直線=1 a 0, b 0過點(diǎn)1,1，則a b的最小值等于（）.a bA . 2B. 3C. 4D . 511|,z，11 ba12.解析 由已知可得一+ =1，貝U a+b = （a+b）|+ =2+ .a bla b 丿a b因?yàn)閍 0, b0,所以b -a bb a故a b4，當(dāng)且僅當(dāng)，即a=b=2時(shí)取等號(hào)a b13. （2015山東文14）定義運(yùn)算2 2一、 x - y x： y（x , yxyR , xy = 0）.當(dāng) x 0 , y 0時(shí)，x ： y （2y） ： x的最小值為,13解析 由所給新定義運(yùn)算，可

10、知 x： y 2y ： x二xyxy（2yf-x2 _2yxx2 2y2x2xy 2y又 x 0 , y 0，所以 x ： y 2y ： x 2 齊。,當(dāng)且僅當(dāng) =y，即 2y時(shí)，取等號(hào).故所求最小值為.2 .2y x14. （2015重慶文14）設(shè)a,b=0 , a*b=5，則Ja +1十Jb + 3的最大值為 ,14.解析 令 m =、a 1,n =、b 3，則 m丄十2=1，故2a + b=（2a+b ）.丄十2= 4+b +蘭8 （當(dāng)且僅當(dāng) a bla b 丿 a b2a =b 2 ，即a=2,b=4時(shí)等號(hào)成立） -+-=1 .a b n2 =9 因?yàn)椋╩ ?n）, m2 n2,所以（

11、m - n）2剟18,m n 3.2 .故 a V , b 3的最大值為32.ax + y = 115. （2016上海文13）設(shè)a 0,b 0，若關(guān)于x,y的方程組無解，則a b的取x + by = 1值范圍是.15解析 解法一：即線性方程組表示兩條平行的直線，故由條件ab =1，且a = b = 1，所以a b .2.、話=2.故填2,七.解法二：將方程組中的式化簡(jiǎn)得y = 1 - ax，代入式整理得 1 -ab x =1 - b，方程組無解應(yīng)該滿足1 -ab =0且1 -b =0，所以ab =1且b =1，所以由基本不等式得 a b .2、ab=2.故填2,=.1評(píng)注或a b = a 2

12、 . a16.（2017山東文12）若直線-a 0,b0過點(diǎn)1,2，則2a b的最小值a b16.解析由題意,17. （2017 天津文 13）若 a,17.解析厖2冷餉41abab4a2b21ab2、4a b 4ab4 ,ab ab為當(dāng)且僅當(dāng)a4 =4b44a2b2 =1即18.解析一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為c 600360064x4x 2. 3600 4 =240 ,xx3600當(dāng)且僅當(dāng) =4x，即x=30時(shí)取等號(hào).故填 30 x題型87利用基本不等式證明不等式 一一暫無 題型基本不等式及其應(yīng)用AQ1. （2015湖南文7）若實(shí)數(shù)a , b滿足一一二ab，則ab的最小值為（a bB.

13、2C. 2、2D. 4121解析 由ab可知a 0,b0.由基本不等式可得:a b所以ab解得 ab-2 . 2 ,當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)取等號(hào)，即ab的最小值為 2.2 .故選C.不等式的解法（藍(lán)色的是2015年多的分類）題型不等式的解法1. （ 2015廣東文11）不等式-x2-3x * 0的解集為（用區(qū)間表示）.2 21解析由一x -3x 4 0 ,得 x 3x -4 ： 0，即（x 1）（x 4） 2x 1，解之得 X 1 .故選A.34.(2015山東文8)若函數(shù)f(x)=：2x 1是奇函數(shù)，則使f(x) 3成立的x的取值范圍為2xaB.(-1,0)C.(0,)4.解析 因?yàn)閒 X為奇函

14、數(shù)，所以對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，均有f - X - - f X ，2+12X 十1即飛X.整理得1 -a 2 22 1=0，所以a=1，2 -a2X -a2x +12X +12-2所以 f x x.令 r 3，得 r 0 .所以 1 : 2X ： 2，所以 0 ： x ： 1.故選 C.2X-12X-12X-1題型絕對(duì)值不等式的解法1.( 2015 天津文 4)設(shè) X R，則“ 1 X2 ”是 “ I X - 2卜：1” 的( ).A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件1.解析由 x2v1二1x2v1二 1xc3，可知 1 x 2 是 “x 210由 f)0

15、,得/+x+10，解得，二故f x的單調(diào)遞增區(qū)間是1 . x(2)令 F x 二 f x y ix -1 ,0,亠則有 F x 薩當(dāng)xw 1,= 時(shí)，r x ： 0 ,所以F x在1,= 上單調(diào)遞減， 故當(dāng) x 1 時(shí)，F(xiàn) x ： F 1 =0,即當(dāng) x 1 時(shí)，f x ： x1 (3)由(2)知，當(dāng)k =1時(shí)，不存在x0 .1滿足題意；當(dāng) k 1 時(shí)，對(duì)于 x 1，有 f x ： x -1 ： k x -1，則 f x : k x -1 , 從而不存在X。-1滿足題意.當(dāng) k ：1 時(shí)，令 G x = f x -k x -1 ,0,則有 G x J-x 1-kX_k x 1由 G x =0得

16、，一x1-k x 1=0 .當(dāng)x 1,X2時(shí)，G x 0，故G x在1,X2上單調(diào)遞增.從而當(dāng) x 1,x2 時(shí)，G x j-G 1 =0，即 f x“k x-1 .綜上，k的取值范圍是-二，1 .24. (2015 廣東文 21)設(shè) a 為實(shí)數(shù)，函數(shù) f(x )=(x-a ) + x-a a(aT ).(1) 若f 0,1，求a的取值范圍；(2) 討論f x的單調(diào)性；(3) 當(dāng)a2時(shí)，討論f x 4在區(qū)間0,=內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).4解析(1) f (0) =a2 + a a2 +a =|a +a，因?yàn)?f (0 ), 1，所以 a + a, 1.當(dāng)a, 0時(shí)，f 0 =0, 1，顯然成立；11當(dāng)a

17、 0時(shí)，則有2a, 1，所以a,，所以0 ： a,-.22綜上所述，a的取值范圍是一：,1 .1 22x 2a 1 區(qū) x a(2) f (x)2，/ (2a +1)x +2a,x ca22a11對(duì)于f x=x - 2a-1 x xa，其對(duì)稱軸為xa a ,開口向上，所以f(x)在a,七 上單調(diào)遞增；22a +11對(duì)于f x = x - 2a 1 x 2a a，其對(duì)稱軸為xa a ,22開口向上，所以f(x)在-：:,a上單調(diào)遞減.綜上，f (x)在a, 上單調(diào)遞增，在a上單調(diào)遞減.(3) 由(2)得f (x)在(a, ：)上單調(diào)遞增，在(0,a)上單調(diào)遞減，2所以 f (x)min = f

18、(a) = a - a .x 3x x 2(i)當(dāng) a =2 時(shí)，f (x)min = f -2 , f (x)2.X -5x +4,x c244令 f x =0,即 f (x)x 0 .xx因?yàn)閒 (x)在(0,2)上單調(diào)遞減，所以f (x) f (2) = -2 .44而y 在(0,2)上單調(diào)遞增，y2.x2所以在 0,2 上 y - f x，故 y = f (x)與 y 二-4 在(0,2) 無交點(diǎn).x當(dāng) x 2 時(shí)，f(x) = x2 -3x _ -，即 x33x24 = 0.x所以 x3 -2x2 -x2 4 =0，所以 x - 2 2(x 1) = 0 .因?yàn)?x 2，所以 x =

19、 2.故當(dāng)a = 2時(shí),4f x 有一個(gè)零點(diǎn)x=2.x2(ii)當(dāng) a 2 時(shí)，f(x)min nf (a) =a - a當(dāng) x (0,a)時(shí)，f (0) = 2a .4 , f(a)=a - a4而y 在x(0,a)上單調(diào)遞增，當(dāng)xx=a時(shí),4F面比較f(a) =a - a與 的大小:a24-(a -a2 -4)因?yàn)?a_a2 _(_)=a2-(a-2)(aa 2) 0所以f (a) = a結(jié)合圖像可知當(dāng)a 2時(shí),4f (x)與y有兩個(gè)交點(diǎn).x綜上，當(dāng)a = 2時(shí),4f x有一個(gè)零點(diǎn)x = 2 ；x當(dāng)a 2時(shí)，y = f (x)與y =-有兩個(gè)零點(diǎn).x5.( 2015 全國(guó) 2 文 21)已

20、知函數(shù) f x =lnx+a 1 - x .(1)討論f x的單調(diào)性;(2)當(dāng)f x有最大值，且最大值大于 2a - 2時(shí)，求a的取值范圍.5.解析(1) f x的定義域?yàn)?0, : ， f x若a, 0，則f x 0，所以f x在0,二上單調(diào)遞增,f x ：0，i,z1，f x 0 ；當(dāng)一，二la所以f(x )在|0,，上單調(diào)遞增，在-嚴(yán) 上單調(diào)遞減.la丿由(1)知，當(dāng)a, 0時(shí)，f x在0, * 上無最大值；當(dāng)a 0時(shí)，fix在x -1處取得最大值，最大值為=ln|1亠a1-1 T na亠a-1.ala丿la丿V a丿因此f l2a2等價(jià)于In a + a2丿令g a =lna a -1

21、，則g a在0,+：上單調(diào)遞增，又g 1 =0.于是，當(dāng) 0 ：a ： 1 時(shí)，g a ：0 ；當(dāng) a 1 時(shí)，g a 0.因此，a的取值范圍是 01 .X6.（2015湖南文21）函數(shù)f x二ae cosx x0, ：），記Xn為f x的從小到大的第 n n N 個(gè)極值點(diǎn).（1）證明：數(shù)列if xn是等比數(shù)列；（2）若對(duì)一切n N*,xn, f（xn ）恒成立，求a的取值范圍.6解析 （1） f（x）=ae cosxae sinx=J2ae cos x+ .I 4丿令 fx =0 ,由 x0，得 x = mn上，即 x=m n 3nm N ,424若 2k n n : x - 2k n -

22、,即卩 2k n x ： 2 k n 衛(wèi)，貝U cos I x -0 ;24244I 4丿nn3 nn5 n1 n若 2k x+廠 2k n + 32-，即 2k n + 廠 x2甘 54，則 cos(x+汁 0.因此，在區(qū)間上, f x的符號(hào)總相反,|m 1 )nmn竺與m n3n,m- jC4八 44丿曰Alzn = n n-3, n N*,4,r3 n*1n1 = ae2，易知 f xn - 0 ,疋當(dāng)x=mn m N時(shí)，fx取得極值，所以xnn-3i 3 nn 亡fn 卅 n3?(T) ae 丿4而耳丄f xn此時(shí)，fx =ae 4cosnnG故數(shù)列If人是首項(xiàng)為f :x-ae，公比為

23、-en的等比數(shù)列.二V= _en是常數(shù),n 1 . 2 nn4-1ae 42(2切N*恒成立，即十，疥心恒成立,亦即a.2 ef3n _I 4丿一恒成立(因?yàn)閍 0),冗設(shè) g t * t 0，則 g t =e F，令 g t =0 得 t=1，當(dāng)0 : t ：1時(shí)，g t ：0,所以g t在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減;當(dāng)t 1時(shí)，g t .0 ,所以g t在區(qū)間1上單調(diào)遞增；因?yàn)?Xn 三0,1 ,且當(dāng) n-2 時(shí)，Xn 三1, ： ,Xn :： X. 1 ,所以g (xn )1 .=min g(N ), g(x2 )= mi n !g n , g 5 = g n=- ei37.解析(1)由 f(

24、x) =4xx，可得 f (x) =44x ,當(dāng)X 0，即x : 1時(shí)，函數(shù)f x單調(diào)遞增；當(dāng)X ： 0 ,即x 1時(shí)，函數(shù)f x單調(diào)遞減.,V n S 心2丿削4嚴(yán)(4 一花4丿n*42 4 nJ2 冗因此nW N , Xn刦f (Xn )恒成立，當(dāng)且僅當(dāng) ，一e4，解得ae 4 ,a n4苗 n -n ) 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是e 4垃.I4 丿4*7. (2015天津文20)已知函數(shù)f (x) = 4x - x , xR,其中n N，且n鳥.(1 )求 f(x)的單調(diào)性；(2) 設(shè)曲線y = f x與x軸正半軸的交點(diǎn)為 P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為 y = g x ,求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)

25、 x，都有f x , g x ;(3) 若方程f x =a ( a為實(shí)數(shù))有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根 x1, x2，且x1 x2，求證：1x2 _為 -a 43.3所以函數(shù)f x的單調(diào)遞增區(qū)間是 -：，1 ,單調(diào)遞減區(qū)間是1, :.1(2) 設(shè) PXo,O，則X。=4空，且 f x =4-4x3，得 fXo=-12,曲線y = f x在點(diǎn)P處的切線方程為y二x0 x -x0 ，即g x = f x0 x-x0 , 令 F x i=f x -g x 即 F x 二 f x -fx x-xo 則 F x 二 f x - f X。. 由于x =44x3 在一匚： 單調(diào)遞減，故F(x )在(-0，畑)單調(diào)遞減， 又因?yàn)镕 x。=0 ,所以當(dāng), xo時(shí)，F(xiàn) x 0，所以當(dāng) X。，：時(shí)，F(xiàn) x : 0，所以F x在-：,X0單調(diào)遞增，在 X0, :單調(diào)遞減，所以對(duì)任意的實(shí)數(shù) X，F(xiàn) x , F x0 =0，對(duì)于任意的正實(shí)數(shù) X，都有f(x), g(x).f1、(3) 由(2)知 g(x )= -12 x43，設(shè)方程 g(x )=a 的根為 x；，I 丿1a一可得X2 = 12，因?yàn)間 (x)在(-,+處)上單調(diào)遞減，又由(2)知 g x2 f x2 = a = g x2，所以 X2 , X2 .設(shè)曲線y = f x在原點(diǎn)處的切線為 y = h